西安交大高数期末复习习题课.ppt

一、定积分与不定积分及应用二、常数项级数的审敛准则三、求幂级数收敛域的方法四、幂级数和函数及函数展开为幂级数的方法五、函数的幂级数和Fourier级数展开法,期末复习习题课,例1,一、定积分与不定积分及应用,例2,例3,解,例4,证,作辅助函数,绕,轴旋转而,成的旋转体体的体积。,解,分析两体积之差,例5求由圆,二、常数项级数的审敛准则,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛准则,必要条件,发散,满足,比值审敛准则,根值审敛准则,收敛,发散,不定,比较准则,用它法判别,积分准则,部分和极限,3.任意项级数审敛准则,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,典型例题,题6.判别下列级数的敛散性:,利用比较准则,可知原级数发散.,用比较准则,可判断级数,因n充分大时,原级数发散.,用比较准则可知:,时收敛;,时,与p级数比较可知,时收敛;,时发散.,再由比较准则可知原级数收敛.,时发散.,发散,收敛,题7.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:(1),P1时,绝对收敛;,0p1时,条件收敛;,p0时,发散.,(2)因各项取绝对值后所得级数,原级数绝对收敛.,故,因,单调递减,且,但,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz判别法知级数收敛;,因,所以原级数绝对收敛.,三、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用检比法或检根法,处的敛散性.,题8.求下列级数的敛散区间:,解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛区间为,解:因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,例9,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,求部分和的极限,四、幂级数和函数的求法,求和,用和函数的性质,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数求和,例10.求幂级数,法1易求出级数的收敛域为,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,例11,解:(1),显然x=0时上式也正确,故和函数为,而在,x0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,(2),显然x=0时,和为0;,根据和函数的连续性,有,x=1时,级数也收敛.,即得,例12,解:原式=,的和.,求级数,五、函数的幂级数和Fourier级数展开法,直接展开法,间接展开法,例13.将函数,展开成x的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解:,1.函数的幂级数展开法,例14.将,展开成,x的幂级数,的和.(01考研),解:,于是,并求级数,2.函数的Fourier级数展开,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,上的表达式为,将其展为傅氏级数.,例15.设f(x)是周期为2的函数,它在,提示,思考:如何利用本题结果求级数,根据Fourier级数收敛定理,当x=0时,有,提示:,预祝每位同学取得好成绩!,祝同学们节日快乐！,例16,例17,解（1）,（2）,解,建立坐标系如图,面积微元,解,（柱壳法）,题20.设级数,收敛,