2012高三数学一轮复习 62 平面向量基本定理及坐标

6-2平面向量的基本定理及其坐标表示,友好三中数学备课组,学习目标,1、知识与技能了解向量的夹角与垂直的概念，会把向量正交分解，理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握向量的四种坐标运算。2、过程与方法理解平面向量基本定理，能够在具体问题中适当地选取基底，表示二维平面内的任意一个向量。体会一维向量用数乘运算，二维向量用数乘和运算的思想。3、情感、态度与价值观通过向量的学习与应用，体会数学数形结合思想。,重点与难点,1、重点：平面向量基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示。2、难点：平面向量基本定理的应用。,1.两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a和b，作OA=a,OB=b，则AOB=叫做向量a与b的夹角(如图).,非零,知识衔接,(2)范围向量夹角的范围是,a与b同向时,夹角=;a与b反向时,夹角=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于平,0180,0,180,90,ab,不平行,面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=.其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示,1e1+2e2,基底,互相垂直,在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj.把有序数对叫做向量a的坐标,记作a=,其中叫做a在x轴上的坐标,叫做a在y轴上的坐标.设OA=xi+yj,则就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).,(x,y),(x,y),(x,y),向量OA的坐标(x,y),x,y,3平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x1，y1),(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a=.,x1y2-x2y1=0,终点,始点,b,答案：A,答案：(2,4)(3,9)(5,5),如右图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.,【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值.,考点一平面向量基本定理的应用,【解析】设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M和B,P,N分别共线,存在实数,使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2,故BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2=3+=3,=.故AP=AM,即AP:PM=4:1.,由基本定理，得,解得,【评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）应注意平面几何中，平行线截线段成比例在此类问题中的应用.（3）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.,变式训练1,设OA,OB不共线，P点在AB上,求证:OP=OA+OB且+=1(,R).,证明:P点在AB上，AP与AB共线.AP=tAB(tR).OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB.令=1-t，=t，则有OP=OA+OB,+=1(,R).,已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.,【分析】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解.,考点二平面向量的坐标运算,【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5m=-1-3m+8n=-5,n=-1.,解得,【评析】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.,(3)CM=OM-OC=3c,OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).M(0,20).又CN=ON-OC=-2b,ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2).MN=(9,-18).,变式训练2已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，求实数x的值解：因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10 x5，解得x2.,考点三平面向量解决共线问题,达标训练如右图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标,向量的工具性在解析几何中可以得到充分地体现，因此，近年的高考中常有解析几何与平面向量交汇的题目向量的坐标运算在解析几何中的应用主要体现在：用向量给出的条件可以转化为向量的坐标的关系，而向量的坐标与曲线上点的坐标往往具有内在的联系，将这种内在的联系挖掘出来，也就找到了解题的思路解析几何中的平行，求轨迹方程，求最值等问题都可以很容易地与平面向量结合起来，而向量的坐标运算也可以使这些问题的求解过程变得简单易行.,在平面向量基本定理