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文档简介
要点梳理1.圆的定义在平面内,到的距离等于的点的叫圆.2.确定一个圆最基本的要素是和.3.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中为圆心,为半径.,9.3圆的方程,基础知识自主学习,集合,圆心,半径,(a,b),r,定点,定长,4.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是,其中圆心为,半径r=.5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:(1);(2);(3).,D2+E2-4F0,根据题意,选择标准方程或一般方程,根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组,解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程,6.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)(1)点在圆上:;(2)点在圆外:;(3)点在圆内:.,(x0-a)2+(y0-b)2=r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.a-2或aB.a0C.-2a0D.-2a解析方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为+(y+a)2=a2-a+1,所以若方程表示圆,则有3a2+4a-40,-2a.,D,2.圆x2+y2-2x+2y+1=0的圆心到直线x-y+1=0的距离是()A.B.C.D.解析配方得(x-1)2+(y+1)2=1,圆心(1,-1)到直线的距离d=,D,3.(2009重庆文,1)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析设圆的圆心C(0,b),则=1,b=2.圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.,A,4.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0解析直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0,C(-1,2).所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.即x2+y2+2x-4y=0.,C,5.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4解析设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.圆心C在直线x+y-2=0上,b=2-a.|CA|2=|CB|2,(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2,a=1,b=1.r=2,方程为(x-1)2+(y-1)2=4.,C,题型一求圆的方程【例1】求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为2的圆的方程.由条件可设圆的标准方程求解,也可设圆的一般方程,但计算较繁琐.解方法一设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为,r2=,题型分类深度剖析,思维启迪,即2r2=(a-b)2+14由于所求的圆与x轴相切,r2=b2.又因为所求圆心在直线3x-y=0上,3a-b=0.联立,解得a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3,r2=9.故所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.,方法二设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心为半径为令y=0,得x2+Dx+F=0,由圆与x轴相切,得=0,即D2=4F.又圆心到直线x-y=0的距离为,由已知,得即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F)又圆心在直线3x-y=0上,3D-E=0.联立,解得D=-2,E=-6,F=1或D=2,E=6,F=1.故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0或x2+y2+2x+6y+1=0.,探究提高求圆的方程,一般用待定系数法.圆的一般式和标准式均有三个未知数,合理选择方程形式可以减少运算量,若已知与圆的圆心和半径有关的条件,应优先选择圆的标准形式.,知能迁移1(2009辽宁文,7)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2解析由题意可设圆心坐标为(a,-a),则,解得a=1,故圆心坐标为(1,-1),半径r=所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.,B,【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求y-x的最大值和最小值;(2)求x2+y2的最大值和最小值.根据代数式的几何意义,借助于平面几何知识,数形结合求解.解圆的标准方程为(x-2)2+y2=3.1分(1)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,3分此时解得b=-2.5分所以y-x的最大值为最小值为7分,思维启迪,题型二与圆有关的最值问题,(2)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.9分又圆心到原点的距离为10分所以x2+y2的最大值是x2+y2的最小值是12分,探究提高与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:(1)形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,知能迁移2已知点P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值;(2)求x-2y的最大值和最小值;(3)求的最大值和最小值.解(1)圆心C(-2,0)到直线3x+4y+12=0的距离为P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=,最小值为d-r=-1=.,(2)设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点.tmax=-2,tmin=-2-.(3)设k=则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点,,题型三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.先设出P点、N点坐标,根据平行四边形对角线互相平分,用P点坐标表示N点坐标,代入圆的方程可求.,思维启迪,解如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为线段MN的中点坐标为由于平行四边形的对角线互相平分,N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(点P在直线OM上时的情况).,探究提高求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;定义法,根据圆、直线等定义列方程;几何法,利用圆与圆的几何性质列方程;代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.,知能迁移3已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若PBQ=90,求PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).P点在圆x2+y2=4上,(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.,(2)设PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.,题型四圆的综合应用【例4】已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OPOQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.