2011年高考数学一轮精品复习课件：第3章《三角函数》――任意角的三角函数与诱导公式

学案2任意角的三角函数与诱导公式,返回目录,1.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设是一个任意角,角的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r0),那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin=,cos=,tan=,它们都是以角为，以比值为的函数.,自变量,函数值,考点分析,返回目录,(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:.2.设角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直x轴于M,作PN垂直y轴于点N,则点M,N分别是点P在x轴,y轴上的.由三角函数的定义知,点P的坐标为,即,其中cos=,sin=,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T(T),则tan=.我们把轴上向量OM,ON,AT(或AT)分别叫做的、.,二正弦、三正切、四余弦,一全正、,正射影,（cos,sin),P(cos,sin),OM,ON,AT,余弦线,正弦线,正切线,3.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.(2)商数关系:.(3)倒数关系:tancot=1(,kZ).,返回目录,sin2+cos2=1(R),(k+,kZ),-tan,4.六组诱导公式,返回目录,sin,-sin,-sin,sin,cos,cos,cos,-cos,cos,-cos,sin,-sin,sin,tan,tan,-tan,返回目录,考点一三角函数的定义,设为第四象限角，其终边上的一个点是P(x,-)，且cos=x，求sin和tan.,【分析】若能求出问题中的未知数x，则由定义sin和tan可求，解题技巧即是设法建立关于x的一个方程.,题型分析,返回目录,【解析】是第四象限的角，x0,又P点到坐标原点O的距离r,由cos，得.x=,r=2.sin,tan.,【评析】容易出错的地方是得到x2=3后，不考虑P点所在的象限，x的取值分正负两种情况去讨论.一般地，在解此类问题时，可以优先注意角所在的象限，对最终结果作一个合理的预测.,对应演练,已知角的终边在直线3x+4y=0上,求sin,cos,tan的值.,角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则x=4t,y=-3t,当t0时,r=5t,返回目录,当t0时，sin=,cos=,tan=;当t0时,sin=,cos=-,tan=-.,返回目录,返回目录,考点二单位圆与三角函数线,在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin;(2)cos-.,【分析】作出满足sin=,cos=-的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围.,【解析】(1)如图,作直线y=交单位圆于A,B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为,返回目录,返回目录,(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连结OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为,【评析】本题的实质是解三角不等式的问题：（1）可以运用单位圆及三角函数线;（2）也可以用三角函数图象.体现了数形结合的数学思想方法.,返回目录,返回目录,对应演练,已知01;(2)sin1.(2)连结PA,则SOPAS扇形OPASOTA,即OAMPOAOAAT,即sintan.,返回目录,返回目录,考点三同角三角函数间的关系,已知x0,sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值；(2)求的值.,【分析】(1)由sinx+cosx=及sin2x+cos2x=1可求出sinx,cosx的值,从而求出sinx-cosx的值;另外,由0,从而判定sinx-cosx的符号,只需求(sinx-cosx)2即可.,返回目录,【解析】(1)解法一:联立方程:sinx+cosx=,sin2x+cos2x=1,由得sinx=-cosx,将其代入,整理得25cos2x-5cosx-12=0.sinx=-cosx=,(2)由(1)可求出tanx,而想法使分子、分母都出现tanx即可.,x0,sinx-cosx=-.,解法二:sinx+cosx=,(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+=.又0,sinx-cosx0.由可知，sinx-cosx=-.,返回目录,(2)由已知条件及(1)可知sinx+cosx=sinx=-sinx-cosx=-,cosx=,tanx=-.,解得,又,返回目录,返回目录,【评析】（1）方程思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要的作用,一定要注意其应用.(2)注意sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx三者间的相互转化,若令sinx+cosx=t,则sinxcosx=.,返回目录,对应演练,已知sin+cos=,(0,).求值:(1)tan;(2)sin-cos;(3)sin3+cos3.,解法一:sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos,sincos=0,cos0,cos0,sin-cos=.(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=1+=.,返回目录,考点四求值问题,已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2+sincos+2.,【分析】由已知可以求出tan，再由同角三角函数关系式可以求得sin和cos，进而求出(1)、(2)的值.但实际操作中，往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.,【解析】由已知得tan=.（1）,返回目录,（2）sin2+sincos+2=sin2+sincos+2(cos2+sin2),返回目录,【评析】形如asin+bcos和sincos+ccos2的式子分别称为关于sin,cos的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.,对应演练,已知tan=2,求：（1）tan(+)的值；（2）的值.,返回目录,（1）,返回目录,（2）由（1）得tan=,返回目录,返回目录,考点五化简问题,化简:tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-).,【分析】灵活运用诱导公式.,返回目录,【评析】当多个复合角出现时，应先观察各个角之间的内在联系，再利用诱导公式化简求值.,【解析】tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-)=tan(27-)tan(49-)tan90-(27-)tan90+(49-)=tan(27-)tan(49-)cot(27-)-cot(49-)=tan(27-)cot(27-)tan(49-)-cot(49-)=-1.,返回目录,对应演练,已知(1)化简f();(2)若是第三象限角,且cos(-)=,求f()的值.,(1),(2)cos(-)=-sin,sin=-,cos=,f()=.,返回目录,返回目录,考点六简单的恒等式证明问题,已知sin(+)=1，求证:tan(2+)+tan=0.,【分析】可由sin(+)=1出发,得到=2k+-(kZ)，将其代入被证式的左边，然后利用诱导公式进行化简，直至推得右边.,【证明】sin(+)=1,+=2k+(kZ).=2k+-(kZ).tan(2+)+tan=tan(4k+-2+)+tan=tan(4k+-)+tan=tan(-)+tan=-tan+tan=0.tan(2+)+tan=0得证.,返回目录,返回目录,【评析】本题是条件等式证明问题,采用代入法使被证式得证.证明条件等式,一般有两种方法:一是从被证等式一边推向另一边的适当的时候,将条件代入,推出被证式的另一边,这种方法称作代入法;二是直接将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法.证明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目标,据果变形.,返回目录,对应演练,已知tan2=2tan2+1,求证:sin2=2sin2-1.,证明:证法一：tan2=2tan2+1,tan2=.又sin2=tan2cos2,返回目录,证法二：,返回目录,证法三:tan2=2tan2+1,证法四：tan2=2tan2+1,1+tan2=2(tan2+1).sec2=2sec2,2cos2=cos2.2(1-sin2)=1-sin2.sin2=2sin2-1.,返回目录,返回目录,同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式.1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：（1）弦切互化法主要利用公式tanx=化成正弦、余弦函数;,高考专家助教,返回目录,（2）和积转换法：如利用(sincos)2=12sincos的关系进行变形、转化；（3）巧用“1”的变换：1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=sin2(1+)=tan=.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.3.证明三角恒等