试验设计与变异数分析介绍ppt课件

第13章,實驗設計與變異數分析,.,2,本章內容,13.1實驗設計與變異數分析介紹13.2變異數分析與完全隨機設計13.3多重比較程序13.4隨機區集設計13.5因子實驗,.,3,13.1實驗設計與變異數分析介紹,資料蒐集變異數分析的假設變異數分析：觀念簡介,第13章實驗設計與變異數分析第455-461頁,.,4,實驗設計與變異數分析介紹,統計研究可分為實驗型或觀察型兩類。在實驗型統計研究中，須先界定感興趣之變數，而後控制研究中另一個或更多個其他因素，即可獲得這些因素如何影響欲探討變數之資料。在觀察型的研究中，則不需控制實驗，而是從實地訪查中取得資料。在觀察型的研究中，要建立因果關係是有困難的。實驗型研究則較為容易。,第13章實驗設計與變異數分析第456-457頁,.,5,實驗設計與變異數分析介紹,因素(factor)是一個調查研究中可被實驗者選擇的變數。處理(treatment)是每一因素的對應方式。實驗單位(experimentalunits)是實驗中感興趣的主題。完全隨機設計(completelyrandomizeddesign)是指處理被隨機指派的一種實驗設計。,第13章實驗設計與變異數分析第457頁,.,6,實驗設計實例,Chemitech公司發展出一套新的自來水過濾系統。該系統的零件必須向數個供應商購買，Chemitech公司將在位於南卡羅來納州哥倫比亞市的工廠組裝這些零件。工業工程部門須負責決定此套新過濾系統的最佳組裝方法。在考慮很多可行的組裝方法後，工業工程部門選出三種較佳的方法：方法A、方法B及方法C。這些方法在組裝產品的先後順序上會有所差異。Chemitech公司的經理希望知道何種組裝方法可在每週生產數量最多。,第13章實驗設計與變異數分析第457頁,.,7,實驗設計實例,在公司的實驗中，組裝方法被視為是一個自變數或因素(factor)，因為此因素包含三種組裝方法，我們稱此實驗有三個處理，每一個處理(treatment)對應一種組裝方法。Chemitech公司之問題是有關類別因素(組裝方法)的單因素實驗(single-factorexperiment)的實例。其他更複雜的實驗可能包含多個因素，其中有些是類別因素，有些則是定量因素。,第13章實驗設計與變異數分析第457頁,.,8,實驗設計實例,這三種組裝方法(或處理)定義了此次Chemitech實驗中的三個研究母體：第一個母體是使用方法A的所有員工、第二個母體為使用方法B的所有員工、第三個母體則為使用方法C的所有員工。對每一個母體而言，應變數或反應變數(responsevariable)為每週組裝的過濾系統數目。而此次實驗的目的則是決定三個母體(方法)每週之平均產量是否相等。,第13章實驗設計與變異數分析第457頁,.,9,實驗設計實例,假設我們從Chemitech公司的所有裝配工人中，任意選取3名員工組成一組隨機樣本，這3名員工稱為實驗單位(experimentalunits)。在Chemitech公司之問題中，使用的實驗設計稱為完全隨機設計(completelyrandomizeddesign)。此種設計方式要求3個實驗單位(即裝配工人)均被隨機指派一種組裝方法(或處理)。例如，第二個工人被指定以方法A組裝，第一個工人被指定方法B，第三個工人則採用方法C。此例子中的隨機化(randomization)概念是所有實驗設計的重要原則。,第13章實驗設計與變異數分析第457頁,.,10,實驗設計實例,值得注意的是，在該實驗中，一個處理將只含一個測量值(即組裝的產品數量)。為了獲得更多資料，我們必須重複上述實驗程序。例如，我們不要一次只隨機選取3名員工，而改為選取15名員工，然後各隨機指派5名員工採用某種組裝方式。既然每種組裝方式都有5名員工，我們即可說：重複5次實驗。這種重複(replication)的過程為實驗設計的另一重要原則。圖13.1說明此次Chemitech實驗的完全隨機設計。,第13章實驗設計與變異數分析第457頁,.,11,實驗設計實例,第13章實驗設計與變異數分析第458頁,.,12,實驗設計實例,在Chemitech公司的例子中，我們須先指導員工如何執行所被指派的組裝方法，而後令其使用此種組裝方法開始組裝新的過濾系統。