整体把握数学课程提高日常教学效率

整体把握数学课程提高日常教学效率从高考视角谈起,问题,高考复习知识梳理忘了？专题深入查漏补缺攻关冲刺心理疏导,问题不增加学习时间和强度，有什么办法提高学习、教学效率？如何让学生喜欢您喜欢数学？如何调动学生学习激情、主动精神？“做得快”是数学教育主要价值追求？如何帮助学生学会学习？,一、“重视基础”高考试题趋势二、整体把握高中数学课程三、抓住数学本质四、通性通法五、帮助学生养成好习惯,目录,一、“重视基础”高考试题趋势,高考试题分类1、基本题2、把关题3、难题以数列试题为例,一、“重视基础”基本题,高考的招生人数已达到70%的前提下，试卷的选拔功能必然发生变化，至少要能区分70%以上的考生，淘汰不到30%的考生数学优秀的考生会有其他的渠道选拔(如自主招生)，这样的选拔机制将得到不断的完善，高考不是选拔数学优秀学生主要渠道。高考的“基本试题”应让全体考生都能入手，这些试题应该以实现高中数学课程目标的基本内容为载体，这些内容不仅是基本的，也是重要的，同时，在不同水平层面上显示学生数学学习水平。在今年的试题中，这些“基本试题”在试卷中占有很大比例，以下选择一些典型的试题，分析其基本、重要，以及学习、理解时的差异，这些差异自然产生区分。,一、“重视基础”基本题,例1，(2013年湖北理18)(12分)已知等比数列an满足：a2a3=10，a1a2a3=125()求数列an的通项公式；()是否存在正整数m，使得若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由例2，(2013年陕西理17).(本小题满分12分)设是公比为q的等比数列.()推导的前n项和公式;()设q1，证明数列不是等比数列.例3，(2013年陕西文19)设Sn表示数列an的前n项和()若an为等差数列，推导Sn的计算公式；()若a1=1，q0，且对所有正整数n，有判断an是否为等比数列，并证明你的结论,一、“重视基础”基本题,在高中课程中，“函数内容”是主线之一，数列是最基本函数形式，其中，数列核心内容是对等差、等比数列认识。以上三道数列的试题都是考察数列基本内容。（包括：知识认识、技能使用、思想渗透）,一、“重视基础”基本题,例1，(2013年湖北理18)(12分)已知等比数列an满足：a2a3=10，a1a2a3=125()求数列an的通项公式；()是否存在正整数m，使得若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由,一、“重视基础”基本题,例3第一问是基本要求问题的条件是等比数列an满足：a2a3=10，a1a2a3=125，进而讨论等比数列的其他结果。什么是反映等比数列的本质？等比数列首项a1和公比q是最本质条件。为什么？等比数列的定义：an=qan-1（n2）。这个式子又称为迭代公式，只要知道首项，就可求出任意一项的值，这个思想是求解绝大多数微分方程和差分方程基本思路。在某些特定条件下，可以求出通项an的解析表达式，例如，等差、等比。哪些数列能求出通项公式，可以查阅选修课“数列与差分”。我们要使学生学会：用a1和q表示出条件中其它量。这个问题就变成由两个条件（方程）求两个未知数a1和q，如何求出a1和q，就会有区分，例如，有的学生会做的比较直接，可以从第二条件（a1q）3125求出a1q=5，第一个条件就变成q的一元方程，即（a1q）q；求出q3、1；a1=5/3、5；故或an=5(1)n1,一、“重视基础”基本题,例3第一问是基本要求在日常教学中，一定要使学生学会：用a1和q表示出条件中其它量。一般我们称为“知三求二”，即在首项、等比值、项数n、通项、前n项和“知三求二”。这个问题就变成由两个条件（方程）求两个未知数a1和q，如何求出a1和q，就具有区分度。例如，有的学生会做的好一些，例如，可以先求出a1q，从第二条件（a1q）3125求出a1q=5；再由第一个条件，求解q的一元绝对值方程；求出q3、1；a1=5/3、5。,一、“重视基础”基本题,第二问需要两步思考.