2019 03 02 理论攻坚-数学运算4 张小飞

理论攻坚-数学运算 4 主讲教师：张小飞 授课时间：2019.03.02 粉笔公考官方微信 1 理论攻坚理论攻坚- -数学运算数学运算 4 4（笔记）（笔记） 第八节 计算问题 一、基础计算 交换律：a*b*c=a*c*b，a+b+c=a+c+b。 分配律：ac+bc=（a+b）*c。 平方差公式：a 2-b2=（a+b）*（a-b） 。 完全平方公式： （ab）=a 22ab+b2。 【知识点】 计算问题： 是事业单位的特色， 因为太简单了， 公务员中考很少， 但在事业单位考试中仍然是重点。计算问题分为两类： 1.基础计算： （1）尾数法：很简单，但在不同地方都有考查。比如尾数分别是 6、7、8、 9， 只算尾数就可以。 万一尾数相同， 有时也可以用这种方法， 比如 12018、 12118、 12136、12236，12018 和 12118 的后两位都是 18，但我们可以算到后三位，也能 出答案。 （2）基础公式：用中学时的公式。 （3）定义新运算：事业单位和公务员考试的新特色。 2.数列与平均数。 【例 1】 （2018 年广西）489756-263945.27=（ ） 。 A.220810.78 B.225810.73 C.225811.72 D.225812.73 【解析】例 1.算上小数点，一共 8 位有效数字，不可能把 8 位有效数字全 算出来，考虑尾数法，选项尾数为 8、3、2、3，如果尾数是 3 则不好使，继续 往前看一位，78、73、72、73，73 相同，再往前看一位，0.78、0.73、1.72、 2.73， 发现算到后三位一定可以出答案， 把 “.00” 写出来， 489756.00-263945.27， 只算后三位，6.00-5.27，尾 3，排除 A、C 项；相减得到 0.73，对应 B 项。 【选 2 B】 【注意】但凡考计算，一定是有技巧的运算，不是硬算。 【例 2】 （2016 年成都）11+22+33+44+55的值是（ ） 。 A.6165 B.3630 C.5840 D.6655 【解析】例 2.不要硬算，不可能要把 5 个数的平方算出来再加和，不然题 目没有意义，本题一定有技巧，和中小学的公式相关，看底数，发现分别是 11、 22、33、44、55，都是倍数关系，分别的 11 的 1 倍、2 倍、3 倍、4 倍、5 倍， 所 以 原式= （11*1 ）+ （11*2）+（ 11*3 ） +（11*4） + （11*5） =11*1+11*2+11*3+11*4+11*5=11* （ 1 +2 +3 +4 +5 ） =121* （1+4+9+16+25）=121*55，尾数是 5，排除 B、C 项；121*50=6050，还要再加几 百，A 项只比 6050 大一点，比较小，排除，选择 D 项。 【选 D】 【例 3】 （2016 年天津）若两个数的平方差为 19，之和为 19，那么这两个数 的积为多少？（ ） A.86 B.90 C.100 D.120 【解析】例 3.出现“平方差” ，考查平方差公式：a 2-b2=（a+b）*（a-b） ， 平方差就是两个数的平方做差，本题有点考查语文功底， “之和为 19”是指两个 数之和， 而不是平方差之和， “的” 前面是主语， 不要搞错。 根据题意， a 2-b2=19， a+b=19，代入公式：19=19*（a-b） ，得 a-b=1，联立解得 a=10，b=9， 所以 a*b=90。 【选 B】 【注意】本题考查平方差公式和对题的理解。 【知识点】1.交换律：a*b*c=a*c*b，a+b+c=a+c+b。比如 25*19*4=25*4*19 =100*19=1900；63+56+37+44=（63+37）+（56+44）=100+100=200，哪两数好算 就先算哪两数。 2.分配律：ac+bc=（a+b）*c。比如 11*11+11*22=11*（11+22） 。 