1星期內每名員工組裝的數量、各種組裝方式所生產的產品數量的樣本平均數、樣本變異數與樣本標準差等如表13.1。其中使用方法A的樣本平均數為62，方法B為66，方法C則為52。就上述資料而言，方法B的生產率似乎高於其他兩種方法。,第13章實驗設計與變異數分析第458頁,.,13,實驗設計實例,第13章實驗設計與變異數分析第458頁,.,14,實驗設計實例,真正的問題是，這三個樣本平均數之差異是否大到可以使我們下結論，即三種組裝方法之產量不同。為了以統計名詞表達此問題，我們先介紹下列符號：1方法A平均每週產量2方法B平均每週產量3方法C平均每週產量雖然我們不可能知道1、2及3真正的值，但我們可使用樣本平均數檢定下列的假設：H0：123Ha：所有母體平均數不全相等,第13章實驗設計與變異數分析第458-459頁,.,15,變異數分析(ANOVA)能用來分析得自觀察型研究的資料，以檢定三個或三個以上的母體平均數是否相等。,在分析同時包含實驗型及觀察型資料之迴歸分析結果時，ANOVA扮演重要角色。,我們可以使用這些樣本資料的結果進行下列假設檢定：,H0:1=2=3=.=k,Ha:所有母體平均數不全相等,變異數分析介紹,第13章實驗設計與變異數分析第456-457.459頁,.,16,H0:1=2=3=.=k,Ha:所有母體平均不全相等,如果拒絕H0，我們不能下結論說所有的母體平均數都不相等。,拒絕H0意指至少有兩個母體平均數不相等。,變異數分析介紹,第13章實驗設計與變異數分析第459-461頁,.,17,1.每個母體之反應變數均呈常態分配。,2.所有母體反應變數的變異數2均相等。,3.由每個母體抽取之樣本必須互為獨立。,變異數分析的假設,第13章實驗設計與變異數分析第459頁,.,18,變異數分析介紹,第13章實驗設計與變異數分析第460頁,.,19,變異數分析介紹,第13章實驗設計與變異數分析第460頁,.,20,變異數分析介紹,每一組樣本之樣本內差異也將影響變異數分析的結論。當由每個母體中抽取一組隨機樣本時，每一組的樣本變異數均應為共同變異數2的不偏估計值。因此，我們將結合共同變異2的每個個別估計值，成為一個總樣本估計值。以此方式獲得的母體變異數2的估計值稱為2之混合或處理內估計值(pooledorwithin-treatmentsestimate)。由於2之處理內估計值乃是每組樣本組內變異所計算而得的樣本變異數，故不受母體平均數是否相等之影響。當樣本大小相等時，2之處理內估計值可由計算各個樣本變異數之平均數而得。,第13章實驗設計與變異數分析第460-461頁,.,21,變異數分析實例,在Chemitech公司的例子中，我們可得2的處理間估計值(260)遠大於處理內估計值(28.33)，事實上，這兩個估計值之比為260/28.339.18。,第13章實驗設計與變異數分析第461頁,.,22,變異數分析介紹,只有當虛無假設為真時，處理間估計值方為2的一個好的估計值；若虛無假設為偽，處理間估計值將高估2。但處理內估計值則不論在何種情況下，均為共同母體變異數2的良好估計值。因此，若虛無假設為真，此兩個估計值應極為接近，它們的比也應接近1；如果虛無假設為偽，處理間估計值應大於處理內估計值，且它們的比應該較大。,第13章實驗設計與變異數分析第461頁,.,23,變異數分析介紹,ANOVA背後的邏輯乃基於共同母體變異數2的兩種獨立估計方式發展而成。一種2的估計方式係基於各種樣本平均數間之差異計算而得，另一種方式則由每組樣本的組內變異數計算而得。藉由比較上述兩個2的估計值，我們將可決定母體平均數是否相等。,第13章實驗設計與變異數分析第461頁,.,24,評註,實驗設計的隨機化與觀察型研究之機率抽樣在本質上是相似的。在許多醫藥實驗中，雙盲實驗設計可消除許多潛在誤差。在此類設計中，醫生與病患均不知用了何種處理。此類設計亦適用於許多其他類型的實驗。,第13章實驗設計與變異數分析第461頁,.,25,評註,本節中，我們介紹在完全隨機實驗設計中，如何使用變異數分析進行k個母體平均數是否相等的檢定，這些程序亦可適用在觀察型或非實驗型的研究上。在10.1節及10.2節中，我們曾介紹用以檢定兩母體平均數相等之假設的統計方法。