条件概率与独立性(包含全概率公式、贝叶斯公式)

.,第2章条件概率与独立性,2.1条件概率与乘法公式,2.2全概率公式,2.3贝叶斯公式,2.4事件的独立性,2.5重复独立试验、二项概率公式,2.1条件概率与乘法公式2.1.1条件概率在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概率下面首先看一个例子:,第2章条件概率与独立性,【例2.1】设某家庭中有两个孩子，已知其中有一个是男孩，求另一个也是男孩的概率（假设男、女孩出生率相同）解：用g代表女孩，b代表男孩，A=“该家庭中至少有一个男孩”，B=“两个都是男孩”，在已知至少有一个男孩条件下，而所求概率为1/3，记为P(B|A)=1/3，称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率,2.1.1条件概率,如果我们去掉条件A，这时=bb，bg，gb，gg，B=bb，从而P(B)=1/4.前面已算出又因为A=bb，bg，gb，P(A)=3/4，P(AB)=P(B)=1/4，易得这个结果具有一般性，启发我们给出条件概率的如下定义：,2.1.1条件概率,定义2.1设A与B是同一样本空间中的两事件，若P(A)0，则称(1.2)为在A发生下的B的条件概率类似地，当P(B)0时，定义在B发生下事件A发生的条件概率为(1.3)要注意区分P(AB)和P(B|A)的不同含义,2.1.1条件概率,注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)有什么必然的关系.例如，我们不能由定义断言或事实上，当BA时，有当AB=时，有,2.1.1条件概率,一般地，不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公理：(1)非负性：对任意事件B，P(B|A)0；(2)规范性：P(|A)=1；(3)可列可加性：设事件两两互不相容，则所以,条件概率P(|A)也满足概率的所有其他性质,2.1.1条件概率,例如:,2.1.1条件概率,【例2.2】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%如果现在有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率解：设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有所求概率为,由于BA,所以P(AB)=P(B),1.4.1条件概率,2.1.2乘法公式由条件概率公式容易得到下面定理定理2.1设A与B是同一样本空间中的两个事件，如果P(A)0，则(1.4)如果P(B)0，则(1.5)上面均称为事件概率的乘法公式定理2.1容易推广到求多个事件积事件概率的情况,2.1条件概率与乘法公式,事实上,可进一步推广如下:,右侧的条件概率均有意义,2.1.2乘法公式,2.1.2乘法公式,【例2.3】某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率解：设A=任取的一件是合格品，B=任取的一件是一等品因为且BA所以,2.1.2乘法公式,【例2.4】某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号求他拨号不超过三次而接通电话的概率若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？解：设Ai=“第i次接通电话”，i=1，2，3，B=“拨号不超过3次接通电话”，则事件B的表达式为利用概率的加法公式和乘法公式,2.1.2乘法公式,若已知最后一位数字是奇数，则,2.1.2乘法公式,【例2.5】猎手在距猎物10米处开枪，击中概率为0.6若击不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远处，此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至50米远处，此时只有0.1的击中概率求猎手三枪内击中猎物的概率解：以Ai=“第i枪击中猎物”，i=1，2，3，则所求概率,2.1.2乘法公式,课堂练习设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,B“透镜落下三次而未打破”.,2.1.2乘法公式,在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可加性得到所求事件的概率，这种方法就是全概率公式,2.2全概率公式,2.2全概率公式2.2全概率公式,引例：有三个罐子,1号装有2红1黑球,2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求取得红球的概率.,如何求取得红球的概率？,第2章条件概率与独立性,分析：红球可能取自三个罐中的任何一个，如果记Ai=取到的是i号罐i=1,2,3;B=取得红球则,A1,A2,A3的发生都会导致B发生，并且A1,A2,A3两两互不相容，于是,2.2全概率公式,值得注意的是，这里还有A1+A2+A3=,定理2.2设试验E的样本空间为,A1,A2,An为E的一组事件，且满足：(1)A1,A2,An两两互不相容，i=1,2,n;(2)则对任一事件B，有(1.7)(1.7)称为全概率公式称满足(1)和(2)的A1，A2，An为完备事件组或样本空间的一个划分,2.2全概率公式,证明：因为由于A1，A2，An两两互不相容，由有限可加性由假设及乘法公式得到利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完备事件组A1，A2，An;寻求完备事件组A1，A2，An相当于找导致事件B发生的所有互不相容的事件,2.2全概率公式,有三个罐子,1号装有2红1黑球,2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.,解记Ai=取到的是i号罐i=1,2,3;B=取得红球,代入数据计算得：P(B)0.639.,再看引例,依题意:P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,P(Ai)=1/3,i=1,2,3,2.2全概率公式,【