条件极值问题与Lagrange乘数法

.,12.7条件极值问题与Lagrange乘数法,.,光的折射问题,空气,水,A,B,a,b,c,问：光线沿何路径由A到B？,物理：光线依时间最短路线行进！,C,求t的最小值！,.,条件极值,以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制，,有时，除受自变量定义域限制外,还受到其他的限制.,例如，要设计一个容量为V的长方体开口水箱，试,问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？,为此，设水箱的长、宽、高分别为x,y,z,则表面积为,依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要求：,x0,y0,z0,而且还须满足条件,.,这类附有约束条件的极值问题称为条件极值.,条件极值问题的一般形式是等式约束：即在条件组：,的限制下，求目标函数,的极值.,.,条件极值的一种求解方法是代入法.,例如，在上述例子中，由条件,解出,代入目标函数中，,然后求这个函数的无条件极值.,得到,思路：将条件极值化为无条件极值！,.,条件极值的几何解释,.,.,然而在一般情形下，这种方法往往是行不通的，因为要从条件组,下面介绍的拉格朗日乘数法是求条件极值的一种有效方法.,解出m个变元常常是不可能的.,.,拉格朗日乘数法,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,由极值的必要条件，知极值点x0必满足,设,记,故有,因,即,.,引入辅助函数,辅助函数L称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,想法：把上面的条件极值点转化为一般极值点问题,构造一个函数使得其极值点就是上面函数的条件极值点,.,1.作拉格朗日函数,利用拉格朗日乘数法求函数,在条件,下的极值步骤如下：,2.求拉格朗日函数的极值,先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：,再考察驻点是否是极值点,.,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,例如,求函数,下的极值.,在条件,可得到条件极值的可疑点.,.,例.,要设计一个容量为V的长方体开口水箱,问,求x,y,z,令,解方程组,解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,.,得,若,于是,代入式得,不合题意.,若,代入式得,代入式得,代入式得,.,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.,因此,当高为,.,思考:,当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?,提示:利用对称性可知,.,例.,抛物面,这个问题实质上就是求函数,解,被平面,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.,截成一个椭圆.,在条件,下的最大值、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，,作拉格朗日函数,.,令L的一阶偏导数都等于零，则有,得,不合题意，舍去；,.,则,代入式后，再将代入,得,解得,这就是拉格朗日函数的驻点，由于f在有界闭集,上连续，故所求问题存在最大值与最小值.,.,计算,得,所以该椭圆到原点的最长距离为,最短距离,得：,计算,.,例试求函数,在条件下的最小值,并由此导出相,应的不等式.,解设,并使,.,由此方程组易得,都使得故存在,又设,由于为一有界闭集,为连续函数,因此在,.,上存在最大值和最小值.而在及上,f的值已大于故f在S上的最小值必在,的内部取得.又因内部只有惟一可疑点,所以必定有,最后,在不等式,中,用代入,就得到一个新的不等式:,.,经整理后,就是“调和平均不大于几何平均”,这个著名的不等式:,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,注意,应用Lagrange乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较大，似乎解这个方程组往往是很困难的。但注意我们可以利用变量之间的关系（也就是问题给出的条件），找到解方程组的简便的方法，而不要用死