ANOVA亦可用來檢定兩母體平均數相等之假設。然而，在實務運用上，變異數分析通常只用來檢定三個或三個以上母體平均數相等的假設。,第13章實驗設計與變異數分析第461頁,.,26,13.2變異數分析與完全隨機設計,母體變異數之處理間估計值母體變異數之處理內估計值比較變異數之估計值：F檢定ANOVA表變異數分析之電腦結果檢定k個母體平均數是否相等：一個觀察型的實例,第13章實驗設計與變異數分析第461-475頁,.,27,變異數分析,變異數分析可以用來檢定k個母體平均數是否相等。其假設檢定之一般形式為H0:1=2=.=kHa:所有母體平均數不全相等其中j=第j個母體平均數,第13章實驗設計與變異數分析第461頁,.,28,變異數分析,樣本資料=第j個處理的第i個觀察值=第j個處理的觀察值個數=第j個處理的樣本平均數=第j個處理的樣本變異數=第j個處理的樣本標準差,第13章實驗設計與變異數分析第462頁,.,29,變異數分析,第j個處理的樣本平均數公式：第j個處理的樣本變異數公式：,第13章實驗設計與變異數分析第462頁,.,30,變異數分析,總樣本平均數其中nT=n1+n2+.+nk如果每組樣本數均為n，則nkn,第13章實驗設計與變異數分析第462頁,.,31,檢定k個母體平均數是否相等(Chemitech公司實例),在Chemitech公司的例子中，每個樣本數均為5。利用表13.1的資料，我們可以得到下列結果如果虛無假設為真(1=2=3=)，總樣本平均數60即為母體平均數的最佳估計值。,第13章實驗設計與變異數分析第462頁,.,32,母體變異數之處理間估計值,處理間平方和(sumofsquaresduetotreatments)，記作SSTR。處理間均方(meansquareduetotreatments)，記作MSTR。,第13章實驗設計與變異數分析第463頁,.,33,2的處理間估計值，稱為處理間均方(meansquareduetotreatments)，記作MSTR，計算MSTR的公式如下：,母體變異數之處理間估計值,k1為SSTR的自由度,處理間平方和(sumofsquaresbetweentreatments或sumofsquaresduetotreatments)，記作SSTR,第13章實驗設計與變異數分析第463頁,.,34,母體變異數之處理間估計值(Chemitech公司實例),若H0為真，則MSTR為2的不偏估計值。當k個母體平均數不相等時，MSTR將不再是2的不偏估計值。事實上，此時MSTR將高估2。由表13.1Chemitech公司的資料，我們可得到下列的結果。,第13章實驗設計與變異數分析第463頁,.,35,誤差平方和(sumofsquaresduetoerror)，記作SSE。誤差均方(meansquareduetoerror)，記作MSE。,母體變異數之處理內估計值,分母nTk為SSTR的自由度,第13章實驗設計與變異數分析第463頁,.,36,母體變異數之處理內估計值(Chemitech公司實例),MSE來自於每個處理內的差異，它不會受虛無假設是否為真的影響。因此，MSE恆為2的一不偏估計值。由表13.1Chemitech公司的資料，我們可以得到下列的結果。,第13章實驗設計與變異數分析第463-464頁,.,37,比較變異數之估計值：F檢定,若虛無假設為真且ANOVA之假設均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會服從分子自由度為k1，分母自由度為nTk的F分配。換言之，若虛無假設為真，MSTR/MSE的值會是從此F分配抽樣而得的結果。若虛無假設為假，則因MSTR高估2，MSTR/MSE的值將提高。因此，當MSTR/MSE的值太大，使其不似來自分子自由度為k1，分母自由度為nTk的F分配時，我們將拒絕H0。,第13章實驗設計與變異數分析第464頁,.,38,假設檢定檢定統計量,F=MSTR/MSE,H0:1=2=.=kHa:所有母體平均數不全相等,比較變異數之估計值：F檢定,第13章實驗設計與變異數分析第464-465頁,.,39,拒絕法則,其中F值係由分子自由度k1，分母自由度nTk之F分配查表而得。