3 3.平方差公式：a 2-b2=（a+b）*（a-b） 。例 3 有讲，不再多说。 4.完全平方公式： （ab）=a 22ab+b2。迄今完全没考过，可以记一下， （a +b）=a 2+2ab+b2， （a-b）=a2-2ab+b2。比如 15+25+750，验证 750=2*15*25， 所以 15+25+750=（15+25）=40=1600。 【例 4】 （2018 年天津）假设“”的运算法则如下：对于任意整数 m、n， 若 m+n8，则 mn=m*n；若 m+n8，则 mn=m+n。则（23）+（34）+（4 5）+（56）+（67）+（78）的值为（ ） 。 A.160 B.166 C.172 D.178 【解析】例 4.有两种运算方法，要么乘，要么加，就看相加是否大于 8，2+3 8，用第二种方式，2+3；3+48，也是第二种方式，3+4；4+58，用第一种 方式，4*5；5+68，也是第一种方式，5*6；剩下的都是大于 8，6+78，7+8 8， 所以都乘起来， 原式化为 （2+3） + （3+4） +4*5+5*6+6*7+7*8=5+7+20+30+42+56， 可以直接运算， 也可以考虑尾数法， 只算个位， 得到尾数为 0， 对应 A 项。 【选 A】 【注意】 “”怎么规定，就怎么运算。 二、数列与平均数 平均数基本公式： 平均数=总数/个数总数，总数=平均数*个数。 等差数列通项公式： an=a1+（n-1）*d。 等差数列求和公式： Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数=平均数*项数。 【知识点】数列与平均数： 1.平均数基本公式： （1） 平均数=总数/个数。 比如班里有8人， 总分是640分， 平均分=640/8=80。 （2）总数=平均数*个数。要掌握式子之间的相互转化。 4 2.平均数识别特征（记不记都可以） ：会出现“平均” 。 3.平均数解题方法：方程法/列式子。 【例 5】 （2017 年深圳）七个人排成一竖排，他们的平均身高为 172cm，已 知前四人平均身高为 170cm， 后四人平均身高为 173cm， 则第四个人的身高为 （ ） cm。 A.168 B.170 C.172 D.174 【解析】例 5.7 个人，没说按高低排，随机排即可，出现 3 个“平均身高” ， 平均数问题，根据题意能得到总身高。画图，把 7 个人依次列出来，并且把前四 人和后四人圈起来，发现第四个人圈了两次，重复了，需要减掉一次，套公式， 总数=平均数*个数，前四人总身高=170*4，后四人总身高=173*4，相加再减掉算 重复的第四人即是七个人的总身高，七个人总身高=172*7，故 170*4+173*4-第 四=172*7，选项尾数不同，用尾数法，2-？=4，所以第四个人的个位为 8，对应 A 项。 【选 A】 【答案汇总】1-5：BDBAA 【知识点】等差数列： 1.特征：相邻两项差相等，比如 1、3、5、7、9，相邻两数相差 2，构成了 公差 d=2 的等差数列，用 a 表示项数，an就是第 n 项。 5 2.通项公式：an=a1+（n-1）*d。不需要推导，只需去验证即可，比如 1、3、 5、7、9，验证一下，a3=1+（3-1）*2=5；a5=a2+（5-2）*d=3+（5-2）*2=9，因 为一般都是给 a1，所以括号内减 1，如果给了其他，an=am+（n-m）*d，括号内都 是小角标之减。 3.等差数列求和公式 （记住） ： Sn= （a1+an） /2*n=中位数*项数=平均数*项数。 平均数*项数一般不会直接考， 比如 1、 3、 5、 7、 9， 平均数= （1+3+5+7+9） /5=25/5=5， （a1+an）/2=（1+9）/2=5，中位数=5。如果是偶数项，比如 1、3、5、7、9、11， 则中位数=（5+7）/2=6，Sn=中位数*项数=6*6=36，也可以算出来。 