模糊数学讲义第三章

第三章模糊关系,第一节模糊关系的基本概念,第二节模糊关系的合成,第三节模糊等价关系,第四节模糊相似关系,第五节模糊关系方程,第六节模糊关系应用,1.概念,定义3.1,称为从X,到Y的模糊关系.,(关联度)。,特别，从X到X的模糊关系称为X上的模糊关系,例如，远远大于,第一节模糊关系的基本概念,2.运算,可推广,性质：,证明：,从而，,3.截关系与强截关系,截关系与强截关系分别满足截集与强截集性质,例如：,4.有限论域上的模糊关系,视其为关系R,例1.,例2.,身高与体重之间的关系为：,例1,第二节模糊关系的合成,1.普通关系的合成的特征关系,2.模糊关系合成的定义,3.有限论域上模糊关系合成,公式：,将矩阵乘法中乘积改为取小，加改为取大,合成与矩阵乘积规则及注意事项类似,4.模糊关系合成的性质,性质1.,证明：,类似,性质2,由性质1,一般地,证明：,(ii)自证.,性质3,证明:,注：,反例：,一般可以证明：,性质4,证明：,于是，,性质5,证明,(ii)类似,第三节模糊等价关系,对称关系：,传递关系：,1.普通等价关系,自反关系：,等价关系：,自反、对称、传递,利用等价关系R可以对X进行划分(partition),2.模糊自反关系(fuzzyreflexiverelations),定义,则称R为模糊自反关系.,命题3.1,根据主对角线元素是否为1判定R是否自反,证明：,3.模糊对称关系(fuzzysymmetricrelations),定义,则称R为模糊对称关系.,根据矩阵是否为对称阵判定R是否对称关系,显然，,命题3.3,证明：,4.模糊传递关系(fuzzytransitiverelations),定义,例如,命题3.4,命题3.5,设R是模糊传递的，,证明：,根据命题3.4知：R模糊传递.,5.模糊等价关系(fuzzyequivalencyrelations),定义若R是模糊自反、对称、传递关系，则称R是一个模糊等价关系。,例如,R是对称阵且主对角线元素全为1，故为模糊对称及自反关系。,对模糊等价关系，,随着划分水平的提高，划分加细,6.模糊传递闭包(transitiveclosure),定义,R的传递闭包是包含R的最小的传递关系,注,(i)传递闭包若存在，则唯一,命题3.7,证明：,命题3.8,证明：,第一步:证明,第二步：,第三步：,依次类推，,例如:,第四节模糊相似关系,定义3.12,命题3.14,证明：,命题3.15,证明：,例子,推论3.2,证明：,另外，,推论3.3,证明：,求相似关系R的传递闭包,加速算法：,例如：,第五节模糊关系方程,1.模糊关系方程的概念,定义3.13,记号：,约定：,定理3.1,证明：,充分性显然.,必要性：,注3.2,2.有限论域上的模糊关系方程,例如,在前例中，,定理3.2,证明：,参考,由定理知：,由定理证明过程知：,解集,表上作业法,表上作业法步骤,1)列出图表,解方程：,例子,等价于,等价于,第六节模糊关系应用,一、模糊聚类分析,二、综合评判,一、模糊聚类分析,FuzzyClusteringAnalysis,聚类分析：,利用给定的指标对事物进行分类,模糊聚类分析：,将模糊数学方法用于聚类分析,问题描述：,方法描述：,第一步，标定.,标定的方法如下：,（1）数量积法,（2）相关系数法,（3）最小-最大法,（3）绝对值指数法,（4）绝对值减数法,第二步，写出矩阵,所有标定方法满足：,第三步，聚类.,例8,（环境单元分类）,每个环境单元包括空气、水分、,土壤、作物四要素，环境单元的污染状况由污染物,在四要素中含量的超限量来描述，现设有五个环境,单元，它们的污染数据如下：,试根据这些污染数据对五个环境单元进行分类。,全体归为一类,全体归为一类,直接聚类法,直接聚类法一般步骤,直接聚类法与基于传递闭包的分类