2011届高考数学考点总复习课件

要点梳理1.圆的定义在平面内，到的距离等于的点的叫圆.2.确定一个圆最基本的要素是和.3.圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r0）,其中为圆心,为半径.,9.3圆的方程,基础知识自主学习,集合,圆心,半径,(a,b),r,定点,定长,4.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是,其中圆心为,半径r=.5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）；（2）；（3）.,D2+E2-4F0,根据题意，选择标准方程或一般方程,根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组,解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程,6.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)（1）点在圆上:;（2）点在圆外:;（3）点在圆内:.,(x0-a)2+(y0-b)2=r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是（）A.a-2或aB.a0C.-2a0D.-2a解析方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为+(y+a)2=a2-a+1,所以若方程表示圆，则有3a2+4a-40,-2a.,D,2.圆x2+y2-2x+2y+1=0的圆心到直线x-y+1=0的距离是（）A.B.C.D.解析配方得(x-1)2+(y+1)2=1,圆心（1，-1）到直线的距离d=,D,3.（2009重庆文，1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程是（）A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析设圆的圆心C（0，b）,则=1,b=2.圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.,A,4.当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为（）A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0解析直线方程变为（x+1）a-x-y+1=0,C（-1，2）.所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.即x2+y2+2x-4y=0.,C,5.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（）A.（x-3）2+(y+1)2=4B.（x+3）2+(y-1)2=4C.（x-1）2+(y-1)2=4D.（x+1）2+(y+1)2=4解析设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.圆心C在直线x+y-2=0上，b=2-a.|CA|2=|CB|2，（a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2，a=1，b=1.r=2，方程为(x-1)2+(y-1)2=4.,C,题型一求圆的方程【例1】求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2的圆的方程.由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐.解方法一设所求的圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为，r2=,题型分类深度剖析,思维启迪,即2r2=(a-b)2+14由于所求的圆与x轴相切，r2=b2.又因为所求圆心在直线3x-y=0上，3a-b=0.联立，解得a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3，r2=9.故所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.,方法二设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心为半径为令y=0，得x2+Dx+F=0,由圆与x轴相切，得=0，即D2=4F.又圆心到直线x-y=0的距离为,由已知，得即（D-E）2+56=2（D2+E2-4F）又圆心在直线3x-y=0上，3D-E=0.联立，解得D=-2,E=-6,F=1或D=2，E=6，F=1.故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0或x2+y2+2x+6y+1=0.,探究提高求圆的方程，一般用待定系数法.圆的一般式和标准式均有三个未知数，合理选择方程形式可以减少运算量，若已知与圆的圆心和半径有关的条件，应优先选择圆的标准形式.,知能迁移1（2009辽宁文，7）已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A.（x+1）2+(y-1)2=2B.（x-1）2+(y+1)2=2C.（x-1）2+(y-1)2=2D.（x+1）2+(y+1)2=2解析由题意可设圆心坐标为（a,-a）,则,解得a=1，故圆心坐标为（1，-1），半径r=所以圆的方程为（x-1）2+(y+1)2=2.,B,【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.解圆的标准方程为(x-2)2+y2=3.1分（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，3分此时解得b=-2.5分所以y-x的最大值为最小值为7分,思维启迪,题型二与圆有关的最值问题,（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.9分又圆心到原点的距离为10分所以x2+y2的最大值是x2+y2的最小值是12分,探究提高与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如（x-a）2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,知能迁移2已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解（1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.,（2）设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.tmax=-2，tmin=-2-.（3）设k=则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，,题型三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标,代入圆的方程可求.,思维启迪,解如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为线段MN的中点坐标为由于平行四边形的对角线互相平分，N（x+3，y-4）在圆上，故（x+3）2+（y-4）2=4.因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点(点P在直线OM上时的情况).,探究提高求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程;代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.,知能迁移3已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若PBQ=90，求PQ中点的轨迹方程.