2011高考数学一轮复习《学案与测评》课件：第14单元 推理与证明、数系的扩充与复数的引入

第十四单元推理与证明、数系的扩充与复数的引入,知识体系,第一节合情推理与演绎推理,基础梳理,1.合情推理（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理(简称归纳).（2）类比推理：由两类事物具有某些类似性(或一致性)推测其中一类事物也具有这些特征的推理称为类比推理.（3）合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理.2.演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则),导出特殊性命题为真的推理,叫做演绎推理.3.三段论推理“如果bc,ab,则ac.”这种推理规则叫做三段论推理.,典例分析,题型一归纳推理,【例1】如图所示：一个质点在第一象限运动,在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处位置的坐标是()A.(44,25)B.(45,25)C.(25,45)D.(24,44),分析归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.,解质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上；质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右；质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上；猜想：质点到达(n,n)处，走过长度单位是2+4+6+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.所以2000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是（24,44）.,学后反思归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.,举一反三,在数列an中，(nN*),试猜想这个数列的通项公式.,解析,题型二类比推理,【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.,分析实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.,解（1）两实数相加后，结果是一个实数;两向量相加后，结果仍是向量;（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即：,a+b=b+a,a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有唯一解，x=-a与x=-a；（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.,学后反思（1）类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理.（2）类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把与它有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.,举一反三,2.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的三个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点为圆心，r为半径的圆的方程为,解析(1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的四个点确定一个球;(3)球的表面积与体积可求;(4)在空间直角坐标系中，以点为球心，r为半径的球的方程为.,题型三演绎推理,【例3】(12分)已知函数,其中a0,b0,x(0,+)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.,分析利用演绎推理证明.,证明设,.1则.3当时，60,即,.7f(x)在(0,上是减函数；.8当时，,.100,即,.11f(x)在,+)上是增函数.12,学后反思这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数的定义，小前提分别是f(x)在（0,上满足减函数的定义和f(x)在,+)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.,举一反三,3.用三段论证明函数f(x)=-+2x在(-,1上是增函数.,证明设(-,1,(-,1,则,题型四演绎推理在证明题中的应用,【例4】在梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线.求证：AC平分BCD,DB平分CBA.,分析在用演绎推理证明问题时，一定要按“三段论”的形式推理，当然有时可以省略大前提或小前提.,证明如图,（1）等腰三角形两底角相等（大前提），DAC是等腰三角形，DA、DC是两腰（小前提），1=2(结论).（2）两条平行线被第三条直线截出的内错角相等（大前提），1和3是平行线AD、BC被AC截出的内错角（小前提），1=3（结论）.（3）等于同一个量的两个量相等（大前提），2和3都等于1（小前提），2=3（结论），即AC平分BCD.（4）同理DB平分CBA.,学后反思证明中如果把（4）也详细地写出，则一共通过六次三段论的形式，因此一个命题的证明形式，确切地应叫做复合三段论的形式，或说命题的推证方法是复合三段论；但是事实上，每一次三段论的大前提并不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面三段论的结论，也就不再写出了，如例3的证明可写成：DA=DC（省略了大前提），1=2.ADBC,且被AC截得内错角为1和3（省略大前提），1=3，2=3，即AC平分BCD（省略大前提，小前提），同理可证DB平分ABC.这样，一般地，在推证命题时所采用的这种表达的方法，就叫做简化的复合三段论法,举一反三4.在锐角三角形ABC中,ADBC于D.