,若p值，則拒絕H0,p值法：,絕對值法：,若FF，則拒絕H0,比較變異數之估計值：F檢定,第13章實驗設計與變異數分析第464-465頁,.,40,比較變異數之估計值：F檢定(Chemitech公司實例),若使用顯著水準0.05來進行假設檢定，則檢定統計量的值其分子自由度為k1312，分母自由度為nTk15312。由於我們只在檢定統計量的值夠大時，才會拒絕虛無假設，因此p值為F分配在檢定統計量F9.18的右尾區域的面積值。圖13.4為FMSTR/MSE的抽樣分配、檢定統計量的值及此假設檢定右尾區域的p值。,第13章實驗設計與變異數分析第464頁,.,41,比較變異數之估計值：F檢定(Chemitech公司實例),第13章實驗設計與變異數分析第465頁,.,42,比較變異數之估計值：F檢定(Chemitech公司實例),查附錄B的表4，分子自由度為2、分母自由度為12的F分配，其右尾區域的範圍如下。由於F9.18大於6.93，因此F9.18的右尾面積會小於0.01，亦即p值小於0.01。因為p值0.05，所以拒絕H0。此檢定提供充分的證據顯示三個母體平均數不相等。換言之，變異數分析支持Chemitech公司三種組裝方法每周產量的母體平均數不全相等之結論。,第13章實驗設計與變異數分析第464-465頁,.,43,比較變異數之估計值：F檢定(Chemitech公司實例),我們也可以使用臨界值法進行此假設檢定的程序。假設0.05，在自由度為2與12的F分配，其右尾區域的面積為0.05處，可找到臨界F值，查F分配表，可得F0.053.89。因此，Chemitech公司的例子，其右尾拒絕法則為若F3.89，則拒絕H0由於F9.18，因此拒絕H0，結論為三個母體的平均數不全相等。,第13章實驗設計與變異數分析第465頁,.,44,SST可以分解為SSTR與SSE,SST的自由度可分解為SSTR的自由度與SSE的自由度,處理誤差總和,SSTRSSESST,k1nTknT1,MSTRMSE,變異數,平方和,自由度,均方,MSTR/MSE,F,ANOVA表,p值,第13章實驗設計與變異數分析第465-466頁,.,45,SST可分解為兩個平方和：處理間平方和與誤差平方和。SST之自由度nT1亦可分解為SSTR之自由度k1與SSE之自由度nTk。,若將所有觀察值視為同一組樣本，則總平方和SST之計算公式為,第13章實驗設計與變異數分析第466頁,ANOVA表,.,46,我們可將變異數分析視為分割(partitioning)總平方和與自由度為兩種不同來源：處理與誤差的一個過程。,將平方和除以相對應之自由度即為變異數之估計值。由此得到的F值與p值可用以檢定母體平均數是否相等之假設。,ANOVA表,第13章實驗設計與變異數分析第466頁,.,47,ANOVA表(Chemitech公司實例),表13.3即為Chemitech公司之變異數分析表。,第13章實驗設計與變異數分析第466頁,.,48,變異數分析之電腦結果,第13章實驗設計與變異數分析第494頁,.,49,評註,總樣本平均數可由k個樣本平均數之加權平均計算而得：若已知各樣本平均數，則使用上述公式計算總樣本平均數，將較使用式(13.3)來得簡單。,第13章實驗設計與變異數分析第468頁,.,50,評註,如果每組樣本均含n個觀察值，則式(13.6)可改寫為我們在13.1節介紹2之處理間估計值的概念時，亦得到上述的結果。式(13.6)乃是將此一結果推廣至樣本大小不相等的情形。,第13章實驗設計與變異數分析第468頁,.,51,評註,如果每組樣本均含n個觀察值，則nT=kn；故nTk=k(n1)，則式(13.9)可改寫換言之，若每組樣本大小相同，則MSE即為k個樣本變異樹之平均值。我們在13.1節介紹2之處理估計值時，亦得到此結果。,第13章實驗設計與變異數分析第468頁,.,52,13.3多重比較程序,費雪LSD型I誤差率,第13章實驗設計與變異數分析第471-475頁,.,53,多重比較程序,假設變異數分析已提供拒絕母體平均數相等之虛無假設的統計證據。費雪最低顯著差異(leastsignificantdifference,LSD)程序可用以決定哪些母體平均數間存在差異。