随机变量的数字特征最新版本

.,第四章随机变量的数字特征,我们知道随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但有时不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征。与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。,例如:一个袋中放有5个黑球,3个红球,每次试验有放回地摸球10次,求平均每次试验摸到黑球的个数是多少?,.,1数学期望,一、数学期望的定义,定义1：设离散型随机变量的分布律为若级数收敛，则称级数为随机变量的数学期望，记为。,.,注：对某一随机变量来说，其数学期望不一定存在，例如习题4。,数学期望简称为期望，又称为均值。,定义2：设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称该积分为随机变量的数学期望，记为。,.,例1：某运动员进行定点投篮，投中为止，但若10次都不中也停止；设其命中率为，求其平均投篮次数。,.,二、数学期望的性质,(1),(2),(3),其中性质（3）（4）可推广到有限个随机变量的情形。,(4)若随机变量和相互独立，则有,.,例3：一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以表示停车的次数，求。（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）,.,三、六种常见的分布的数学期望,1、（0-1）分布,2、二项分布,3、泊松分布,.,4、均匀分布,5、指数分布,.,四、随机变量函数的数学期望,1、一个随机变量的函数的数学期望,注：这个定理告诉我们，求时，不需要算出的分布律或概率密度函数，只需利用的分布律或概率密度函数。,定理1：(1)当为离散型随机变量时，则的数学期望为；(2)当为连续型随机变量时，则的数学期望为。,.,例4：设随机变量服从参数为1的指数分布，求。,例5：游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第分钟到达底层候梯处，且在上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。,.,例6：某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利元，而积压一件产品导致元的损失。他们预测销售量（件）服从参数为的指数分布，问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（这里假设是已知的）？,.,2、二个随机变量的函数的数学期望,定理2：(1)当为离散型随机变量时，则的数学期望为；(2)当为连续型随机变量时，则的数学期望为。,.,例7：设随机变量的概率分布为求数学期望。,.,例8：设随机变量的概率密度为求数学期望。,.,例9：一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布；商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超出了进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商品获得的利润是500元；试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。,与的联合概率为求的数学期望。,.,2方差,一、方差的定义,定义：设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记作（或），同时称为标准差(或均方差)，记作。,注：随机变量的方差反映了它的取值与其数学期望的偏离程度，它是衡量取值分散程度的一个尺度。,.,对于离散型随机变量,对于连续型随机变量,.,二、方差的性质,（1）,（2）,注：1、不一定成立。,2、,3、若独立，则,.,三、六种常见分布的方差,1、（0-1）分布,2、二项分布,3、泊松分布,.,4、均匀分布,5、指数分布,.,6、正态分布,.,例2:设随机变量相互独立,且服从参数为的指数分布,求、和。,.,例4：设两个随机变量相互独立，且都服从均值为0，方差为的正态分布，求随机变量的方差。,思考题:1、设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，求参数。,2：若随机变量有求和。,.,3协方差与相关系数,一、协方差与相关系数的定义,定义1：我们称为随机变量与的协方差，记作，同时称为随机变量与的相关系数。,.,协方差、数学期望与方差有以下关系：,.,二、协方差的性质,(1),(2),(3),(4),(5),.,三、相关系数的性质及其含义,（1）,相关系数是反映之间线性关系紧密程度的量，当较大时，说明之间线性关系的程度较好，反之，说明它们之间线性关系的程度较差。,.,若，则称和不相关，若和相互独立，则和不相关，反过来，若与不相关，和却不一定相互独立。,例如设的分布律为,.,对于二维正态分布来说，,而，相互独立的充要条件是，所以对于二维正态分布不相关与独立是等价的。,例1：若，且，求、和。,.,例2：设二维随机变量的分布律如下，求。,.,例3：设和是试验的两个事件，且，并定义随机变量如下：证明：若，则和必定相互独立。,.,例4：设随机变量，求和。,例5：设二维随机变量在圆域上服从均匀分布，（1）求二维随机变量的联合概率密度；（2）求和的相关系数；（3）问是否独立？说明理由。,.,例6：设随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数；求（1）的概率密度；（2）；（3）。,.,定义1：设和是随机变量，若存在，则称它为的阶原点矩，简称阶矩；,若存在，则称它为的阶中心矩；,若存在，则称它为和的阶混合中心矩。,若存在，则称它为和的混合矩；,四、矩和中心矩的定义,.,4大数定律与中心极限定理,一、切比雪夫（Chebyshev）不等式,定理1（切比雪夫（Chebyshev）不等式）：设随机变量具有数学期望和方差，则对于任意正数，都有不等式（或）成立。,.,定义1：设是一个随机变量序列，是一个常数。如果对于任意正数，有则称序列依概率收敛于；记为。,定理2：设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差：，则序列依概率收敛于,即,二、大数定理,这个定理被称为弱大数定理。,.,这个定理告诉我们：在大量重复试验中频率接近于概率的真正含义，也就是所谓的频率稳定性。,.,注：辛钦定理与定理2的区别在于辛钦定理要求随机变量序列是同分布的，而定理2不要求是同分布的，但要求它们的方差存在；另外，伯努利（Bernoulli）大数定理是辛钦定理的一种特例。,定理4（辛钦定理）设为独立同分布随机变量序列，且具有数学期望，则对于任意正数，有。,.,例1：现有一大批商品，其中一等品占，现从中任取6000件，试用切比雪夫不等式估计6000件中一等品所占比例与之差的绝对值不超过0.01的概率不小于多少？,思考题：已知随机变量满足则由切比雪夫不等式_。,.,例2：设随机变量相互独立，且(1)对于,利用Chebyshev不等式,计算的下界；(2)证明：,.,三、中心极限定理,设是独立同分布的随机变量序列，具有有限的期望和方差，即，；,.,这也就说明了为什么现实世界中，很多随机事件可近似看作为服从正态分布。,.,定理2（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意，有,.,例1：随机变量相互独立，且均服从参数的（0-1）分布，由Chebyshev不等式_；根据中心极限定理_。,.,例2：对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1个家长、2个家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布；（1）求参加会议的家长数超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。,.,例3：某种短波无线电接收机中有一个关键性的组件，它的寿命(以h计)服从均值为500的指数分布；现有一个组件在工作，另有19个备用，当一个组件损坏时备用件立即换上;（1）求20个组件至少能使用1年（87