求证：（1）ABD是直角三角形；(2)若M是AB的中点，则DM=AB.,解析：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形（大前提），在ABC中，ADBC，即ADB=90（小前提），所以ABD是直角三角形（结论）.（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（大前提），DM是RtADB斜边上的中线（小前提），所以DM=AB（结论）.,易错警示,【例】在RtABC中，三边长分别为a,b,c,则.类比在三棱锥中有何结论?,错解在三棱锥V-ABC中,有,错解分析错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.,正解在三棱锥V-ABC中，VAVBVC,则,考点演练,11.观察下列等式:由上面两式的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.,10.（2010宁夏银川模拟）观察下列不等式：1,由此猜想第n个不等式.,解析:由1，可猜想第n个不等式为,答案:,解析由可看出,两角差为30,则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想:若-=30,则=30+,也可直接写成下面进行证明:故,12.用“三段论”的形式写出下列演绎推理.（1）若两角是对顶角，则这两角相等，所以若两角不相等，则这两角不是对顶角.（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等.（3）0.332是有理数.（4）y=sinx（xR）是周期函数.,解析：（1）两个角是对顶角，则两角相等，（大前提）1和2不相等，（小前提）1和2不是对顶角.（结论）（2）每一个矩形的对角线相等，（大前提）正方形是矩形，（小前提）正方形的对角线相等.（结论）,（3）所有的循环小数都是有理数，（大前提）0.332是循环小数，（小前提）0.332是有理数.（结论）（4）三角函数是周期函数，（大前提）y=sinx是三角函数，（小前提）y=sinx是周期函数.（结论）,第二节直接证明与间接证明,基础梳理,1.证明（1）证明分为与.直接证明包括、等；间接证明主要是.（2）综合法:一般地，利用，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.（3）分析法：一般地，出发，逐步寻求使，直至最后，把要证明的结论归结为（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫做分析法.,直接证明,间接证明,综合法,分析法,反证法,已知条件和某些数学定义、定理、公理等,从要证明的结论,它成立的充分条件,判定一个明显成立的条件,原命题不成立,正确的推理,假设错误,证明了原命题成立,“由因导果”,（4）反证法：一般地，假设（即在原命题的条件下，结论不成立），经过,最后得出矛盾，因此说明，从而，这样的证明方法叫做反证法.2.直接证明（1）综合法是，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系：B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论),它的常见书面表达是“,”或“”.,（2）分析法是，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知.3.间接证明用反证法证明问题的一般步骤:（1）：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（2）：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立),“执果索因”,反设,归谬,结论,典例分析,分析从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论.,题型一综合法的应用【例1】已知ab0，求证：.,证明ab0,b,即2b,进而-2b,a-+ba+b-2b,即0()2a-b,学后反思综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.,举一反三,1.设a0,b0,a+b=1,求证：.,证明：a+b=1,当且仅当a=b=时“=”成立.,题型二分析法的应用【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca.试证：I24S.,分析将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论，宜采用分析法.,证明I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S,故要证I24S,只需证a2+b2+c2+2S4S,即a2+b2+c22S（这对于保证结论成立是充分必要的）.欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0,即证（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0,只需证三括号中的式子均为负值即可,即证a2ab+ac,b2bc+ba,c2ca+cb,即ab+c,ba+c,ca+b,它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和.故I24S.,学后反思(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.,2.若sin+cos=1,求证：sin6+cos6=1.,举一反三,证明：由sin+cos=1sin2+cos2+2sincos=1sincos=0.欲证sin6+cos6=1,只需证(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1,即证sin4+cos4-sin2cos2=1,即证(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即证sin2cos2=0.