4.为什么不讲等比数列？因为很少考，即使考了，要么难到变态，掌握了公 式也做不出来，要么简单到变态，不掌握公式也能做出来。 【例 6】 （2017 年湛江）1+2+3+4+n=101025，则自然数 n=（ ） 。 A.449 B.450 C.451 D.452 【解析】例 6.识别题型：给了前 n 个自然数的和，相邻两项相差 1，是公差 d=1 的等差数列， 给了和是 101025， 用求和公式， 等差数列求和公式： Sn= （a1+an） /2*n（如果题目之间给了 a1，优先用这个公式，否则用“中位数*n”更快） ，得 到 （1+n）/2*n=101025n*（n+1）=202050，比较难算，直接代入， 如果想更快， 可以看尾数，202050 的尾数是 0，只有 0*自然数=0，或者 5*偶数时尾数是 0， 所以 n 和 n+1 至少有一个要么是 0 要么是 5，D 项：n=452，n+1=453，452*453， 2+3=6，不可能，排除；C 项：n=451，n+1=452，451*452，排除；剩下两项，B 项：n=450，n+1=451，450*451；A 项：n=449，n+1=450，449*450，再算一次即 可，发现 A 项满足。 【选 A】 【例 7】 （2017 年武汉）某计生局工作人员老王在 8 月的某个星期一出差， 直到下个星期一回来，将办公室的日历从出发日开始连续翻过 7 张，翻过去的日 期之和是 126，老王回来的星期一是（ ）号。 A.20 B.21 C.22 D.23 6 【解析】例 7.本题要先会识别，7 张日历，相邻两张差 1，构成了公差 d=1 的等差数列，给了和是 126，用求和公式：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数，没有 a1，所以用中位数。上周一出发，翻了 7 张，周一、周二、周三、周四，周五、 周六、周日，周四是中位数，则 a4*7=126，得 a4=18。依次往后推，周五、周六、 周日依次是 19、20、21，所以回来的周一是 22 号，注意不要误选 B 项。 【选 C】 【注意】建议全枚举出来，避免掉坑。 【答案汇总】6-7：AC 【小结】 1.基础计算： （1）尾数法： 加、减、乘、乘方； 选项尾数不同。 （2）基础公式： 交换律：a*b*c=a*c*b，a+b+c=a+c+b。 7 分配律：ac+bc=（a+b）*c。 平方差公式：a 2-b2=（a+b）*（a-b） 。 完全平方公式： （ab）=a 22ab+b2。 （3）定义新运算： 特征：有全新的运算符号。 方法：新符号按照定义进行运算；先括号，再乘除，后加减。 2.数列与平均数： （1）平均数： 特征：有“平均” 。 公式：平均数基本公式：平均数=总数/个数；总数=平均数*个数。 方法：列式子、列方程。 （2）等差数列： 特征：相邻两项差相等。 公式：通项公式：an=a1+（n-1）*d；等差数列求和公式：Sn=（a1+an）/2*n= 中位数*项数。 第九节 容斥原理 【知识点】容斥原理：考查不多，但也是传统的重点题型，套路性比较强， 不知道公式可能无能为力， 但知道公式会很好算， 投入产出比较高， 所以要掌握。 1.题型特征：给出两个/三个条件，且条件之间有重复。给两个条件就是两 集合，给三个条件就是三集合。 2.两集合容斥原理：出现“满足 A，满足 B，A 和 B 都满足”等表述。比如 我们班有些同学喜欢学习，有些同学喜欢睡觉，还有些同学既喜欢学习又喜欢睡 觉。 3.三集合容斥原理：出现“满足 A，满足 B，满足 C，满足 A 和 B，满足 A 和 C，满足 B 和 C，三个条件都满足”等表述。比如我们班有些同学喜欢学习， 有些同学喜欢睡觉，有些同学喜欢吃东西，有些同学喜欢学习和睡觉，有些同学 喜欢睡觉和吃东西，有些同学喜欢学习和吃东西，还有些同学喜欢学习又喜欢睡 8 觉又喜欢吃东西。 