,第13章實驗設計與變異數分析第471頁,.,54,假設檢定檢定統計量,費雪LSD程序,第13章實驗設計與變異數分析第471-472頁,.,55,拒絕法則,其中t/2值係查自由度為nTk之t分配表而得。,若p值，則拒絕H0,p值法：,絕對值法：,若t-t/2或tt/2，則拒絕H0,費雪LSD程序,第13章實驗設計與變異數分析第471-472頁,.,56,費雪LSD程序實例,利用費雪LSD程序檢定在0.05的顯著水準下，母體1(方法A)與母體2(方法B)之平均數間是否存在顯著差異。由表13.1得知，方法A之樣本平均數是62，方法B之樣本平均數為66。表13.3則顯示母體變異數之估計值，即MSE，為28.33，其為2之估計值且對應之自由度為12。根據Chemitech公司的資料，檢定統計量的值為,第13章實驗設計與變異數分析第472頁,.,57,費雪LSD程序實例,查附錄B的表2可知，自由度12的t分配表如下所示：T分配表只有正的t值，但t分配是左右對稱，我們可以找t1.19右尾的面積，此面積的2倍即是t1.19對應的p值。當t1.19，其面積介於0.20與0.10之間，將之乘以2，可知p值一定介於0.40與0.20之間。利用Minitab或Excel可以算出p值為0.2571。由於p值大於0.05，我們不能拒絕虛無假設，因此不能下結論為方法A母體的每週平均產量與方法B母體的每週平均產量不相等。,第13章實驗設計與變異數分析第472頁,.,58,檢定統計量拒絕法則,以檢定統計量為基礎之費雪LSD程序,其中,若LSD，拒絕H0,第13章實驗設計與變異數分析第472-473頁,.,59,費雪LSD程序實例,就Chemitech公司之例子而言，LSD之值為當樣本大小均相同時，我們只需計算一個LSD值。在此情況下，我們僅需將兩樣本平均數之差異值與LSD值進行比較。,第13章實驗設計與變異數分析第473頁,.,60,費雪LSD程序實例,例如，母體1(方法A)與母體3(方法C)之平均數差為625210。由於此值大於LSD=7.34，我們可以拒絕方法A與方法C之母體每週平均產量相等之假設。同樣地，由於母體2與母體3的樣本平均數差為6652147.34，我們也拒絕方法B與方法C之母體平均數相等之假設。事實上，我們的結論是方法A、方法B與方法C存在差異。,第13章實驗設計與變異數分析第473頁,.,61,費雪LSD程序,使用費雪LSD程序估計兩母體平均數差之信賴區間其中ta/2係查自由度為nTk之t分配表而得。信賴區間包含0在內，我們將無法拒絕兩母體平均數相等之假設。當信賴區間不含0時，我們可得到兩母體平均數確實存在差異之結論。,第13章實驗設計與變異數分析第473頁,.,62,費雪LSD程序實例,在Chemitech公司的例子中，LSD7.34(對應t0.0252.179)。因此，母體1、母體2之平均數差的95%信賴區間估計值為：62667.3447.3411.34到3.34。由於此一信賴區間包含0，故無法拒絕此兩母體平均數相等之假設。,第13章實驗設計與變異數分析第473頁,.,63,型I誤差率,比較的型I誤差率(comparisonwiseTypeIerrorrate)即是進行單一的一對母體平均數比較時的顯著水準。實驗的型I誤差率(experimentwiseTypeIerrorrate)表示為EW。當檢定問題所牽涉之母體數愈多時，實驗的型I誤差率將愈大。,第13章實驗設計與變異數分析第474頁,.,64,13.4隨機區集設計,飛航航管員壓力測試ANOVA程序計算與結論,第13章實驗設計與變異數分析第477頁,.,65,隨機區集設計,為檢定不同處理之平均數間是否存在差異，我們使用下列比率計算F值。當外在因素(extraneousfactors)(非實驗欲探討之變數)產生之差異引起上述比率之MSE變大時，將會產生問題。在此情形下，F值將會變小，故即使處理間存在差異，亦可能得到處理間沒有顯著差異之結論。,第13章實驗設計與變異數分析第477頁,.,66,隨機區集設計,隨機區集設計(randomizedblockdesign)，此設計的目的在於藉由控制某些外在的變異來源，消除MSE項之誤差。隨機區集設計可提供真正的誤差變異數之較佳估計值，使假設檢定在探查處理平均數差異時，變得更具檢定力。