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自由电子的严格解,在狄拉克-泡利表象中，狄拉克方程的形式为：式中为电子电荷的绝对值。而写成4维的形式：,为清楚起见，在当中用横竖直线分开，每一部分都是一个22的矩阵，空位处均为零。,在这一表象中自旋算符为：在狄拉克-泡利表象中，狄拉克方程（1）式中的态函数是函数空间与4维的自旋空间二者的直积空间中的矢量。其一般形式可以写成一个一列矩阵，而矩阵元是x,y,z的函数：,我们常把4维的一列矩阵写成一个二维矩阵，其两个矩阵元和又分别是两个2维矩阵：,现在讨论自由电子的运动，这时狄拉克方程（1）式成为：令代入上式，得满足定态狄拉克方程,即是自由电子哈密顿的本征矢量。这样的本征矢量是高度简并的，为求出确切的态矢量，应当找一组包括在内的厄米算符完备组，去求这一组厄米算符的共同本征矢量。首先，选取与对易的动量算符，其次选取螺旋度算符：接下来我们求三者的共同本征矢量。,先求的本征函数：即在xyz表象中，取，得本征值可为任何矢量，而的位置函数部分应为，即式中分别是不含x,y,z的2维一列矩阵。,其次，令（8）式的同时又是的本征矢量，以便定出。成为上式右边的是由这一方程的久期行列式定出的值，与自旋在任何方向的投影都是一致。由上式得矩阵方程：,即和都是的本征矢量，本征值相同。因此和只能相差一个常数。现在我们求，令则矩阵方程（10）式成为,取的方向为，则此式成为其解为正本征值负本征值,代回(11)式，得正本征值负本征值把此二式代回到（8）式中，和只差一个常数，得,这是和的共同本征矢量，上号的本征值是；下号的本征值是。上式中的是常数。为定此常数，需要再讨论（13）式成为哈密顿（7）式的本征矢量的条件。这一条件是是哈密顿的本征值即电子的能量。代以矩阵形式，并利用（10）式，此式成为:,由此得到满足的方程：此式的久期方程是解得电子的能量应当是,而的解为取则可写成：时时,将此代入（13）式，并利用（14）式，最后得到的本征值及共同本征矢量如下：,在上式中，见式(12)，见(15)式，而为归一化常数：由此得出结论，在相对论理论中，自由电子的态函数在位形空间中与非相对论理论相同，仍是平面波，而在新的4维空间中是一个一列矩阵。当动量本征值取z轴方向，即时，这个一列矩阵成为：,+-号分别表示能量的符号和自旋的方向。在低能极限时，与1相比是一个小量。由此可以看出，在狄拉克-泡利表象中，自旋空间的四个基矢为,前两个描写正能态，后两个描写负能态；对自由电子的态矢量（16）式，的状
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