一、两集合容斥原理： 【知识点】两集合容斥公式：A+B-AB=总数-都不满足。AB：既满足 A 又满足 B，比如 A 代表语文考满分的，B 代表数学考满分的，AB 代表数学和语 文都考满分的，总数代表所有人，都不满足代表都没有考满分的。如图，A 圆代 表语文考满分的，B 圆代表数学考满分的，相加，中间代表语文和数学都考满分 的，加 A 时算了一次，加 B 时又算了一次，有重复，所以要剔除重复，减掉一次， -AB。所以 A+B-AB 就是满足条件的部分，等于总数-都不满足。 【例 1】 （2017 年临汾） 甲、 乙两人同时给 47 盆花浇水， 已知甲浇了 27 盆， 乙浇了 32 盆，还有 6 盆花没有浇过水，那么两人都浇过的花有几盆？（ ） A.22 B.20 C.18 D.16 【解析】例 1.“甲浇了 27 盆，乙浇了 32 盆” ，给了两条件， “都浇过” ，所 以之间有重复， 两集合容斥， 公式： A+B-AB=总数-都不满足， 代入数据： 27+32- 都浇=47-6，选项尾数不同，考虑尾数法，9-？=1，得到？=8，对应 C 项。 【选 C】 【例 2】 （2018 年河北）在 1 到 400 的全部自然数中，既不是 7 的倍数又不 9 是 9 的倍数的数有多少个？（ ） A.293 B.299 C.301 D.305 【解析】例 2.直接找不是的不好找，找是的好找，有 4 种情况：是 7 的倍 数； 是 9 的倍数； 既是 7 的倍数又是 9 的倍数； 既不是 7 的倍数又不是 9 的倍数， 它们的关系为：7 的倍数+9 的倍数-既是 7 的倍数又是 9 的倍数=总-既不是 7 的 倍数又不是 9 的倍数。是 7 的倍数的数有 400/757.1，58*7=406，大于 400， 所以到不了 58， 取 57 个； 不用再看余数， 所以是 9 的倍数的数有 400/944 个， 是 7 的倍数又是 9 的倍数有 400/（7*9）6 个，57+44-6=400-？，选项尾数不 同，用尾数法，5=0-？，得到？=5，对应 D 项。 【选 D】 【例 3】 （2017 年呼伦贝尔）某学院组织学生进行体育文化活动，有 80%的 学生报名参加，其中报名参加体育活动的人数与报名参加文化活动的人数比是 2： 1，两个活动都报名参加的人数为只报名参加文化活动人数的 50%，则报名参加 体育活动的人数是未报名参加活动人数的（ ）倍。 A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】例 3.模仿了 2014 年国考的一道题， “有 80%的学生报名参加”则有 20%没参加，读题可知是两集合容斥问题，有参加体育活动的，有参加文化活动 的，有两个活动都参加的，还有两个活动都不参加的，有两个条件且条件之间有 重复，公式：A+B-AB=总数-都不满足，如果参加体育活动的是 A，参加文化活 动是 B， “只报名参加文化活动”则是只 B，但是没有只满足 B 这个条件，公式用 不了，记住出现了“只满足一个条件” ，考虑画图。蓝色为体育，绿色为文化， 从里往外标数会比较好标，中间是都参加的人数，本题没给人数，一个带单位的 都没给，可以赋值，所以设两个都参加=中间=1， “两个活动都报名参加的人数为 只报名参加文化活动人数的 50%” ， 则只参加文化活动=1*2=2 人， 文化=1+2=3 人， “其中报名参加体育活动的人数与报名参加文化活动的人数比是 2：1” ，则参加 体育=3*2=6 人，只参加体育=6-1=5 人， “有 80%的学生报名参加” ，参加活动 =5+2+1=8 人，80%对应 8 人，另外有 20%没参加，则对应 2 人，所以报名参加体 10 育活动的人数是未报名参加活动人数的倍数=6/2=3 倍。 【选 B】 【注意】1.出现“只满足 1 个条件” ，选择画图法。 2.标数顺序：从里往外标数。 二、三集合容斥原理 【知识点】 1.