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曲边梯形面积与定积分,高二数学组,曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。,O,x,y,y=f(x),一.求曲边梯形的面积,x=a,x=b,用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得,y=f(x),用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得,AA1+A2+A3+A4,用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得,将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为,AA1+A2+An,构造思想：以直代曲,无限逼近,例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。,解:把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:,因此,我们有理由相信,这个曲边三角形的面积为:,小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。,（1）分割,（2）近似代替,（4）取极限,(3)求和,3.求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)以直代曲:任取xixi-1,xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi),宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.,(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为,(3)作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi-1,xi,xi,(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度x,如果当n+时，Sn就无限接近于某个常数，,这个常数为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:分割-以直代曲-求和-逼近.,二、定积分的定义,积分下限,积分上限,定积分的相关名称：叫做积分号，f(x)dx叫做被积表达式，f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间。,积分下限,积分上限,按定积分的定义，有由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,1,说明：(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即,三.定积分的几何意义：,x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的相反数。,定积分的几何意义：,=-S,定积分的几何意义：,在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).,例1：计算下列定积分.,第（1）-（5）小题可用定积分的几何意义求解。第（6）小题现在只能用定积分的定义求，很繁，等下节学了牛顿-莱布尼兹公式再做。,四.定积分的基本性质,性质1.,性质2.
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