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求:(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)两次取出的零件均为一等品的概率解:设Ai=“任取的一箱为第i箱零件”，i=1,2,3，Bj=“第j次取到的是一等品”，j=1，2由题意知A1、A2和A3构成完备事件组，且,2.2全概率公式,(1)由全概率公式得,2.2全概率公式,(2)因为由全概率公式得,2.2全概率公式,引例：,某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号罐的概率.,这是“已知结果求原因”的问题求的也是一个条件概率.,下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：,Bayes(贝叶斯)公式,2.3贝叶斯公式,2.3贝叶斯公式定理1.3设试验E的样本空间为，B为事件，A1，A2，An为完备事件组，且P(B)0，P(Ai)0，i=1，2，n，则(1.8)(1.8)式称为贝叶斯公式,2.3贝叶斯公式,证明,该公式用于在观察到事件B已发生的条件下，通过计算导致B发生的每个原因的概率，来推断可能的原因.,由条件概率公式、乘法公式及全概率公式知：,2.3贝叶斯公式,某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号罐的概率.,再看引例,解记i=取到第i号罐i=1,2,3;=取得红球,1,2,3是完备事件组,代入数据计算得：,其中P(|1)=2/3,P(|2)=3/4,P(|3)=1/2,P(i)=1/3,i=1,2,3,2.3贝叶斯公式,特别有：设事件A、B为试验E的两事件，由于A和是一个完备事件组，若P(A)0，P(B)0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为,2.3贝叶斯公式,【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率,2.3贝叶斯公式,解：设B=“顾客买下该箱玻璃杯”，Ai=“抽到的一箱中有i件残次品”，i=0,1,2(1)事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件次品。显然A0，A1，A2是完备事件组由题意知由全概率公式得,2.3贝叶斯公式,(2)由贝叶斯公式,2.3贝叶斯公式,【例1.17】根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？,2.3贝叶斯公式,解:设A=“某人确有肝炎”，B=“某人做此试验结果为阳性”；由已知条件有从而由贝叶斯公式，,2.3贝叶斯公式,本题的结果表明，虽然这两个概率都很高但是，即试验阳性的人有肝炎的概率只有0.087如果不注意这一点，将和搞混，将会得出错误诊断，造成不良的后果,2.3贝叶斯公式,因为P(A)=0.005比较小,为什么和都很高但是，试验结果呈阳性的人确实患有肝炎的概率却只有0.087这么小呢？,在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i=1，2，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习惯上称其为先验概率若试验后事件B发生了，在此信息下考察Ai的概率它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常称为后验概率,2.3贝叶斯公式,贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763首先提出的。经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在数据分析、模式识别、数据挖掘、电子商务、分子生物学，医学诊断等很多方面都有应用,ThomasBayes,Born:1702inLondon,EnglandDied:17Apr.1761inTunbridgeWells,Kent,England,2.3贝叶斯公式,课堂练习有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率0.005，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，求它确为次品的概率,解,2.3贝叶斯公式,由贝叶斯公式，所求概率为,由题设知,2.3贝叶斯公式,2.4事件的独立性1两个事件的独立性我们知道条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)不一定相等，但是在一些特殊情况下它们相等,例如,则有,第2章条件概率与独立性,一般地，有下面定义：定义1.7设A，B是两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立显然，当P(A)0时，A与B相互独立当且仅当P(B|A)=P(B)显然，当P(B)0时，A与B相互独立当且仅当P(A|B)=P(A),2.4事件的独立性,请看例子,可见两事件相互独立，但两事件不是互不相容的！,请思考:,两事件相互独立,两事件互不相容,2.4事件的独立性,可见两事件互不相容但不独立.,再看例子,所以，相互独立和互不相容是两个不同的概念，不要把它们相容相混淆,2.4事件的独立性,事实上：当P(A)P(B)0时，A与B独立等价于P(B|A)=P(B)且P(|)=P()，说明,B是否发生互相没有影响。因此A与B独立一定不是互不相容的，反之A与B互不相容一定不独立当A，B之一为时，P(AB)=P(A)P(B)与B同时成立，即独立与互不相容并存,两事件相互独立,两事件互不相容,2.4事件的独立性,【例1.19】证明若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与，B与，与证：因为所以即A与相互独立由此可推出与相互独立，再由又推出B与相互独立,2.4事件的独立性,2多个事件的独立性定义1.8设A,B,C为三个事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)都成立，则称事件A，B，C相互独立另外,仅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既不能保证A、B、C两两相互独立,更不能保证三事件相互独立,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,2.4事件的独立性,【例1.20】一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成黄色，第三面染成蓝色，而第四面同时染上红、黄、蓝三种颜色.