安徽省滁州市定远县育才学校2020学年高二数学上学期期中试题（实验班）理

育才学校2020学年度第一学期期中考试卷高二实验班理科数学试题满分：150分，考试时间：120分钟； 命题人：第I卷 选择题 60分一、选择题（12小题，共60分）1.设表示平面， 表示直线，则下列命题中，错误的是( )A. 如果，那么内一定存在直线平行于B. 如果， ， ，那么C. 如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于D. 如果，那么内所有直线都垂直于2.在正方体中， 和分别为、的中点，那么异面直线与所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 3.在三菱柱中， 是等边三角形， 平面， ， ，则异面直线和所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 4.点在平面外，若，则点在平面上的射影是的（ ）A. 外心 B. 重心 C. 内心 D. 垂心5.已知两点， ，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. 或 C. D. 6.若， 的图象是两条平行直线，则的值是（ ）A. 或 B. C. D. 的值不存在7.过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）A. 2 B. 1 C. D. 8.直线恒过定点，则以为圆心， 为半径的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 9.某几何体的三视图如图所示（单位： ）则该几何体的体积（单位： ）是（ ） A. B. C. D.10.九章算术是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ）（注：1丈=10尺=100寸， ， ）A. 633立方寸 B. 620立方寸 C. 610立方寸 D. 600立方寸11.在正方体中， 为棱上一动点， 为底面上一动点， 是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ）A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分12.如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A. B. 3 C. D. 2第II卷 非选择题 90分二、填空题（每小题5分，共20分）13.半径为10的球面上有A、B、C三点，且，则球心O到平面ABC的距离为_.14.已知矩形 ,沿对角线 将它折成三棱椎 ，若三棱椎 外接球的体积为 ，则该矩形的面积最大值为.15.如图，正方体的棱长为 1， 为的中点， 为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当时， 为四边形；当时， 为等腰梯形；当时， 为六边形；当时， 的面积为.16.已知经过点作圆： 的两条切线，切点分别为， 两点，则直线的方程为_.三、解答题（70分）17. （10分）已知直线，直线（1）求直线与直线的交点的坐标；（2）过点的直线与轴的非负半轴交于点，与轴交于点，且（为坐标原点），求直线的斜率.18. （12分）如图，正方体棱长为，连接， ， ， ， ， ，得到一个三棱锥，求：（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥的体积.19. （12分）如图，在直三棱柱中，分别是，的中点.（）求证：平面平面；（）求证：平面；（）求三棱锥的体积.20. （12分）已知圆与圆（1）若直线与圆相交于两个不同点，求的最小值；（2）直线上是否存在点，满足经过点有无数对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，并且直线被圆所截得的弦长等于直线被圆所截得的弦长？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由21. （12分）在正方体ABCD-A1B1C1D中，M为DD1的中点，O为AC的中点，AB=2（I）求证：BD1平面ACM；（）求证：B1O平面ACM；（）求三棱锥O-AB1M的体积22. （12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示（1）若N是BC的中点，证明：AN平面CME；（2）证明：平面BDE平面BCD（3）求三棱锥DBCE的体积高二实验班理科数学试题参考答案与解析1.D【解析】由上图可得选项A中： 内存在直线 ,故A正确；选项B中：直线 即为直线 ,故B正确；选项C中：可用反证法假设存在直线，与已知矛盾，故C正确；选项D中: ,故D错误.