2012届高考数学第一轮复习――第四单元 导数及其应用

数学,理科,2012届高考数学第一轮复习,第四单元导数及其应用第一节导数的概述及运算,函数称为（x）的导数，导数有时也记作。4.基本初等函数的导数公式,分析利用导数的定义求导数的方法是求极限,解：,题型一利用导数定义求导数,例1用导数定义求y=x2在x=1处的导数值,学后反思利用导数的定义求在一点的导数的关键是对灵活变形，若求（x）在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点即可求得,举一反三1.已知，利用定义求。,题型二利用求导公式求导数例2求下列导公式的导数,分析直接利用导数公式及四则运算法则进行计算。解：,学后反思准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键。题型三导数的物理意义及物理上的应用例3一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在1，1+t这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1的瞬时速度。分析第（1）问可利用公式；第（2）问可利用第（1）问的结果求解。,举一反三2.求函数的导数.,解：,解（1）质点在这段时间内的平均速度为（2）方法一：利用定义法。质点在t=1时的瞬时速度方法二：利用求导法。质点在t时刻的瞬时速度当t=1时，v=-6。,学后反思上例引导学生理解瞬时速度是物体在t到t+t,这段时间内燃机的平均速度当t趋近于0时的极限，即s对t的导数。导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引人的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义。对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数；速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三,3.以初速度作竖直上抛运动的物体,在t秒时间的高度为,求物体在时刻时的瞬时速度.解析：物体在t0时刻瞬时速度为题型四导数的几何意义及几何上的应用例4已知曲线（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程。分析（1）在点P处的切线以点P为切点，关键是求出切线斜率（2）过点P的切线，点线P不一定是切点。需要设出切点坐标。解（1）在点P（2，4）处的切线的斜率曲线在点P（2，4）处的切线方程为即,设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点A，则切线的斜率切线方程为即点P（2，4）在切线上，即即解得或故所求的切线方程为或学后反思（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”。（2）解决“过某点的节线”问题，一般是设出切点坐标得出方程，然后把已知点代入切线方程求,进而再求切线方程。举一反三4.已知曲线C：直线，且直线与曲线C相切于点求直线的方程及切点坐标。解析直线过原点（0，0）及解得切点为把切点坐标代入得切线方程为即题型五复合函数的导数例5求下例函数的导数,分析先确定中间变量转化为常见的函数，再根据得合函数的求导法则求导，也可直接用复合函数求导，也可直接用复合函数求导法则运算。解学后反思求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是：（1）分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求,导），即：分解（复合关系）求导（导数相乘）。举一反三5.求下列函数的导数解析,3.已知曲线的一条切线的斜率为则切点的横坐标为（）A3B2C1D,答案：D,8.已知函数的图像都过P(2,0)且在点P处有相同的切线,求实数a,b,c的值.,解析：,10.（2008.宁夏）设函数曲线在点（2，f(2)处的切线方程为y=3,（1）求的解析式（2）证明:函数的图像是不个中心对称图形,并求其对称中心（3）证明:曲线上任一点的切经线与直线x=1和直线y=x所围的三角形的面积为定值,并求出此定值.,解析：,于是,解得,或,2)证明:已知函数都是奇函数,函数也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形.而,可知的图像是由的图象沿轴正方向向右平移1个单位,再沿轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(3)证明:在曲线上任取一点由,知过此点的切线方程为令得切线与直线交点为,令得,令得切线与直线交点为直线与交点为(1,1)从而所围的三角形的面积为所围的三角形的面积为定值2,第二节：导数的应用（I）,题型一利用导数求函数的单调区域,求,【例1】已知,的单调增区间。,分析通过解,求单调递增区间。,解,令,得,当,时，有,0在R上恒成立；当a0时，有,综上，当,时，,的单调増区间为,当,的单调增区间为,这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间。对可导函数，求单调区间的步骤如下:（1）求的定义域；（2）求出（3）令，求出全部驻点；（补充定义；若函数在点处的导数则称点为函数的驻点；（4）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内的符号，因而可确定的单调区间。,（4）驻点把定义域分成几个区间，列表考察在这几个区间内,的符号,，因而可确定,的单调区间。,举一反三,1.函数,的单调增区间是,和,和,和,和,（）,A,B,C,D,解析：,当,当,当,当,时，,时，,时，,时，,为增函数,为增函数,为减函数,为减函数,在,和,上为增函数,答案：A,在,题型二已知函数的单调性求参数范围,【例2】已知函数,若,在函数集,上单调递增，求实数a,的取值范围；,（1）,（2）是否存在实数a，使,在,上单调递减？若存在，求出a,R,的取值范围；若不存在，说明理由。,分析函数的增区间是,恒成立的区间，函数的减区间是,恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。,解（1）由已知,上是单调增函数，,在,上恒成立。,即,对,R上恒成立,只需,又,时，,在R上是增函数,在,(2)由,在,上恒成立,得,上恒成立.,只需,当,时,在,上恒有,即,在,上为减函数,故存在实数,使,在,上单调递减.,学后反思,关于不等式的恒成立问题,可以转化为求函数的最值问题来研,究,如,得,得,这种转化思想很重要,要注意掌握.,举一反三,2.已知,函数,在,上是减函数,则,的最在值为,(),A.1B.2C.3D.4,解析：,在,上是减函数，,在,恒成立，即,而函数,在,的最小值是3，,答案：C,题型三利用导数求函数的极值,【例3】求函数,的极值。,分析按照求极值人基本方法，首先从方程,求出在函数,定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否,取得极值,解易知,的定义域为R。