由式知,上式成立，故原式成立.,题型三反证法的应用【例3】(14分)若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证：a,b,c中至少有一个大于0.,分析命题伴有“至少”“不都”“都不”“没有”“至多”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.,证明假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,.2则a+b+c0,.4而a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3.6-30,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)20,.8a+b+c0,10这与a+b+c0矛盾.12因此a,b,c中至少有一个大于0.14,学后反思反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者非A,即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是正确的，不可能有第三种情况出现.,举一反三3.已知a,b,c是一组勾股数，且.求证：a,b,c不可能都是奇数.,证明：假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数,又a,b,c都是奇数,也都是奇数,是偶数，,与已知相矛盾,a,b,c不可能都是奇数.,分析证明函数是偶函数，关键是证明函数关于y轴对称，即对称轴是x=0.,题型四利用分析综合法证明题目【例4】（12分）设f(x)=a+bx+c(a0)，若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称.求证：fx+12为偶函数.,证明要证f(x+)为偶函数，只需证明其对称轴为x=0，即只需证,只要证a=-b4由已知，抛物线f(x+1)的对称轴x=与对称轴x=关于y轴对称，.8即有,a=-b,f(x+)为偶函数.12,学后反思（1）本题证明的前半部分用的是分析法，要证结论成立，只需证明a=-b，后半部分用综合法证明了a=-b,这一例是典型的分析综合法证明.（2）在用分析综合法证明时，可先分析再综合，也可以先综合再分析.,举一反三4.（2009豫南七校联考）数列中，=1,n2时，其前n项的和满足.(1)求证：数列是等差数列；（2）设，数列的前n项和为，求证：,解析：（1）将(n2)代入得两边取倒数得(n2)，=2n-1(n2)，即(n2).当n=1时，上式也成立.数列构成以为首项，公差为2的等差数列.（2）,易错警示,【例】用反证法证明：若ab0,则,错解假设不大于，即.因为a0,b0,所以即a0,b0,所以又由这些都与已知条件ab0矛盾，所以,考点演练,10.完成反证法证题的全过程.已知：a1,a2,，a7是1，2，7的一个排列.求证：乘积p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明：假设p为奇数，则均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数=0.但奇数0，这一矛盾说明p为偶数.,答案:,证明：由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccosA,则.又由正弦定理,得,11.在ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,求证：.,12.已知a,b,c,d都是正数，且bcad,求证：,解析：a,b,c,dR+且bcad,又,不等式成立.,第三节数学归纳法,基础梳理,1.数学归纳法的适用对象一般地,对于某些与有关的数学命题,我们用数学归纳法公理.2.数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)如果当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;(2)假设当时结论正确,证明当n=时结论也正确.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.,正整数,n=k(kN*,且kn0),k+1,典例分析,题型一与自然数n有关的等式的证明【例1】用数学归纳法证明：,分析用数学归纳法证明问题，应严格按步骤进行，并注意过程的完整性和规范性.,证明（1）当n=1时，左边=124=18,右边=18,等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,成立;,当n=k+1时，所以当n=k+1时，等式也成立.综上可得，等式对于任意nN*都成立.,学后反思用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明.,举一反三1.用数学归纳法证明：,解析：（1）当n=1时，左边=,右边=,等式成立.（2）假设n=k(kN*)时,成立;当n=k+1时,左边=n=k+1时，等式成立.综上可得，对于任意nN*等式都成立.,题型二用数学归纳法证明整除问题【例2】求证：（nN*）能被9整除.,分析当n=1时，原式=27能被9整除.因此要研究与之间的关系，以便利用归纳假设能被9整除来推证也能被9整除.,证明设（1）f(1)=(31+1)7-1=27能被9整除，因此当n=1时命题成立.(2)假设n=k(kN*)时命题成立，即(kN*)能被9整除.则,由于f(k)能被9整除，能被9整除，所以能被9整除.由（1）、（2）知，对所有正整数n,能被9整除.,学后反思整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达，而后利用假设来讨论判断是否满足整除.,举一反三2.用数学归纳法证明：(nN*)能被x+2整除.,证明：（1）当n=1时，1-(3+x)=-2-x=-(x+2)，能被x+2整除.（2）假设当n=k时，能被x+2整除,则可设=(f(x)为k-1次多项式).当n=k+1时，能被x+2整除.综上可知，对任意nN*,1-(3+x)n能被x+2整除.,题型三用数学归纳法证明不等式【例3】求证：(n2,nN*).,分析和正整数有关，因此可用数学归纳法证明.,证明（1）当n=2时，左边=,不等式成立.（2）假设当n=k(k2,kN*)时不等式成立，即成立,则当n=k+1时,所以当n=k+1时不等式也成立.由（1）（2）可知原不等式对一切n2，nN*都成立.,学后反思在用数学归纳法证明不等式时，往往需综合运用不等式证明的其他方法，如比较法、放缩法、配方法、分析法、基本不等式等.,举一反三3.求证：(nN*).,证明：（1）当n=1时，左边=,n=1时不等式成立.