第一步，等比数列每一项倒数组成的数列仍是等比数列，虽然不难，会产生区分，第二步的思路：或否定以下不等式，或求解不等式，找出满足不等式的n值。本题是前者。分两种情况：,一、“重视基础”基本题,一、“重视基础”基本题,例2，(2013年陕西理17)(本小题满分12分)设是公比为q的等比数列.()推导的前n项和公式;()设q1，证明数列不是等比数列.例3，(2013年陕西文19)(本小题满分14分)设Sn表示数列an的前n项和()若an为等差数列，推导Sn的计算公式；()若a1=1，q0，且对所有正整数n，有判断an是否为等比数列，并证明你的结论,一、“重视基础”基本题,例1和例2的第一问是基本内容不会有异议。但是，这样问题仍会有区分度，有相当多的学生都不能推导出这些基本的公式。有一些老师会质疑这不是鼓励“死记硬背”吗？恰恰相反，我们需要反复、深入理解这些基本内容含义，学好这些不是为了做题，做题是为了更好理解这些基本的内容，掌握高中数学，数学最重要的思想都是通过这些基本内容体现的。,一、“重视基础”基本题,例1和例2的第二问也都是考察等比数列的概念，要求学生会使用等差、等比数列的定义进行判断。例1的第二问容易一些，需要了解比的基本性质，两个数比值不为1时，两个分别加一个数，它们和的比值与原比值不等，这是分数不等性质一个推广。例2的第二问要难一些，首先需要理解通项an与前n项和Sn的关系，即anSnSn1；前者反映了后者的变化，后者是前者的积累，用分析的术语，后者是前者的积分，前者是后者的“导数”。在日常教学时，不是形式地介绍这些术语，而是用学生可以理解语言解释其意义；求解第二问还需要用到一个推理常识，否定一个结论，只需要举出一个反例，讨论一下：a2：a1和a3：a2就可以了，通过简单因式分解就可以得到结果。这些要求应该是高中数学的基本要求。,一、“重视基础”基本题,高考一个重要方向考察基本结果余弦定理向量基本定理,一、“重视基础”把关题,每份试卷都一些把关题，分布在选择题、填空题和解答题中，能否用基础内容设计好的数学试卷的把关题，是反映命题者命题水平高低的试金石有些试卷把课程中一些非主干、次要的内容，超越一般性“理解”的范围作为载体考查，题目的难度也往往很高这样做导向不好，应该导引教学回归课程基础内容、核心内容，让学生把这些基础的、核心的内容掌握得更好，重点掌握原理、思想、方法因此，在高考命题中，对基础和核心内容的考查，无论是在内容比例还是分数权重上都应该是重点即便是把关题，也最好是尽量难在基础和核心内容的考查上数学试题难度可以反映在技巧上，也可以反映在思想理解上，希望命题者在后者下些功夫，这很具挑战。今年不少高考数学试卷中，都有一些很好的把关题我们选了一道数列题进行分析。,一、“重视基础”把关题,一、“重视基础”把关题,本题以等比数列的部分项的和、积为背景，生成两个新数列。首先，需要判断这两个新数列都是由原等比数列的连续m项构成，前一个是连续m项的和构成，后一个是连续m项的积构成；进而，分析两个新数列相邻两项有什么特点和关系，对等比数列连续m项和、积的认识是基础，等比数列连续m项和仍是等比数列和，仅仅是首项和项数不同，其和是个分式，很自然会分析数列bn相邻两项的比都不会是常数，不需要做具体计算，这是一种直觉，选项A、B显然错误。,一、“重视基础”把关题,等比数列的连续项的积仍是指数幂的形式，底数不变，指数是连续m项等差数列的和，在等差数列日常教学，认识等差数列概念时，应该强调相邻项差一个公差d，间隔一项的两项差2d，首项与通项an（间隔n-2项）差（n1）d，新数列每一项的指数为项的数列仍是等差数列（公差是m2），新数列一定是等比数列；最后，需要算一下公比，指数的公差m2产生的幂qm2，选前两项算一次就可以，这是考试技巧。,一、“重视基础”难题,高考试卷中必然会有难题，用来区分高端考生2013年多数高考试卷中都有好的、严格遵循课程标准和考试大纲的难题以数学的核心内容、核心方法、核心思想可以命制不超纲区分高端考生的难题,一、“重视基础”难题,一、“重视基础”难题,这道题是一道“难题”，“难”在考察数学分析问题能力思维能力，题目依托的“内容”是基本的。