广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中四校2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）

广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中四校2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数（为虚数单位）是纯虚数，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过复数是纯虚数得到，得到，化简得到答案.【详解】复数（为虚数单位）是纯虚数故答案选D【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.2.某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据先分组，后分配的原则得到结果.【详解】由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有.故选：A【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组注意各种分组类型中，不同分组方法的求解3.学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到，三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ）A. 70种B. 140种C. 420种D. 840种【答案】C【解析】【分析】将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案.【详解】2男1女时：2女1男时：共有420种不同的安排方法故答案选C【点睛】本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键.4.一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度（的单位：，的单位：）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位：）是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先计算汽车停止的时间，再利用定积分计算路程.【详解】当汽车停止时，解得：或（舍去负值），所以.故答案选B【点睛】本题考查了定积分的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.5.将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】考点：条件概率与独立事件分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率代入算式得到结果解：P（A|B）=P（AB）P（B），P（AB）=P（B）=1-P（）=1-=1-=P（A/B）=P（AB）P（B）=故选A6.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（ ）附：若，则，A. 171B. 239C. 341D. 477【答案】B【解析】【分析】根据正态分布中特殊区间上的概率得到面粉质量在上的概率为，然后根据可求出的数学期望【详解】设每袋面粉的质量为 ，则由题意得，.由题意得，故选B【点睛】本题考查正态分布中特殊区间上的概率，解题时注意把所求概率转化为三个特殊区间上的概率即可另外，由于面粉供应商所供应的某种袋装面粉总数较大，所以可认为的分布列近似于二项分布，这是解题的关键7.若，则（ ）A. 10B. -10C. 1014D. 1034【答案】C【解析】【分析】先求出，对等式两边求导，代入数据1得到答案.【详解】取对等式两边求导取故答案为C【点睛】本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键.8.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（ ）A. 事件与事件不相互独立B. ，是两两互斥的事件C. D. 【答案】C【解析】【分析】依次判断每个选项得到答案.【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B. ，两两不可能同时发生，正确C. ，不正确D. ，正确故答案选C【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.9.已知，设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中的系数为（ ）A. -250B. 250C. -500D. 500【答案】A【解析】【分析】分别计算各项系数之和为，二项式系数之和为，代入等式得到，再计算的系数.【详解】的展开式取得到二项式系数之和为 取 值为-250故答案选A【点睛】本题考查了二项式定理，计算出的值是解题的关键.10.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）参考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.84150246.6357.87910.828A. 12人B. 18人C. 24人D. 30人【答案】B【解析】【分析】设男生人数为，女生人数为，完善列联表，计算解不等式得到答案.【详解】设男生人数为，女生人数为喜欢抖音不喜欢抖音总计男生 女生 总计 男女人数为整数故答案选B【点睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生计算能力和应用能力.11.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将复数化为的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【详解】【点睛】本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力.12.函数，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据函数的单调性得到在上恒成立，参数分离得到，计算的最小值得到答案.【详解】不妨设，可得：.令，则在单调递减，所以在上恒成立，当时，当时，则，所以在单调递减，是，所以.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知复数对应复平面上的点，复数满足，则复数的共轭复数为_.【答案】【解析】【分析】先计算复数的模，再计算复数，最后得到共轭复数.【详解】复数对应复平面上的点复数的共轭复数为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，共轭复数，意在考查学生的计算能力.14.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则_【答案】【解析】【分析】先换元令，平方可得方程，解方程即可得到结果.【详解】令，则两边平方得，得即，解得：或（舍去）本题正确结果：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.15.设数列的前项和为，已知，则_.【答案】【解析】【分析】先计算，归纳猜想【详解】由，可得，归纳猜想：故答案为【点睛】本题考查了数列通项公式的归纳猜想，意在考查学生的归纳猜想能力.16.