解（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2,2y）.P点在圆x2+y2=4上，（2x-2）2+（2y）2=4.故线段AP中点的轨迹方程为（x-1)2+y2=1.,（2）设PQ的中点为N（x，y），在RtPBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，连结ON，则ONPQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.,题型四圆的综合应用【例4】已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.（1）利用垂直列出坐标之间关系，再化为m的方程求解；（2）OPOQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解；（3）利用圆的性质列出m的方程求解.,思维启迪,解方法一将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2m=3,此时0,圆心坐标为，半径r=.,方法二如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，O1M的方程为y-3=2即：y=2x+4.由方程组解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.,m=3.半径为,圆心为方法三设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知，点O（0，0）在圆上.圆系方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.,又圆心在PQ上.+2（3-）-3=0，=1，m=3.圆心为半径为.,探究提高（1）在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算.（2）本题中三种解法都是方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.,知能迁移4已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.,（1）证明直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=525,点（3，1）在圆内部，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.（2）解从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2,此时，kl=-从而kl=-=2.l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.,方法与技巧1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.,思想方法感悟提高,失误与防范1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况.,一、选择题,定时检测,1.已知C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则F=E=0且D0是C与y轴相切于原点的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由F=E=0,D0圆心为(,0)，半径r=C与y轴相切于原点.而C与y轴相切于原点能得到F=E=0，但D不一定小于0.,A,2.（2009宁夏，海南文，5）已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为（）A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1,解析圆心C1（-1，1），设C2（x,y）是点C1关于直线x-y-1=0的对称点，则x=2,y=-2.圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.答案B,3.已知两点A（-2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则ABC面积的最小值是（）A.3-B.3+C.3-D.解析lAB：x-y+2=0，圆心（1，0）到l的距离d=，AB边上的高的最小值为Smin=（2）=3-.,A,4.若PQ是圆x2+y2=9的弦，PQ的中点是（1，2）,则直线PQ的方程是（）A.x+2y-3=0B.x+2y-5=0C.2x-y+4=0D.2x-y=0解析PQ中点M（1，2），kOM=2.kPQ=-.lPQ：y-2=-（x-1），即x+2y-5=0.,B,5.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A.x2+y2-x-2y-=0B.x2+y2+x-2y+1=0C.x2+y2-x-2y+1=0D.x2+y2-x-2y+=0,答案D,解析,6.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a,bR）对称，则ab的取值范围是（）A.B.C.D.解析配方得（x+1）2+(y-2)2=4,圆心（-1，2）在直线上.a+b=1，ab,A,二、填空题7.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是.解析圆的方程变为（x+1）2+(y-2)2=5-a,其圆心为（-1，2），且5-a0，即a5.又圆关于直线y=2x+b成轴对称，2=-2+b，b=4.a-b=a-41.,（-，1）,8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为.解析方法一直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点分别为A（-4，0）、B（0，3），所以线段AB的中点为故所求圆的方程为(x+2)2+,方法二易得圆的直径的两端点为A（-4，0）、B（0，3），设P（x，y）为圆上任一点，则PAPB.kPAkPB=-1，即(x-4,x0),亦即x(x+4)+y(y-3)=0.化简得(x+2)2+答案,9.直线ax+by=1过点A（b，a），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是.解析直线过点A（b，a），ab=，圆面积S=r2=（a2+b2）2ab=.,三、解答题10.根据下列条件求圆的方程：（1）经过点P（1,1）和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相切于点P（3，-2）；（3）过三点A（1，12）,B（7，10）,C（-9，2）.解（1）设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意列出方程组,圆的标准方程是（x-4）2+(y+3)2=25.（2）方法一设圆的标准方程为（x-a）2+(y-b)2=r2,解得a=1,b=-4,r=2.圆的方程为（x-1）2+(y+4)2=8.,方法二过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为（1，-4）.半径r=所求圆的方程为（x-1）2+（y+4）2=8.（3）方法一设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，解得D=-2,E=-4,F=-95.所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.,方法二由A（1，12），B（7，10），得A、B的中点坐标为（4，11），kAB=-，则AB的中垂线方程为3x-y-1=0.同理得AC的中垂线方程为x+y-3