题目的条件是从一个给定的非负整数数列制造三个数列：，dn；由于是由非负整数（即自然数）组成，自然数最基本性质是“自然数任何非空子集有最小元”，后面论证中，多次用到，这个性质确保这三个数列一定是存在的，没有这些条件不一定存在。,一、“重视基础”难题,这道题是一道“难题”，“难”在考察数学分析问题能力思维能力，题目依托的“内容”是基本的。题目的条件是从一个给定的非负整数数列制造三个数列：，dn；由于是由非负整数（即自然数）组成，自然数最基本性质是“自然数任何非空子集有最小元”，后面论证中，多次用到，这个性质确保这三个数列一定是存在的，没有这些条件不一定存在。,一、“重视基础”难题,在回答()之前，一定根据()的条件，写出这三个数列，这对以下问题思考是有用的。：2，2，4，4，4，4，4，：1，1，1，1，1，1，1，dn：1，1，3，3，3，3，3，故()的答案，,二、整体把握高中数学课程,整体把握数学课程课程目标课程结构数学、高中数学高中数学教学特点学生学习规律整体把握评价过程评价、高考,一、“重视基础”难题,结构,必修数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；数学2：立体几何初步、平面解析几何初步；数学3：算法初步、统计、概率；数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；数学5：解三角形、数列、不等式。,结构,系列1：由两个模块组成。选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。系列2：由三个模块组成。选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何；选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入；选修2-3：计数原理、统计案例、概率。,结构课程,课程结构：必修课程必修一、必修二、必修三、必修四、必修五选修系列一：两个模块选修系列二：三个模块选修系列三：六个专题选修系列一：十个专题,结构,系列3：由六个专题组成。选修3-1：数学史选讲；选修3-2：信息安全与密码；选修3-3：球面上的几何；选修3-4：对称与群；选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类；选修3-6：三等分角与数域扩充。,结构,系列4：由十个专题组成。选修4-1：几何证明选讲；选修4-2：矩阵与变换；选修4-3：数列与差分；选修4-4：坐标系与参数方程；选修4-5：不等式选讲；选修4-6：初等数论初步；选修4-7：优选法与试验设计初步；选修4-8：统筹法与图论初步；选修4-9：风险与决策；选修4-10：开关电路与布尔代数。,联系,与义务教育数学内容接轨数与代数数、字母与运算量、关系与模型图形与几何图形分类与基本图形图形基本关系研究图形基本方法图形应用统计与概率统计概率综合与实践,联系,分析类数学课程：研究函数以及与函数有关的问题的课程数学分析，复变函数，实变函数，常微分方程，偏微分方程，数值计算，泛函分析，与这些课程有联系的拓展类课程：三角级数，调和分析，函数逼近论等等。,联系,代数类数学课程：运算以及与运算有关的课程高等代数（线性代数、多项式理论），抽象代数，群伦，有限群及其应用，环论，域论，与这些课程有联系的拓展类课程：交换代数，非交换代数，半论，等等。,联系,几何类数学课程：研究图形以及与图形有关课程解析几何，射影几何（高等几何），微分几何，点集拓扑，代数拓扑，微分拓扑，微分流形，许多相关课程：代数几何，旋论，形论，等,联系,统计、概率类数学课程：统计，概率，许多相关课程：随机微分方程，等等,突出结构主线基本结构,辅助内容集合、算法、常用逻辑用语、推理与证明内容主线函数主线运算主线几何主线统计、概率主线应用主线应用贯穿始终数学建模与数学探究文化渗透,联系,应用类数学课程运筹学线性规划、整数规划、非线性规划优化课程离散数学课程图论、离散数学学科应用课程生物数学、经济、金融类数学类课程计算类课程理论物理类数学课程图像识别类数学课程等等,结构突出主线内容、趋势说明,内容主线函数主线函数概念函