公式推导：如图所示，用三个圆圈分别代表满足条件 A 的，满足条件 B 的，满足条件 C 的，矩形表示总数，所以圆圈外面的就是 A、B、C 三个条件都不 满足的，满足条件的=总数-不满足条件的，满足条件的还可以表示为三个圈的共 同面积，先将三个圆圈 A、B、C 加起来，加起来一定有重复的，再减去重复的， 红色点的部分在加 A 的时候加了一次，加 B 的时候也加了一次，减掉 A 和 B 相交 的红点部分，多加了一次，就减掉一次，画横线的部分在加 A 的时候加了一次， 加 C 的时候也加了一次，所以这一部分也加了两次，需要减掉一次，以此类推， 同理画蓝色线的部分也要减掉一次，此时已经去重完成，同时减了 3 次画黑圈的 部分，加的时候也加了 3 次，相当于把它漏掉了，需要再加上，所以三集合标准 公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不满足。 2.标准公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不满足。 3.记忆：建议大家一加、二减、三加。也就是满足一个条件的加，满足两个 条件的减，满足三个条件的加，这样不容易记错。 11 【例 4】 （2017 年亳州）针对 100 名体育爱好者进行调查发现，28 人爱好篮 球，30 人爱好足球，42 人爱好乒乓球，8 人既爱好乒乓球又爱好足球，10 人既 爱好篮球又爱好乒乓球，5 人既爱好足球又爱好篮球，3 人爱好此三项运动，则 不爱好此三项运动中任何一项的有（ ） 。 A.20 人 B.18 人 C.17 人 D.15 人 【解析】例 4.题干给出 3 个条件，且 3 个条件有重复，非常典型的三集合 容斥标准公式的特征，用一加、二减、三加即满足一个条件的加，满足两个条件 的减，满足三个条件的加。列式为 28+30+42-8-10-5+3=100-都不，选项尾数不 同，用尾数法，尾 0-尾 3+尾 3=100-都不，0=0-？，所以？=0，尾数为 0，对应 A 项。 【选 A】 【注意】1.直接计算也是可以的，不论怎样计算都不难。 2.先识别题型，给出 3 个条件且条件之间有重复，为三集合容斥原理，再套 公式做题，最后进行计算。 【知识点】非标准公式： 1.公式：A+B+C-满足两项-2*ABC=总数-都不满足。 2.特征：满足两个条件的为 1 个数据（如例 4， “8 人既爱好乒乓球又爱好足 球，10 人既爱好篮球又爱好乒乓球，5 人既爱好足球又爱好篮球” ，3 句话都满 足两个条件，满足两个条件的有 3 个数即 8、10 和 5，不能用非标准公式，如果 12 改为爱好其中两项的有 15 人，两项就是满足两个条件，15 是 1 个数据，这就叫 做满足两个条件的为 1 个数据，用非标准公式） 。 3.公式推导：满足=总数-都不，只需要知道满足的是多少即三个圆圈覆盖起 来的共同面积。如图，当 A、B、C 加完以后，去重，把满足两项的单独去重，红 点部分只满足 A 和 B 两个部分，红线部分只满足 A 和 C 两个条件，三角部分只满 足 B 和 C 两个条件，都是只满足其中两个条件，这三个区域都是算了两次，所以 减去满足两项之和，中间黑色线圈起来的部分一共算了 3 次，为了只保留 1 次， 去重要去 2 次，即减去 2*ABC，所以公式为 A+B+C-满足两项-2*ABC=总 数-都不满足。 【例 5】 （2017 年大连）100 位医务人员中，有 75 人懂法语，83 人懂英语， 65 人懂日语，懂三种语言的有 50 人，三种语言都不懂的有 10 人。那么懂两种 语言的有（ ）人。 A.88 B.86 C.38 D.33 E.90 【解析】例 5.