现以A，B，C分别记投一次四面体出现红、黄、蓝颜色朝下的事件，问A，B，C是否相互独立?,解,由于在四面体中红、黄、蓝分别出现两面，,因此,又由题意知,伯恩斯坦反例,2.4事件的独立性,故有,因此A，B，C不相互独立.,则三事件A,B,C两两独立.,由于,2.4事件的独立性,【例1.21】设一口袋中有100个球，其中有7个是红的，25个是黄的，24个是黄蓝两色的，1个是红黄蓝三色的，其余43个是无色的现从中任取一个球，以A、B、C分别表示取得的球有红色的、有黄色的、有蓝色的事件,2.4事件的独立性,显然,故P(ABC)=P(A)P(B)P(C)显然又有P(AB)P(A)P(B)P(AC)P(A)P(C)P(BC)P(B)P(C)即A、B、C不是两两相互独立的更不是相互独立的.,2.4事件的独立性,定义推广：如果事件A1,A2,An（n2）中任意k（2kn）个事件积事件的概率都等于各个事件的概率之积，则称A1,A2,An相互独立；如果A1,A2,An中任意两个事件相互独立，则称A1,A2,An两两独立,n个事件相互独立,n个事件两两相互独立,2.4事件的独立性,两个结论,2.4事件的独立性,在实际应用中，事件的独立性常常根据事件的实际意义去判断一般情况下，若各事件之间没有关联或关联很弱，就可以认为它们是相互独立的,2.4事件的独立性,【例1.22】设某地区某时间每人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，混合100个人的血清，求血清中含有肝炎病毒的概率解：设Ai=“第i人的血清中含有肝炎病毒”，i=1,2,100，可以认为诸Ai是相互独立的，从而诸也是相互独立的，且则要求的概率为,2.4事件的独立性,【例1.23】从1至9这9个数字中，有放回地取3个数字，每次任取1个，求所取的3个数之积能被10整除的概率解法一：设A=“所取的3个数之积能被10整除”，A1=“所取的3个数中含有数字5”，A2=“所取的3个数中含有偶数”，则A=A1A2，所以考虑到三次取数相互独立,2.4事件的独立性,所以,2.4事件的独立性,解法二：设Ak表示“第k次取得数字5”，Bk表示“第k次取得偶数”，k=1，2，3，则A=(A1A2A3)(B1B2B3)，由于所以,2.4事件的独立性,由于是有放回的取数，所以各次抽取结果相互独立，并且因此,2.4事件的独立性,解,【例1.24】,2.4事件的独立性,2.4事件的独立性,问题：在例1.24的条件下，求如下系统的可靠性，并在所有的情况下比较两者的大小,【例1.25】如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,【例1.26】某一治疗方法对一个病人有效的概率为0.9，今对3个病人进行了治疗，求对3个病人的治疗中，至少有一人是有效的概率.设对各个病人的治疗效果是相互独立的.,2.4事件的独立性,解法二,2.4事件的独立性,祝大家中秋，国庆节日快乐,2.5.1试验的独立性定义1.9如果第一次试验的任一结果，第二次试验的任一结果，第n次试验的任一结果都是相互独立的事件，则称这n次试验相互独立，如果这n次独立试验还是相同的，则称为n重独立重复试验，如果在n重独立重复试验中，每次试验的可能结果为两个：A或，则称这种试验为n重伯努利试验例如掷n枚硬币，从一大批产品中抽查n个产品是否合格等，都是n重独立重复试验,2.5重复独立试验、二项概率公式,2.5重复独立试验、二项概率公式,在n重伯努利试验中，若事件A在每次试验中发生的概率均为P(A)=p，(0p0是一个常数，n是任意正整数，设np=（p与n有关），则对于任一非负整数k，有,2.2.2常用离散型分布,定理的条件np=（常数）意味着当n很大时p必定很小因此，当n很大p很小，有下面近似计算公式该公式说明，在计算二项概率公式时，如果n很大（n10），p很小（p0.1）或者很大（p0.9），可以用参数为=np的泊松定理中的概率值来做近似计算,2.2.2常用离散型分布,Born:21June1781inPithiviers,FranceDied:25April1840inSceaux(nearParis),France,SimonPoisson,泊松,泊松定理于1837年由法国数学家泊松引入！,下面给出一个利用泊松分布作近似计算的例子,2.2.2常用离散型分布,【例2.8】已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率为多少？解：设A=“该单位患有这种疾病的人数不超过5人”，则所求概率为取=np=5，用泊松分布近似计算并查附表1得,2.2.2常用离散型分布,为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,2.2.2常用离散型分布,课堂练习,由泊松定理得,故有,2.2.2常用离散型分布,所需解决的问题是确定,使得,解:,【补充例】甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落（记为H）的概率.,解,A,B,C分别表示甲、乙、丙击中飞机,2.5重复独立试验、二项概率公式,2.5重复独立试验、二项概率公式,因而,2.5重复独立试验、二项概率公式,解,“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;,【补充例】,2.5重复独立试验、二项概率公式,“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;,2.5重复独立试验、二项概率公式,2.5重复独立试验、二项概率公式,2.6Excel数据分析功能简介Excel是微软公司Office套件中的一款办公软件，其超强的电子表格功能使其成为最受大众喜欢的软件之一，同时其具有的数据分析功能已经越来越受到人们关注Excel除了可以执行简单的加、减、乘、除等算术运算外，还能进行较为复杂的函数运算，为各种统计数据制作图表其种类繁多