已知的外接圆半径为1，点在线段上，且，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由所以可知为直径，设，求导得到面积的最大值.【详解】由所以可知为直径，所以，设，则，在中，有，所以的面积，.方法一：（导数法），所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，的面积的最大值为.方法二：（均值不等式），因为.当且仅当，即时等号成立，即.【点睛】本题考查了面积的最大值问题，引入参数是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.设函数.（1）求的单调区间；（2）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的增区间为；的减区间为，（2）【解析】【分析】（1）求导，根据导数的正负判断函数的单调区间.（2）对任意的都有恒成立转化为：求得答案.【详解】（1）的定义域为.，当时，单调递增；当时，或，单调递减；所以的增区间为；的减区间为，.（2）由（1）知在单调递减，单调递增；知的最小值为，又，所以在上的值域为.所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.18.2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。某省采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某学校从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查.（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的列联表.请求出和，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“历史”总计男生10女生25总计（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1），有的把握认为选择科目与性别有关.详见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）完善列联表，计算，再与临界值表进行比较得到答案.（2）这4名女生中选择历史的人数可为0，1，2，3，4.分别计算对应概率，得到分布列，再计算数学期望.【详解】（1）由题意，男生人数为，女生人数为，所以列联表为：选择“物理”选择“历史”总计男生451055女生252045总计7030100，.假设：选择科目与性别无关，所以的观测值，查表可得：，所以有的把握认为选择科目与性别有关.（2）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择历史，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择历史的人数可为0，1，2，3，4.设事件发生概率为，则，.所以的分布列为：01234所以的数学期望.【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.设函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）已知，若存在使得，求实数的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】（1）求导数，讨论的不同范围得到单调区间.（2）设函数，函数单调递增推出，解得答案.【详解】（1）的定义域为.，则.当时，则，在单调递减；当时，有两个根，不妨设，则，由，所以.所以时，单调递减；，或，单调递增；当时，方程的，则，在单调递增；综上所述：当时，的减区间为；当时，的减区间为，增区间为和.当时，的增区间为.（2），所以在单调递增，要使得在有解，当且仅当，解得：.【点睛】本题考查了函数的单调性，存在性问题，构造，判断是解题的关键.20.随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF快递收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.某县SF分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：重量（单位：kg）（0，1（1，2（2，3（3，4（4，5件数43301584对近60天，每天揽件数量统计如下表：件数范围0100101200201300301400401500件数50150250350450天数663016以上数据已做近似处理，将频率视为概率.（1）计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在101300之间的概率；（2）估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？【答案】（1）（2）15，代办点不应将前台工作人员裁员1人【解析】【分析】（1）由题意得到样本中包裹件数在101300之间的概率为，进而得到包裹件数在101300之间的天数服从二项分布，即可求解相应的概率；（2）利用平均数的计算公式，求得样本中每件快递收取的费用的平均值，即可得到结论；根据题意及，分别计算出不裁员和裁员，代办点平均每日利润的期望值，比较即可得到结论.【详解】（1）由题意，可得样本中包裹件数在101300之间的天数为36，频率，故可估计概率为，显然未来5天中，包裹件数在101300之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为.（2）样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：kg）12345快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为15元.代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：根据题意及（2），搅件数每增加1，代办点快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.1EY故代办点平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件上限为300件，代办点每日揽件数情况如下：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250300300频率0.10.10.50.20.1EY则代办点平均每日利润的期望值为（元），故代办点不应将前台工作人员裁员1人.【点睛】本题主要考查了二项分布的应用，以及期望的求解及应用，其中解答中正确理解题意，熟记利用二项分布的概率计算方法，以及准确计算代办点平均每日利润的期望是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21.已知函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同切线.（1）求和的解析式，并求的单调区间；（2）设为的导数，当，时，证明：.【答案】（1），的增区间，减区间为：，.（2）见解析【解析】【分析】（1）将分别代入函数和导函数，根据切线方程得到方程组，解得和的解析式，然后求单调区间.（2）只需证明，即，分别求两边的最小和最大值，得证.【详解】（1）曲线和曲线都过点，所以，所以，所以，.所以，当，当，所以的增区间，减区间为：，.（2）先证：，即证：，因为，所以，即证：.令，因为，所以，所以，所以，令，所以表示两点与斜率，其中，由图可知与圆相切有最大值1.，所以.因为，.方法二：证明：.当时，由，所以.当时，因为，所以，下证：，化简可得：，因为，当