懂两种语言即满足两个条件，不管算出来的数是多少都是一 个数，这就叫做满足两个条件的为一个数据，符合三集合容斥非标准公式特征， 设要求的懂两种语言的为 x 人，根据公式 A+B+C-满足两项-2*ABC=总数-都 13 不满足，列式为 75+83+65-x-2*50=100-10，本题可以考虑尾数法，但是要有所 准备，因为 A、C 项尾数均为 8，如果算出来尾数为 8，还需要重新计算，为了避 免，所以直接计算，原式化简为 123-x=90，解得 x=33。 【选 D】 【答案汇总】1-5：CDBAD 【拓展 1】一个班共 100 人，去过甲地、乙地、丙地的分别有 30 人、40 人、 50 人，去过甲地和乙地的有 5 人，去过甲地和丙地的有 10 人，去过乙地和丙地 的有 15 人，三地都去过的有 1 人，则三地都没有去过的有（ ）人。 【解析】拓展 1.肯定为三个条件，三个条件之间有重复，满足两个条件的 有 3 个数据，所以用标准公式做题。 【拓展 2】一个班共 100 人，去过甲地、乙地、丙地的分别有 30 人、40 人、 50 人，去过其中两地的有 27 人，三地都去过的有 1 人，则三地都没有去过的有 （ ）人。 【解析】拓展 2.由“去过其中两地的有 27 人”可知只有满足两个条件的有 1 个数据，所以用非标准公式做题。 【注意】事业单位考标准公式最多，比较简单。国考、联考考非标准公式最 多，因为非标准公式有可能有一部分考生不知道。 【小结】容斥原理： 14 1.两集合： （1）公式：A+B-AB=总数-都不满足（考查最多） 。 （2）画图： 特征：出现“只满足一个条件” 。 注意：从里往外标数。 2.三集合：可能考画图，和两集合的画图是一样的，没有任何区别，如果考 到的话，数据比较多，可以先跳过，因为比较浪费时间。 （1）标准公式： 特征：满足两个条件的为 3 个数据。 公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不满足。 （2）非标准公式： 特征：满足两个条件的为 1 个数据。 公式：A+B+C-满足两项-2*ABC=总数-都不满足。 第十节 高频几何问题 【注意】几何问题考查频率比较高，可以分为两类，一类为公式计算类，另 一类为计数类。 考查公式计算类比较多， 达到 80%左右， 几乎可以说是逢考必出， 套公式计算，所以掌握公式很重要。 一、公式计算类 【知识点】1.规则图形：直接用公式。 2.不规则图形，转化为规则图形，再用公式。只要是没有公式的图形，用割 补平移转化为有公式的来做。 （1）长度相关公式：C正方形=4a；C长方形=2*（a+b） ；C圆=2r。r 为半径。 （2）面积相关公式：S 正方体=a；S菱形=对角线乘积/2，如图，对角线为 AC 和 BD，所以就是（AC*BD）/2；S长方形=ab；S平行四边形=ah；S三角形=1/2ah；S梯形=1/2* （a+b）*h；S圆=r；S扇形=n/360r，扇形为圆形的一部分，所以看扇形 占圆形的比例，比例的表示看圆心角的角度，如果 n=90，则 S扇形=90/360 15 r=1/4r，r 均为半径。 （3）表面积相关公式：正方体所有的棱长都相等，所以任何一个面的面积 都可以表示为 a，共有 6 个面，所以 S正方体=6a；长方体的长、宽、高都不相等， 发现每两个对面是一样的，即每两个面是相等的，相当于 6 个面相加，S 长方体 =2ab+2bc+2ac；S球=4r（近三年没考过，可以忽略） ；S圆柱=2r+2rh，圆 柱上下两个底面均为圆形，圆的面积为r，两个圆的面积为 2r，还有一个 圆柱的侧面积，想象成一张纸卷成圆筒，圆筒相当于圆柱的侧面积，展开以后如 图，也就是一个长方形，一条边为高 h，另外一条边为圆的周长 2r，即侧面积 为 2rh。 （4）体积相关公式：V正方体=a；V长方体=abc；V柱体=Sh，所有的柱体的体积都 是表面积乘以高；V锥体=1/3Sh，椎体是柱体体积的 1/3，顶点向底面作垂线即为 高；V球=4/3r（可以忽略，近年来没考过，不需要掌握） 。 16 【知识点】基础公式： 1.周长：C正方形=4a；C长方形=2*（a+b） ；C圆=2r。 2.