综上应选D.2.C【解析】连接， 为异面直线与所成的角，而为正三角形， 故选C3.A【解析】如图，作交的延长线于，连接，则就是异面直线和所成的角（或其补角），由已知， ，由，知异面直线和所成的角为直角，正弦值为，故选A.4.A【解析】设点作平面的射影，由题意， 底面 都为直角三角形， ，即为三角形的外心，故选A.5.B【解析】如图所示，直线的斜率为；直线的斜率为，当斜率为正时， ，即；当斜率为负时， ，即，直线的斜率的取值范围是或，故选B.6.B【解析】显然 或 时两条直线不培训，则由题意可得 ，解得 故选：B7.A【解析】因为点P(2,2)满足圆的方程，所以P在圆上，又过点P(2,2)的直线与圆相切，且与直线axy+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线axy+1=0平行，所以直线axy+1=0的斜率为： .故选A.8.B【解析】直线，化为， 时，总有，即直线直线过定点，圆心坐标为，又因为圆的半径是，所以圆的标准方程是，故选B.9.B【解析】由三视图易知该几何体为三棱锥.该几何体的体积 .故答案为:B10.A【解析】如图： (寸)，则 (寸)， (寸)设圆的半径为 (寸)，则 (寸)在中，由勾股定理可得：，解得 (寸)，即，则平方寸故该木材镶嵌在墙中的体积立方寸 。故答案选11.A【解析】由题意知：当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），同理得到： 在处， 在上运动， 在处， 在上运动； 在处， 在处， 在上运动， 都在上运动的轨迹，进一步分析其它情形即可得到的轨迹为棱柱体，故选A.12.A【解析】由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD ，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD顶点在同一个球面上，可知ABAC，所以BC 是外接球的直径，所以BC= ，球的半径为： ；所以球的体积为: 13.6【解析】由题意在中， ，由正弦定理可求得其外接圆的直径为，即半径为，又球心在面上的射影是外心，故球心到面的距离，求的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形，设球面距为，球半径为，故有，解得，故答案为.14.【解析】因为在矩形 中， 和 均为以 为斜边的直角三角形，则 的中点 为三棱锥 的外接球的球心， 为外接球的直径，设外接球的半径为 ，则 ，解得 ，即 ，则该矩形的面积 (当且仅当 时取等号)，即该矩形的面积最大值为8.故答案为：8.15.【解析】连接并延长交于，再连接，对于，当时， 的延长线交线线段与点，且在与之间，连接则截面为四边形，正确；当时，即为中点，此时可得，故可得截面为等腰梯形，故正确；由上图当点向移动时，满足，只需上取点满足，即可得截面为四边形，故正确；当时，只需点上移即可，此时的截面形状是下图所示的，显然为五边形，故不正确；当时， 与重合，取的中点，连接，可证，且，可知截面为为菱形，故其面积为，故正确，故答案为.16.【解析】结合点的坐标和圆的方程可得直线与圆相切，切点为，且直线与直线垂直，其中： ，故，直线AB的点斜式方程为： ，整理为一般式即： .17.（1）；（2）或【解析】（1）联立两条直线方程： ，解得，所以直线与直线的交点的坐标为（2）设直线方程为： .令 得，因此；令得，因此 ， 解得或18.（1）；（2）【解析】（1）正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，表面积为，正方体表面积为，三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为（2）三棱锥的体积为19.（）证明：在三棱柱中，底面，所以.又因为，所以平面，又平面，所以平面平面（）证明：取的中点，连接，.因为，分别是，的中点，所以，且，.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.（）因为，所以.所以三棱锥的体积.20.（1）；（2）存在点满足题意【解析】（1）直线过定点， 取最小值时， ，（2）设，斜率不存在时不符合题意，舍去；斜率存在时，则即， 即， 由题意可知，两弦长相等也就是和相等即可，故，化简得： 对任意恒成立，故，解得故存在点满足题意21.（I）证明：连结BD，设BD与AC的交点为O，AC，BD为正方形的对角线，故O为BD中点；连结MO，O，M分别为DB，DD1的中点，OMBD1，OM平面ACM，BD1平面ACMBD1平面ACM（II）ACBD，DD1平面ABCD，且AC平面ABCD，ACDD1；且BDDD1=D，AC平面BDD1B1OB1平面BDD1B1，B1OAC，连结B1M，在B1MO中 B1OOM（10分）又OMAC=O，B1O平面AMC；（II） V=22.（1）证明：连接MN，则MN是BCD的中位线，MNCD，MN=CD由侧视图可知AECD，AE=CD，MN=AE，MNAE四边形ANME为平行四边形，ANEMAN平面CME，EM平面CME，A