数概念整体认识具体函数与抽象函数函数基本性质单调性周期性对称性：奇、偶,结构突出主线基本内容及趋势说明,内容主线函数主线基本的函数模型简单幂函数：指数函数与对数函数三角函数基本数列：等差、等比数列简单分段函数,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线函数主线函数进一步研究变化再认识：平均变化导数概念基本函数求导导函数的基本运算用导数研究函数变化导数实际应用积分初步认识微积分基本定理及初步应用,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线函数主线函数应用方程近似求解：二分法求解不等式：一元二次不等式简单线性规划算法中函数思想简单函数最值,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线运算主线运算对象运算法则指数、对数运算三角运算（三角恒等变形）向量代数矩阵与变换复数函数及导数运算,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线运算主线运算应用向量应用向量几何讨论位置关系：平行、垂直讨论度量关系：距离、角度（三角恒等变形）向量应用解三角形向量的物理应用矩阵与几何变换,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线运算主线运算通性通法运算程序化（算法）待定系数换元配方消元,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线几何主线图形的整体认识与基本图形空间中图形：球、柱、锥、台空间中图形：点、直线、平面长方体与空间直角坐标系平面中图形：点、直线、圆平面中图形：椭圆、抛物线、双曲线平面中图形：基本的函数图像,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线几何主线依托图形建立空间想象与几何直观（学会用图形描述问题、寻求解决问题思路、表示与理解结果）投影与三视图直观图点、直线、平面的位置关系平面基本变换与矩阵单位圆与三角函数,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线几何主线图形研究的基本问题位置关系：平行、垂直、相交度量关系：距离、角度、（面积、体积）基本变换与性质,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线几何主线研究图形的基本方法综合几何图形的基本概念公理与基本事实证明运用变换认识图形,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线几何主线研究图形的基本方法解析几何基本研究对象：直线、圆椭圆、抛物线、双曲线选择坐标系几何特征代数化建立标准方程运用方程讨论图形性质向量几何：用向量讨论几何问题基本研究对象：空间、平面基本直线型用向量描述几何特征把几何问题用向量表述通过计算解决问题,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线几何主线研究图形的基本方法运用变换认识图形用函数方法研究图形性质,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线统计、概率主线统计数据处理全过程收集数据、整理数据、提取信息、解决问题基本统计模型数据拟合相关分析独立检验假设检验、聚类分析,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线统计、概率主线概率随机现象认识概率统计描述离散随机变量与分布基本概率模型古典概型几何概型模拟二项分布超几何分布正态分布初步认识,突出结构主线基本内容及趋势说明,内容主线应用主线数学应用主要载体函数代数几何统计、概率应用层次内容背景（基本函数的背景）内容直接应用（应用题，例如，利率计算）简单数学建模过程（数学建模与数学探究）在情境中（实际、数学）发现问题，提出问题，转化为数学问题，建立数学模型，求解数学模型，讨论数学解的实际意义，修改模型。