面积： S正方体=a； S菱形=对角线乘积/2； S长方形=ab； S平行四边形=ah； S三角形=1/2ah； S梯形=1/2*（a+b）h；S圆=r；S扇形=n/360r。 3.表面积：S正方体=6a；S长方体=2ab+2bc+2ac；S球=4r；S圆柱=2r+2rh 4.体积：V正方体=a；V长方体=abc；V柱体=Sh；V锥体=1/3Sh；V球=4/3r。 5.不太熟悉的公式需要记住：S菱形=对角线乘积/2；S扇形=n/360r；V 柱体=Sh；V锥体=1/3Sh。 【知识点】 直角三角形： 最基本的公式勾股定理： a+b=c， 已知 a=1， b=3， c=2，列式为 1+（3）=2。 1.常考勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13。3n、4n、5n 也是一组勾 股数，即（3n）+（4n）=（5n），3n、4n、5n 扩大任意整数倍得到的数均为 勾股数，例如，均扩大 10 倍为 30、40、50 也是勾股数，看到两数，看是否符合 勾股数， 如果符合直接用勾股数得答案 （不需要计算， 需要记住常考的勾股数） 。 2.特殊直角三角形： （1）30：短直角边是斜边的一半；长直角边是短直角边的3倍。比如短 直角边的长度为 4，那么另外一条直角边的长度为多少？根据长直角边是短直角 17 边的3倍， 则另外一条直角边的长度为 43。 斜边为短直角边的 2 倍， 即 4*2=8。 （2） 45： 三角形的内角和为 180， 一个角为 45， 另外一个角为 90， 所以另一个角也为 45， 故为等腰直角三角形。 如果两条直角边相等， 且等于 1， 根据勾股定理 1+1=C，C=2，所以得出结论，斜边是直角边的2倍。 【例 1】 （2017 年许昌）有一个长方形花圃，如果长增加 6 米，或者宽增加 4 米，面积都比原来增加 48 平方米，花圃原来的面积为（ ）平方米。 A.94 B.95 C.96 D.93 【解析】例 1.花圃为长方形，S长方形=ab，求出长和宽即可，在几何问题里， 平面图形可以边读题边画图，画图如下，设长方形的长为 a 米，宽为 b 米，已知 “长增加 6 米，或者宽增加 4 米，面积都比原来增加 48 平方米” ，所以新增加的 长方形面积为 6*b=48，b=8， “宽增加 4 米，面积也增加 48” ，依然为增加一个长 方形，增加的长方形面积为 4a=48，a=12，所以原来的面积为 S长方形=ab=12*8=96 平方米。 【选 C】 18 【例 2】 （2017 年襄阳）如图，以等腰直角三角形两个锐角顶点 A、B 为圆心 作等圆，两个圆恰好外切，若 AC=2，那么圆中阴影部分的面积之和是（ ） 。 A./4 B./2 C. D. 2 【解析】 例 2.方法一： 已知等腰直角三角形， 说明C为直角， 等腰即 AC=BC=2， 两个锐角均为 45，即A=B=45，外切即只有一个点相交，求阴影部分的 面积，两个阴影部分相等，只求任意一个即可，任意一个阴影部分为扇形。已知 公式 S扇形=n/360r，圆心角 n=45，再求 r，直接通过 AC、BC 求 r，不 太好求， 由于两个圆是等圆， 等腰直角三角形的斜边为 AB， 两个圆的半径相等， 假设中间的点为 D 点，所以只需要求出 AB 的长度再求半径即可，在等腰直角三 角形里， 一个角是45， 斜边是直角边的2倍， AB=2*AC=22， 半径r=AB/2=2， 19 由于阴影部分的面积为两个扇形部分的面积，所以需要乘以 2，代入公式为 45 /360*（2）*2=1/4*2=/2。 方法二：如果实在没办法，求不出来半径，也可以量一量，做等比例换算也 是可以的。 【选 B】 【注意】出题人给出了图形，本题实际就被简化了。 【例 3】 （2018 年天津）一个边长为 80 厘米的正方形，依次连接四边中点得 到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形，问第五 个正方形的面积是多少平方厘米？