线性空间习题ppt课件

.,1,第六章线性空间习题,主要内容一、线性空间1定义代数运算，数量乘法满足8条规则2性质：零元素是唯一的；负元素是唯一0a0，k00；ka0k0或a0,.,2,3线性空间的维数（有限维，无限维）有限维线性空间的基基变换与坐标变换、过渡矩阵，基变换公式与坐标变换个数二、线性子空间（linearsubspace）1子空间的定义与判定条件线性空间V的子集W称为线性子空间，如果W对于V的两种运算封闭。由r个向量生成的子空间,.,3,生成元零子空间、平凡子空间、非平凡子空间。两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价。有限维向量空间中的任意线性无关的向量组都可以扩充成原向量空间的一组基。,.,4,2子空间的和与交设V1，V2是线性空间V的子空间，则V1V2，和则V1V2都是V的子空间。如果V1，V2是有限维线性空间V的子空间，那么dim（V1)+dim(V2)=dim(V1V2)+dim(V1V2)向量组生成的子空间的维数等于向量组的秩。,.,5,3子空间的直和如果子空间V1，V2的和中每个向量的分解式都唯一，则称为直和。设V1，V2是线性空间V的子空间，则以下命题等价：,.,6,线性子空间的概念可推广到多个子空间的情形4线性空间的同构同构的定义：11映射满足同构的性质:（2）同构映射保持向量间的线性关系.,.,7,(3)V中的向量组线性相关充分必要条件是它们的象线性相关.(4)子空间的象构成子空间,且维数相同.(5)同构映射的逆映射及两个同构映射的乘积还是同构映射.(6)有限维向量空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.习题举例,.,8,Ex.1；证明，复数域C作为实数域R上的向量空间，与V2同构。Ex.2；设是线性空间V到W的一个同构映射，U是V的一个子空间，证明：是W的一个子空间。Ex.：证明：线性空间Fx可以与它的一个真子空间同构。V=Fx，W=,.,9,Ex.3Pn的任意一个子空间都是某一含n个末知量的齐次线性方程组的解空间。证明：设V是Pn的任意一个子空间，维（V）=r,令V=L()其中，,.,10,构造线性方程组：其解向量构成n-r维线性空间，设由下面n-r个向量组成显然,V是线性方程组的解空间。,.,11,习题举例Ex.1：求线性空间的维数1）数域P上所有反对称矩阵组成的线性空间。2）数域P上所有上三角形矩阵组成的线性空间。,.,12,Ex.2：证明：Pn的任意一个真子空间都是若干个n-1维子空间的交。证明：设V是Pn的任意一个真子空间，不仿设V=L()，它是线性方程组的解空间，记为线性方程组k=1,2n-r的解空间,是Pn的n-1维子空间,V恰是这n-r个n-1维子空间的交,.,13,Ex.3设是n维线性空间V中的n个向量，V中的每个向量都可以由它们线性给出，求证：是V的一组基。证明：只须证明线性无关，事实上，如果是的一个极大线性无关组，则是V的一组基，所以，向量组就是向量组是线性无关。,.,14,Ex.4：在中求齐次线性方程组的解空间的维数与一组基。,.,15,解空间的维数是3，一组基是,解：由于,.,16,例1：已知，求向量生成的的子空间与向量生成的的子空间的交与和空间的维数与一个基。,.,17,Ex.5：设（）证明：实数域上矩阵