行列式的计算方法

学期报告行列式的计算方法名字：王海洋学校编号：902091134教员：统计和数学学院专业：数学和应用数学教员：张志远日期：2012年5月12日目录1.定义2.三角测量3.数学归纳4.范德蒙行列式5.磨边方法6.降阶方法7.递归方法8.阶乘方法9.利用方阵的特征值10.对称方法行列式是研究线性代数的重要工具。行列式用于线性方程、矩阵和二次型。行列式常用于数学的其他分支。因此，行列式的计算尤为重要。然而，行列式的计算是灵活的，需要很强的技巧。主要有以下算法：定义方法根据行列式的定义，我们可以通过定义直接计算行列式，其中是逆序数。例1证明了。分析和观察行列式，我们会发现许多零，所以我们直接使用定义法。证明了排除符号差的行列式的通项可以表示为然后。(1)其中，中最后三行和最后三列中的元素为零，而在前两行和前两列中，只取不同行和不同列中的四个元素，也就是说，公式(1)中最后三行和最后三列中的至少一个元素。So=0。请注意，这种方法适用于低阶行列式或多零点行列式。三角形法三角剖分是一种通过将原始行列式转换成上(下)三角形或对角行列式来计算行列式的方法，也是计算行列式的最基本的计算方法之一，因为我们可以通过定义行列式来直接计算上(下)三角形或对角行列式。一般来说，任何行列式都可以转化为三角行列式，但是有些行列式很难简化，所以有些初等变换应该先利用这些性质，然后再进行简化。例2计算行列式。用简化三角形的方法直接简化分析是非常烦人的。观察显示，对于位于同一行中的两个相邻列中的任何元素，下面的元素与前面的元素相差1。因此，很容易从第一列到第一列乘以-1，从第一列到第一列乘以-1，直到第一列乘以-1，然后计算。解决办法。问题扩展在例2中，这个数可以看作是有限个算术级数循环，因此它也应该适用于一般的算术级数。计算行列式。如果用例2中的数字代替，结论显然是正确的。3数学归纳法数学归纳法有两种：不完全归纳法和完全归纳法。通常用不完全归纳法来寻找行列式的猜想，然后用数学归纳法来证明猜想的正确性。基本方法1)首先计算行列式的值。2)观察值，推定值。3)用数学归纳法证明。例3计算行列式。解决方案：因为猜猜看。当时，这个公式已经明确建立。当，类型显然成立，然后当时，公式也被建立，从而获得证据。那是。请注意，一般来说，很难猜测给定行列式的一个行列式，所以一般来说，首先给出它的值，然后证明它。范德蒙行列式范德蒙行列式因此，一个给定的行列式可以转换成范德蒙德的行，然后直接计算。例4计算阶的行列式。该解通过添加边的方法将行列式转化为范德蒙行列式5边缘方法通过利用行列式由行(列)展开的性质，通过添加行(列)然后计算，顺序行列式被改变为相同的顺序行列式。增加行列式的四种方法是：(1)第一行，第一列。(2)第一行和最后一列。(3)最后一行，第一列。(4)最后一行，最后一列。示例5计算。解决办法将第一行的乘积与其余行相加，得到将第二列和第一列分别添加到第一列，以获得。边缘法是在原行列式的基础上增加适当的行(列)，形成一个新的行列式，并以此行列式作为过渡，达到计算原行列式的目的。6阶缩减法的行列式根据行(列)展开将高阶变换成几个低阶行列式的计算方法称为降阶法。这是计算行列式的常用方法。示例6计算。解决方案。应当注意，如果通过降低阶直接计算阶的普通行列式，则计算量将大大增加。因此，行列式的一行(列)必须通过使用行列式的属性转换成仅一个非零元素，然后根据该行(列)展开，依此类推，直到二阶。递归方法递归方法是基于行列式的结构，利用阶行列式的性质，用同形式的阶行列式来表示给定的行列式，然后用同形式的阶行列式来表示阶行列式。这样做，直到它被表达为相同的形式，这可以很容易地计算，从而达到计算的目的。示例7证明了这一点这个行列式的特点是除了主对角线及其上下对角线之外的所有元素都为零。这种行列式称为“三线”行列式，从行列式的左上角到右下角有相同的结构。因此，可以用递归方法证明。证明了如果行列式根据第一行展开，那么所以有一个递归关系或者类似于。由于因此。如果时间如果时间通过计算递归，我们得到=所以。如果，从得到因此。8阶乘方法基本方法：如果行列式中的一些元素是变量的多项式，则行列式被视为多项式，然后对行列式进行一些变换以找到互质的主要因子，使得这些因子的乘积只相差一个常数因子。根据多项式等式的定义，比较行列式某一项的系数，得到该值。例8计算行列式据分析，这是一个约为4次的多项式，可分解为复数范围内4个1次因子的乘积。解决订单由于当时行列式的性质，它大约是四次多项式，所以有四个一次因子。所以。比较系数，得到。当找到一个因素时，应该注意第一个观察。如果行列式与一个子多项式相关，则寻找一个因子(多重因子由多重因子的个数计算得出)，而不是寻找一个与行列式的阶数相对应的因子。9使用矩阵特征值在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式非常重要。从矩阵的特征多项式出发，根据根与系数的关系，我们可以知道矩阵的所有特征值的乘积就是相应的行列式的值。因此，我们可以用这种方法来计算行列式。例9计算下列行列式的值。解决办法因为行列式的特征值是，行列式的特征值是。所以特征值是。从行列式的特征值和行列式的关系出发。10对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法。例10计算阶的行列式。溶液在第1行展开，得到也就是说，从这个递归，可以得到因为在对称中，有当，从上述类型的两边消去，得到当.的时候.与例7相比，我们可以看到计算同一个行列式的方法有很多。因此，在选择方法时应遵循简单的原则，这样不仅可以减少计算量，而且可以保证答案的正确性。摘要上面，我们介绍了10种计算