（2）假设n=k(kN*)时原不等式成立,即则当n=k+1时,左边=,左边1,n=k+1时原不等式成立.综上可得,原不等式对于一切nN*都成立.,题型四用数学归纳法证明有关数列问题【例4】(14分)在数列an中，,当nN*时满足,且设.求证：各项均为3的倍数.,分析由于要证的是与正整数n有关的命题，可用数学归纳法证明.这里要注意是由递推关系给出的.,证明（1）,.2当n=1时，能被3整除6（2）假设n=k(kN*)时命题成立，即bk=a4k是3的倍数.则当n=k+1时,.10由归纳假设，是3的倍数，故可知是3的倍数.当n=k+1时命题成立.12综合（1）（2）知，对任意nN*，数列各项都是3的倍数.14,学后反思在证n=k+1时，对应用递推关系式裂项，裂项后需产生项，这样便于应用归纳假设；除此之外就是凑成3的倍数.,举一反三4.是等比数列,公比为q.求证：对于一切nN*都成立.,证明：（1）当n=1时，,等式成立.（2）假设当n=k（kN*）时，等式成立，即.则当n=k+1时，即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可得，等式对一切nN*都成立.,易错警示,【例】已知(nN*).用数学归纳法证明时，=.,错解,错解分析中共有n项相加,中应有项相加，中应有项相加,中应有项.,正解,解析：（1）当n=1时，左边=1，右边=1,等式成立.（2）假设当n=k（kN*）时等式成立,即1+4+7+(3k-2)=k(3k-1)成立；则当n=k+1时,1+4+7+(3k-2)+3(k+1)-2=k(3k-1)+(3k+1)=(3k2+5k+2)=12(k+1)(3k+2)=(k+1)3(k+1)-1,解析:首先必须应用归纳假设，然后采用配凑法.,10.（改编题）用数学归纳法证明“能被6整除”的过程中，当n=k+1时，对式子应变形为：.,答案:,11.用数学归纳法证明：1+4+7+(3n-2)=n(3n-1).,考点演练,即当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知，原等式对任意nN*都成立.,12.已知数列计算数列和、,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.,解析：上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想证明：（1）当n=1时，左边=,右边=,猜想成立.,（2）假设当n=k(kN*)时猜想成立，即成立,则当n=k+1时,所以当n=k+1时，猜想成立,根据（1）（2）知猜想对任意nN*都成立.,第四节数系的扩充与复数的引入,基础梳理,a+bi,a,b,b,b=0,b0,a=0且b0,a=c且b=d,a=0且b=0,1.复数的有关概念（1）形如的数叫做复数，其中和都是实数，其中a叫做复数z的实部，叫做复数z的虚部.对于复数a+bi(a,bR),当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当时，叫做纯虚数.（2）复数的相等如果a,b,c,d都是实数，那么a+bi=c+di;a+bi=0.,直角坐标系,实数,实轴,虚轴,原点,纯虚数,虚数,一一对应的,一一对应的,相等,互为相反数时,a-bi,2.复平面的概念建立来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做,y轴叫做.实轴上的点都表示;除外，虚轴上的点都表示;各象限内的点都表示.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是.3.共轭复数概念当两个复数的实部，虚部，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示，即=a+bi,则=(a,bR).,(ac)+(bd)i,交换律,结合律,4.复数的加法与减法（1）复数的加、减法运算法则（a+bi）(c+di)=.（2）复数加法的运算定律复数的加法满足、，即对任何C,有=.（3）复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义若复数对应的向量不共线，则复数是以为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.复数减法的几何意义,(ac-bd)+(bc+ad)I,复数是连接向量的终点，并指向被减向量的向量所对应的复数.5.复数的乘法与除法设=a+bi,=c+di，（1）复数的乘法运算法则=(a+bi)(c+di)=;交换律=;结合律=;分配律.（2）复数的除法运算法则(a+bi)(c+di)=(c+di0).,典例分析,题型一复数的概念【例1】已知复数z=(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?,分析复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.,解z=(-3m)+(-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i,(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;(5)由m(m-3)0,(m+2)(m-3)0,解得0m3,当m(0,3)时,z对应的点在第三象限.,学后反思利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要表现.,举一反三1.求适合等式（2x-1）+i=y+(y-3)i的x、y的值，其中xR，y是纯虚数.,解析：xR，y是纯虚数,可设x=a,y=bi(a,bR且b0)，代入等式得（2a-1）+i=bi+(bi-3)i,即2a-1+i=-b+(b-3)i,2a-1=-b,1=b-3,解得a=b=4,x=,y=4i.,题型二复数代数形式的运算【例2】计算,学后反思复数除法一般是将分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简.,分析熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和=2i,=i等运算结果，能使运算更加简捷.,解原式=,2.求7+24i的平方根.,解析：设平方根为x+yi(x,yR),则=7+24i,即+2xyi=7+24i,=7,2xy=24,解得x=4,y=3或x=-4,y=-3.故7+24i的平方根为