（ ） A.218 B.362 C.400 D.442 【解析】例 3.边读题边画图，如下图，依次算出来不太可能，找规律来算， 假设大正方形的边长为 2a，第一个正方形的面积为 4a，根据结论，等腰直角三 角形中，斜边为直角边的2倍，所以第二个正方形的面积为（2a)=2a，第二 个的面积为第一个面积的一半，以后的依次为一半即可，所以第五个正方形的面 积为 80*（1/2）*（1/2）*（1/2）*（1/2）=400。 【选 C】 20 【知识点】1.连接任意四边形的各边中点，得到的新四边形的面积是原来的 1/2。 2.连接任意三角形的各边中点，得到的新三角形面积是原来的 1/4。任意画 一个等边三角形 ABC 如下图，取每条边的中点，所以边都相等，大的三角形分为 了 4 个相等的三角形，而新的三角形只有 1 个，只占大三角形的 1/4。 【例 4】 （2017 年汕尾）甲、乙两个容器均有 60 厘米深，底面积之比为 3： 2，甲容器水深 12 厘米，乙容器水深 8 厘米，再往两个容器各注入同样多的水， 直到水深相等，这时两容器的水深是多少厘米？（ ） A.20 B.25 C.30 D.35 【解析】 例 4.本题理解为鱼缸的形式， 画图如下， 已知 “鱼缸高度为 60cm， 甲容器水深为 12cm，乙容器水深 8 厘米” ，本来深度不一样，但是倒了同样多的 水， 水深相等。 设水深为 h 厘米， 有底面积有高， 可以得到体积， 找体积的关系， 两个容器原来的体积不相等，注入水之后的体积也不相等，但是注入水的体积是 相等的，甲：现在水体积-原来水体积=注入水体积；乙：现在水体积-原来水体 21 积=注入水体积，本题没有告诉容器的形状，可以假设甲、乙两个容器为柱体，V 柱体=sh，已知底面积之比为 3：2，列式为 3a*h-3a*12=2a*h-2a*8，化简为 3h-36=2h-16，解得 h=20。 【选 A】 【注意】1.不论是什么形状，只要能算出来答案，就是正确的，柱体是比较 好算的，椎体也是一样的，都多乘以 1/3 就可以了，两边都乘以 1/3 就可以约掉 了，其实是一样的，一上来就假设成柱体是因为柱体比较好计算，不用再乘以椎 体的 1/3。 2.最好不要想成立方体，因为立方体的长、宽、高所有的棱长都相等，容器 为 60cm 深， 说明高是 60cm， 底面积之比应该一样， 就得不到底面积之比为 3： 2。 3.假设成什么图形都可以，但是尽量不要假设成特殊的，柱体或者椎体都可 以，但是不可能一个是柱体一个是椎体，否则答案会变来变去，出题人没有告诉 容器一样，但是必须按照容器一样来做题，这是出题人不太严谨的地方，不要太 纠结。 【例 5】 （2015 年新乡）如下图所示，每个小正方形的面积是 1 平方厘米， 则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（ ） A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【解析】例 5.小正方形面积为 1cm，则小正方形的边长也为 1cm，阴影部 分为不规则图形，用割补平移转换为规则图形的和或者差，大正方形的面积为 3=9，再减去白色的区域，共 4 个，任意一个都为三角形，均为直角三角形，如 图， S= （1/2） *1*2=1； S= （1/2） *2*2=2； S= （1/2） *2*1=1； S= （1/2） *1*3=1.5， 所以 S阴=S大正方形-S白色区域=9-5.5=3.5。 【选 A】 22 【注意】可以把阴影部分拆成几个部分的和，尽量拆规则图形，拆为平行四 边形+梯形+三角形，留个作业，课下思考一下，转化为求阴影部分的面积，晚上 答疑的时候讲。 【答案汇总】1-5：CBCAA 二、计数类 【知识点】计数类： 1.平面计数，直接数，记住