(1)利用垂直列出坐标之间关系,再化为m的方程求解;(2)OPOQ得到O点在以PQ为直径的圆上,再利用勾股定理求解;(3)利用圆的性质列出m的方程求解.,思维启迪,解方法一将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件:y1+y2=4,y1y2=OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2m=3,此时0,圆心坐标为,半径r=.,方法二如图所示,设弦PQ中点为M,O1MPQ,O1M的方程为y-3=2即:y=2x+4.由方程组解得M的坐标为(-1,2).则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2.OPOQ,点O在以PQ为直径的圆上.(0+1)2+(0-2)2=r2,即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中,O1Q2=O1M2+MQ2.,m=3.半径为,圆心为方法三设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知,点O(0,0)在圆上.圆系方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.,又圆心在PQ上.+2(3-)-3=0,=1,m=3.圆心为半径为.,探究提高(1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了,简化思路,简便运算.(2)本题中三种解法都是方程思想求m值,即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.,知能迁移4已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.,(1)证明直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立,解得交点为(3,1),又有(3-1)2+(1-2)2=525,点(3,1)在圆内部,不论m为何实数,直线l与圆恒相交.(2)解从(1)的结论和直线l过定点M(3,1)且与过此点的圆C的半径垂直时,l被圆所截的弦长|AB|最短,由垂径定理得|AB|=2,此时,kl=-从而kl=-=2.l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.,方法与技巧1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法:是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算.,思想方法感悟提高,失误与防范1.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不存在的情况.,一、选择题,定时检测,1.已知C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则F=E=0且D0是C与y轴相切于原点的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由F=E=0,D0圆心为(,0),半径r=C与y轴相切于原点.而C与y轴相切于原点能得到F=E=0,但D不一定小于0.,A,2.(2009宁夏,海南文,5)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1,解析圆心C1(-1,1),设C2(x,y)是点C1关于直线x-y-1=0的对称点,则x=2,y=-2.圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.答案B,3.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则ABC面积的最小值是()A.3-B.3+C.3-D.解析lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到l的距离d=,AB边上的高的最小值为Smin=(2)=3-.,A,4.若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是()A.x+2y-3=0B.x+2y-5=0C.2x-y+4=0D.2x-y=0解析PQ中点M(1,2),kOM=2.kPQ=-.lPQ:y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.,B,5.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是()A.x2+y2-x-2y-=0B.x2+y2+x-2y+1=0C.x2+y2-x-2y+1=0D.x2+y2-x-2y+=0,答案D,解析,6.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,bR)对称,则ab的取值范围是()A.B.C.D.解析配方得(x+1)2+(y-2)2=4,圆心(-1,2)在直线上.a+b=1,ab,A,二、填空题7.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是.解析圆的方程变为(x+1)2+(y-2)2=5-a,其圆心为(-1,2),且5-a0,即a5.又圆关于直线y=2x+b成轴对称,2=-2+b,b=4.a-b=a-41.,(-,1),8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为.解析方法一直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点分别为A(-4,0)、B(0,3),所以线段AB的中点为故所求圆的方程为(x+2)2+,方法二易得圆的直径的两端点为A(-4,0)、B(0,3),设P(x,y)为圆上任一点,则PAPB.kPAkPB=-1,即(x-4,x0),亦即x(x+4)+y(y-3)=0.化简得(x+2)2+答案,9.直线ax+by=1过点A(b,a),则以坐标原点O为圆心,OA长为半径的圆的面积的最小值是.解析直线过点A(b,a),ab=,圆面积S=r2=(a2+b2)2ab=.,三、解答题10.根据下列条件求圆的方程:(1)经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上;(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);(3)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).解(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意列出方程组,圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.(2)方法一设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,解得a=1,b=-4,r=2.圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.,方法二过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).半径r=所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(3)方法一设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,解得D=-2,E=-4,F=-95.所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.,方法二由A(1,12),B(7,10),得A、B的中点坐标为(4,11),kAB=-,则AB的中垂线方程为3x-y-1=0.同理得AC的中垂线方程为x+y-3
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