當實驗單位的性質相類似時，可以使用完全隨機的設計。如果實驗單位的性質互異，則可以區集(blocking)的方法使其同質化。,第13章實驗設計與變異數分析第477頁,.,67,飛航航管員壓力測試,一項測量飛航航管員的疲累與壓力的研究，建議應修改並重新設計航管員的工作站。在考量數個工作站的設計案後，我們選出其中三個可降低航管員壓力的較佳方案。現在面對的主要問題為：這三個方案對航管員壓力的影響程度為何？為解答此問題，我們需先設計一個實驗，以測量在三個設計案下，航管員的壓力。,第13章實驗設計與變異數分析第477頁,.,68,飛航航管員壓力測試,在完全隨機設計中，我們各指派一組隨機樣本之航管員至三個不同的工作站設計案。然而，航管員處理壓力之能力各有差異，對某個航管員而言為高壓力，對另一個航管員可能只是中度甚至輕度之壓力。因此，在測量群體內之變異來源(MSE)時，我們必須瞭解此變異可能包含隨機誤差與個別航管員之差異兩部分。事實上，航管員之個別差異可能是構成MSE之主要部分。,第13章實驗設計與變異數分析第477-478頁,.,69,飛航航管員壓力測試,分離出航管員個別差異的一種方法即為隨機區集設計。此設計乃先界定航管員個人差異造成之變異，而後設法將其自MSE項中分離出來。隨機區集設計乃先隨機抽取一組樣本，然後將樣本內每位航管員均置於三個工作站設計案中各做一次測試。以實驗設計之術語而言，工作站被稱為欲探討之因素(factorofinterest)，航管員則稱為區集(blocks)，工作站因素的三個處理(母體)即對應至三個工作站設計案。為了簡化起見，我們稱三個工作站設計案為系統A、系統B及系統C。,第13章實驗設計與變異數分析第478頁,.,70,飛航航管員壓力測試,隨機區集設計中，隨機(randomized)一詞意指航管員樣本以隨機次序被安排至不同處理(系統)。如果每個航管員均依照相同次序分別在三個系統進行測試，則觀察到的差異可能並非因系統差異所致，而係導因於受測次序。為得到所需資料，我們在俄亥俄州克利夫蘭控制中心設置三種不同的工作站。並隨機選取6名航管員，均輪流至三個工作站工作。我們以追蹤訪談(follow-upinterview)及醫學檢驗方式測量6名航管員在每個系統的壓力值，所得到的資料如表13.5所示。,第13章實驗設計與變異數分析第478頁,.,71,飛航航管員壓力測試,第13章實驗設計與變異數分析第478頁,.,72,飛航航管員壓力測試,表13.6為壓力資料之彙整。表中包含行總和(處理)與列總和(區集)，以及有助ANOVA程序中平方和計算之樣本平均數。壓力值愈低愈好，樣本資料顯示系統B較佳，因其平均壓力值僅13。然而，我們的問題依然是：這些抽樣結果可使我們得到三個系統之平均壓力值存在差異之結論嗎？亦即，這些差異具統計上的顯著性嗎？我們曾在完全隨機設計中使用的變異數分析可用以回答此一統計問題。,第13章實驗設計與變異數分析第478頁,.,73,飛航航管員壓力測試,第13章實驗設計與變異數分析第478頁,.,74,ANOVA程序,隨機區集設計之ANOVA程序將總平方和(SST)分割為三部分：處理間平方和、區集造成的平方和及誤差平方和，公式如下：ANOVA表亦顯示總自由度nT1為處理之自由度k1、區集之自由度b1及誤差項之自由度(k1)(b1)之和。,SST=SSTR+SSBL+SSE,第13章實驗設計與變異數分析第479頁,.,75,ANOVA程序,第13章實驗設計與變異數分析第479頁,.,76,計算與結論,為計算用以檢定隨機區集設計中處理平均數間差異的F統計量，我們需先計算MSTR與MSE。為得MSTR與MSE，則必須先計算SSTR與SSE，然而算出SSTR與SSE前尚須計算SSBL、SST。除先前定義的k、b、nT外，我們再使用下列符號：=區集i中第j個處理的觀察值=第j個處理的樣本平均數=第i個區集的樣本平均數=總樣本平均數,第13章實驗設計與變異數分析第479頁,.,77,計算與結論,為簡化起見，我們分四步驟執行上列計算。步驟1.計算總平方和(SST)步驟2.計算處理間平方和(SSTR),第13章實驗設計與變異數分析第479-480頁,.,78,計算與結論,為簡化起見，我們分四步驟執行上列計算。步驟3.計算區集造成的平方和(SSBL)步驟4.