2014届高三数学一轮复习专讲：函数与方程

1函数的零点(1)函数零点的定义：函数yf(x)的图像与称为这个函数的零点,横轴的交点的横坐标,(2)几个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点,(3)利用函数性质判定函数零点：若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号，即，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解2二分法每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个的方法称为二分法,相反,f(a)f(b)0，f(3)330，结合各选项知，C项正确答案：C,3若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是(),解析：,答案：C,答案：(2,3),5已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)x2xa在(0,1)上有零点f(0)f(1)0.即a(a2)0，解得2a0.答案：(2,0),1.函数的零点不是点：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标,2对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在a，b上连续；(2)f(a)f(b)0.函数f(x)在R上单调递增f(1)e1(1)45e10，f(1)f(2)0，故零点x0(1,2)答案C,利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点,A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4),答案：B,判断函数零点个数,A0B1C2D3,A4B3C2D1,答案(1)B(2)A,判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，函数f(x)在(0，)上是增函数故f(x)minf(0)1a.若函数f(x)有零点，则f(x)min0，即1a0，得a1.答案(，1,函数零点的应用,若函数变为f(x)lnx2xa，其他条件不变，求a的取值范围,已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解,3已知函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)是偶函数，当x0,1时，f(x)x，若在区间1,3上函数g(x)f(x)kxk有4个零点，则实数k的取值范围是_,函数零点问题主要有四类：一是判断函数零点或方程根的个数；二是利用函数零点确定函数解析式；三是确定函数零点或方程根的取值范围；四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围解决这些问题主要用数形结合法,1函数零点个数的判断函数零点的个数即为方程f(x)0根的个数，可转化为函数f(x)的图象与x轴交点的个数进行判断，也可转化为两个函数图象的交点个数(如例2(1)2利用函数零点求解函数解析式由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式，求解时要结合函数的图象,解析由图象可知，函数图象与x轴交于三点，(1,0)，(0,0)，(2,0)，故该函数有三个零点1,0,2.由f(0)0，得d0，故函数解析式可化为f(x)x3bx2cxx(x2bxc)，显然1,2为方程x2bxc0的两根,答案D,3零点取值范围的确定函数零点的取值范围，即为方程f(x)0的根的取值范围，主要利用零点存在性定理解决，可结合函数的图象和性质，根据图象上的一些特殊点灵活处理(如本节例1)4由零点个数确定参数的取值范围根据函数零点的个数确定函数解析式中参数的取值范围，主要利用数形结合的方法，根据函数的极值与区间的端点值构造参数所满足的不等式，通过解不等式求解其取值范围,典例2已知函数f(x)x33x29x3，若函数g(x)f(x)m在x2,5上有3个零点，则m的取值范围为()A(24,8)B(24,1C1,8D1,8),答案D,题后悟道解决此类问题主要依据函数图象的特征，利用区间端点处的函数值、函数的极值等构造关于参数的不等式注意函数在区间的端点值对参数取值范围的影响如该题中f(2)与f(5)这两个端点值决定着方程g(x)f(x)m在x2,5上的零点个数，若m8或248或m24时，则该方程没有实根总之，解决函数零点的有关问题主要利用数形结合的数学思想，利用导数研究函数的有关性质，主要包括函数的单调性与极值以及函数在区间端点处的函数值，然后画出函数图象，结合函数图象的特征判断、求解,1(2012湖北高考)函数f(x)xcosx2在区间0,4上的零点个数为()A4B5C6D7,教师备选题（给有能力的学生加餐）,解题训练要高效见“课时跟踪检测（十二）”,答案：C,2对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间Ma，bD(ax，故函数f(x)2x不存在等值区间；由于x3x有三个不相等的实根x11，x20，x31，故函数f