,令,解得,或,当,变化时，,的变化情况为：,极大值-1,极小值-3,当,时，,有极小值-3；当,时，y有极大值-1.,学后反思求函数值的的一般步骤:(1)确定函数的定义区；,（2）求导数,(3)求方程,的全部实根;,(4)检查方程,的根左右两侧,的符号,如果左正右负,那么,在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么,在这个根处取得极小值.为判断方程,的根左右两侧,的符号,可用列表的方法:用方程,的根及无意义的点,顺次,将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.根据极值定义找到相应的极值.,举一反三3.已知函数(x)=x3-px2-px的图象与x轴切于(1,0)点，求(x)的极值.,例题四已知函数的极值求参数的值【例4】（12分）已知函数(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值，试计论(1)和(-1)是函数的极大值还是极小值.,分析：本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究灵敏性质的方法，首先借助极值点求出函数的解析式；再利用导数求出函数的极值.,学后反思注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用。,举一反三,2.函数y=6x2-x+5(),C.不存在极值D.以上都不对.,答案：B,9.已知函数(x)=x3-ax2-3x.若(x)在区间1，+上是增函数，求实数a的取值范围.,10.（2008.四川）已知x=0是函数(x)=aln(1+x)+x2-10 x的一人极值点。（1）求a的值；（2）求函数(x)的单调区间；（3）若直线y=b与y=(x)的图象有3个交点，求b的取值范围.,第三节导数的应用(),题型一求函数的最值【例1】已知函数(x)=x2ex,求函数在-1，1上的最值；,分析：通过示导，令(x)=0，找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相经较，来找到最值.,学后反思：求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到，其中最大者为最大值，最小者为最小值，对含有参数的问题，需注意分情况讨论。,举一反三1.（2008.广东）已知a为实数，函数(x)=(x2+1)(x+a).若(-1)=0，求函数y=(x)在上的最大值和最小值.,题型二：导数在实际问题中的应用【例2】用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？,分析：引进变量，建立目标函数，利用导数求最值。,解：设容器的高为xcm，容器的容积为V（x)cm3则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4320 x(x0,那么V(x)为增函数；当10x2时，(X)变化情况是：,当b2时(x)在(-,b-1)上递减，在(b-1，1)上递增，在（1，+）上递减。当b2时(x)在(-,1)上递减，在(1，b-1)上递增，在（b-1，+）上递减。当b=2时(x)=,所以(x)在(-,1)上递减，在(1，+)上递减。,题型四导数与不等式的证明,【例4】（12分）已知定义在正实数集上的函数,学后反思：采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式，是证明不等式的常用技巧，若证明(x)g(x),x(a,b),可以等价转化为证明(x)-g(x)0.如果(x)-g(x)0说明函数(x)-g(x)在区间(a,b)上是增函数；如果(a)-ga)0,由函数的定义可知，当x(a,b)时，(x)-g(x)0即(x)g(x）.利用导数知识解决不等式问题是近年来高考的一个热点，其实质就是种用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性求解不等式或证明不等式，这类试题在考查综合能力的同时充分体现导数的工具性和导数应用的灵活性.,举一反三,答案（0，3）,9.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S。（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积S的最大值。,解析（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系（如图），则点C的横坐标为x，设点C的纵坐标为y,点C的坐标满足方程,第四节定积分与微积分基本定理,在中，a,b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，(x)dx叫做被积式.,2.微积分基本定理,题型一求定积分【例1】求下列定积分：,分析：根据求原函数与求导函数互为逆运算，找到被积函数的原函数，种用微积分基本公式求解.,学后反思（1）求函数(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系.（2）求复杂函数的事实上积分要依据定积分的性质.有限个函数代数和的定积分，等于各个函数定积分的代数和，即,常数因子提到积分符号外边，即,当积分上限，下限交换时，积分值一定要反号，即,积分的可加性，若ca,b,则有,举一反三1.求下列定积分：,题型二求分段函数的定积分【例2】求定积分,分析：种用定积分的可加性，通过x的取值范围去掉绝对值符号，再求函数的定积分.,学后反思：如果被积函数是绝对值函数，可以利用定积分性质，根据函数的事实上义域，将分区间分成若干部分，代入相应解析式，分别求出积分值，相加即可，,举一反三2.求下列定积分：,题型三定积分的几何意义【例3】利用定积分的性质和定我表示下列曲线围成的平面区域的面积.,分析：先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿-莱布尼兹公式计算。,2.方法一：曲线所围成的平面区域如图2所示.,学后反思：用定积分计算机平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状，选择积分函数，再确定积上，下限，当计算公式中的f(x)或g(x)是分段函数时，面积要分块计算或积分变换积分变量，这样就不用分块计算机求和。,举一反三,解析：围成的图形如图所示.,题型四定积分的物理应用【例4】列车以速度为72km/h行驰，当制动时，列车获得加速度为a=-4m/s2,问：列车应在进站前多少秒的时候，以及离车站多远处开始制动？,分析：因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式之后，令v=0,求出t，再根据v和t应用定积分求出路程.,所以列车应在进站前的50s，以及离车站500m处开始制动。,学后反思：作匀变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的定积分来求解，因此要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即可，即物体作变速直线运动的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)0）在时间区间a,b上的定积分,举一反三4.设力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=1运动到x=10，已知F(x)=x2+