計算誤差平方和(SSE),第13章實驗設計與變異數分析第480頁,.,79,隨機區集設計實例,就表13.6中飛航航管員之資料而言，上述步驟所得之值如下：步驟1.SST=(1514)2(1514)2(1814)2(1314)2=70步驟2.SSTR=6(13.514)2(13.014)2(15.514)2=21步驟3.SSBL=3(1614)2(1414)2(1214)2(1414)2(1514)2(1314)2=30步驟4.SSE=702130=19,第13章實驗設計與變異數分析第480頁,.,80,隨機區集設計實例,上述之平方和各除以對應之自由度，則得表13.8的均方值。,第13章實驗設計與變異數分析第480頁,.,81,評註,隨機區集設計會因b個區集而失去b1個自由度，此導致其誤差的自由度會比完全隨機設計時的自由度來得少。當n小時，區集的潛在效果會因誤差自由度的失去而被掩蓋；當n大時，此效果會最小。,第13章實驗設計與變異數分析第481頁,.,82,13.5因子實驗,ANOVA程序計算與結論,第13章實驗設計與變異數分析第483-487頁,.,83,因子實驗,一些實驗中，我們需對一個以上的變數或因素做出統計結論。當我們要同時對兩個或兩個以上因素做出結論時，因子實驗(factorialexperiments)及其對應的ANOVA計算程序將為極具價值的設計。我們之所以使用因子(factorial)一詞乃因實驗條件包含這些因素之所有可能的組合。例如，若因素A含a個水準(level)，因素B含b個水準，則此實驗即需要蒐集ab個處理組合之資料。,第13章實驗設計與變異數分析第483頁,.,84,因子實驗實例,以管理碩士入學測驗(GraduateManagementAdmissionsTest,GMAT)之研究為例，說明兩因素之因子實驗。GMAT之分數由200分至800分，分數愈高表示才能愈佳。為了提高學生的GMAT成績，一所德克薩斯州的大學正考慮開設以下三種GMAT準備課程。針對GMAT之考題類型的3小時複習課程。包含複習相關考試內容與模擬測驗，為期1天的課程。針對各個學生的缺點，設計10週的密集加強課程。,第13章實驗設計與變異數分析第483頁,.,85,因子實驗實例,因此，此研究的一個因素是GMAT準備課程，其中包含3個處理：3小時複習、1天課程及10週課程。在選擇該採用何種準備課程前，我們須做進一步研究，以確定不同課程是否會影響GMAT成績。接受GMAT測驗之學生通常來自商學院、工學院與文理學院等三個學院。因此，此實驗第二個欲探討的因素為學生就讀的大學學院是否會影響GMAT成績。所以第二個因素是大學學院，亦有3個處理：商、工及文理。,第13章實驗設計與變異數分析第4484頁,.,86,因子實驗實例,該實驗之因子設計包含因素A：準備課程的3個處理；及因素B：大學學院的3個處理，共有33=9個處理組合，這些處理組合或實驗條件彙整於表13.9。,86,第13章實驗設計與變異數分析第484頁,.,87,因子實驗實例,假設表13.9中的9個處理組合均含2個學生組成之隨機樣本：即商學院學生中有2個接受3小時複習課程，2個接受1天課程，另外2個接受10週課程。此外，這三種課程中的每一種課程亦各有2個工學院學生及2個文理學院學生接受測試。以實驗設計的術語而言，每個處理組合均含兩個觀察值之樣本稱為有兩個重複數(replications)。我們亦可選擇更多重複數及更大的樣本數，但為了簡化範例的計算過程，現在只選擇兩個重複數。,第13章實驗設計與變異數分析第484頁,.,88,因子實驗實例,在實驗設計中，我們各從三個學院計劃申請商學研究所的所有學生中隨機選取6個學生。而後每個學院各隨機指派2名學生參與每一個準備課程，故整個研究共有18個學生樣本。假設這些被隨機選取的學生已經參與準備課程，並參加GMAT考試，所得分數列於表13.10。,第13章實驗設計與變異數分析第484頁,.,89,因子實驗實例,利用表13.10之資料，經由變異數分析計算程序可提供下列問題的答案。主效果(因素A)：這些準備課程對提高GMAT成績之效果是否不同？主效果(因素B)：大學學院是否會影響GMAT成績？交互作用效果(因素A與因素B)：是否有些學院學生適用某些準備