,课程内容定位变化举例,大学数学教育中一次有意义讨论：数学分析、实变函数、泛函分析、拓扑学、近世代数等等学科教材开始总要介绍一些集合的知识，有人提出是否可以开设一门“集合论初步”的课程？使之成为基础课程？也有人建议开设“数理逻辑初步”（包括集合论初步）？布尔巴基学派也提出过这样的建议。至今，还没有采取这种方式的课程体系。集合、数理逻辑一些的常识是需要了解的，但是，并不需要系统学习数理逻辑、集合论，即使专门研究数学某些分支的数学家。,课程内容定位变化举例,高中阶段中，需要学生了解一些“集合、常用逻辑用语、算法与框图、推理与证明”的内容，它们是“服务性”内容，称之为“辅助内容”。“集合”定位：学会分类，用符号语言清晰描述一类事物，主要是数学事物，了解几类事物（几个集合）基本关系并、交、余（补），等。“常用逻辑用语”定位：理解、学习使用在数学中经常使用的“逻辑用语”：充分条件、必要条件、充要条件；全称量词、存在量词；了解数学命题的表述。,课程内容定位变化举例,“推理与证明”定位，“推理”是数学基本思想，包括演绎推理和归纳（合情）推理，学生需要了解这些推理基本思维方式，例如，演绎推理有“直接推理”和“间接推理”，“直接推理”常用“综合推理方式”或“分析推理方式”等，也有一些针对特定数学问题的“直接推理方式”，例如，数学归纳法，等；“间接推理”常用“反证法推理方式”。“归纳推理”常用思维方式有“归纳”、“类比”、“猜想”，等。,课程内容定位变化举例,“算法与框图”定位，数学家冯.诺依曼、图灵发明了计算机，计算机迅猛发展极大推动了数学发展，不仅拓展了数学研究对象，也开拓了研究方法，作为计算机核心“算法”也成为了数学教育新内容。解决问题的“框图”是算法思想（程序化）的集中体现，学习算法主要任务：学习用“框图”把解决数学问题的思路准确、清晰、直观地标准出来。学习算法应体会“构造证明方法”，它是演绎推理主要方式，也是“计算机时代”解决问题基本方法。,课程内容定位变化举例,结构变化“向量”作为高中数学的核心内容，改变了数学课程结构，特别是代数（运算）和几何内容结构。（1）向量代数作用向量代数：建立与线性代数联系加强趋势：矩阵与向量（2）向量几何作用向量几何加强趋势：矩阵与变换（3）向量物理作用（4）向量桥梁作用联系代数、几何、物理天然桥梁（5）向量的应用：（6）向量模型作用,三、抓住数学本质,以数列内容为例：讨论问题学生做了大量题，留下什么？（结合前面的高考题思考、分析）,三、抓住数学本质,以数列内容为例：数列是函数，是定义在自然数上的函数。函数的核心是讨论变化代数刻画几何（图形）直观根据函数表示分析函数变化,三、抓住数学本质,以数列内容为例：反映等差、等比数列本质是概念在这，定义是概念的核心等差d、等比q等差、等比数列数的变化代数刻画几何（图形）直观参数的关系基本参数“知三求二”等差、等比之间关系,四、通性通法,举例：待定系数模型量的分析关系的分析模型的识别模型的确定待定系数模型讨论,四、通性通法,举例：求距离向量例如，平面外一点M到平面的距离。确定点M和平面上的一点N及垂直平面的向量a在平面上取一点N,确定向量NM求向量NM与向量a的单位向量的点乘取决对值这个结果就是所求的距离。,四、通性通法,举例：求距离向量点之间距离点到直线距离相互平行直线的距离点到平面距离直线与平行平面的距离相互平行平面的距离异面直线的距离,坚决按照标准与考纲要求安排上课内容,（以函数这一章为例）,1、函数概念：,2、函数的三要素：,（1）了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域、值域。删减内容：对抽象函数的定义域问题，函数值域的讨论也不宜过难。,（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。删减内容：求函数的解析式的方法（换元法、配凑法、解方程法）。,坚决按照标准与考纲要求安排上课内容,（以函数这一章为例）,3、函数的性质：,（1）利用函数图象，结合已学函数（如一次函数、二次函数），理解函数单