计算方法 习题第一、二章答案

第一章误差1问3.142、3.141，分别有多少有效数字作为的近似值？分析可以利用有效的数字概念直接得到。解=3.141 592 65x1=3.142，x2=3.141，x3=从- x1=3.141 59-3.142=-0.000 40得知x1具有4位的有效数字。由- x2=3.141 59-3.141=-0.000 59得知x2具有三位数的有效数字。从-=3.141 59 -3.142 85=-0.001 26得知x3具有三位数的有效数字。众所周知，2近似数x*有2位的有效数字，求其相对误差限制。分析本问题应利用明显有效的数字与相对误差的关系。求解有效数字与相对误差的关系。 其中n=2，a1是从1到9的数字。3近似数的相对误差为0.3%，你知道x*至少有多少有效数字？分析本问题利用有效数字与相对误差的关系。解a1是从1到9的数字。x*中有n位的有效数字，如果-n 1=-1，则n=2，x*中至少有2位的有效数字。计算sin1.2，要保证相对误差在0.01%以下，必须取几位有效数字。分析本问题必须利用有效数字和相对误差的关系。解取n位的有效数字，sin1.2=0.93，因此设a1=9。求解不等式可以取n=4来满足要求。5计算将已知数视为正确的值，用4位浮点计算。解0.131 810-2-0.131 610-2=0.210-5结果只有一个有效数字，有效数字大量损失，引起相对误差扩大，通分后计算得到四位数的有效数字。应注意，在此实例中，特别是当减去数值计算中的近似整数时，有效数字可能显着丢失。 遇到这种情况时，一般采取两种方法：第一，应该保留几个有效的数字，第二，将计算公式变形为一定形式进行计算。 例如，当x接近0并且计算时，必须首先把公式变形为重新计算。 此外，例如，如果x足够大，则必须进行转换6计算，取，用下式计算(1)(2)(3)(4)询问哪个取得了最好的结果清晰可见因此，(1)(2)222222222卡2卡2卡2卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6卡可以进行具体的计算(1)(2)(3)(4)比较第(4)式得到的结果与a相近。7求出二次方程式x2-(109 1)x 109=0根.因为解x2-(109 1)x 109=(x-109)(x-1 )，方程的两个根分别为x1=109，x2=1但是，应用一般二次方程式ax2 bx c=0的求根式时在有时为b24|ac|的情况下，由于上述式求出的两个根通常为减去两个近似数据而非常不可靠，因此，例如若使用能够表现为小数点以下8位的计算机来计算归一化后的数据，则-b=109=0.110100.00000011010，第2项的最后2通过类似的分析得出所以求得的两个根各自很明显，根x2严重变形。要求可靠的结果，利用根与系数的关系式：在计算机上采用下式其中，sgn(b )是b的编码函数，在b0时sgn(b)=1； 在b0的情况下，sgn(b)=-1。 显然，上述求根式避免了近似数减法的可能性。8n足够大时，如何计算分析函数的原函数当然考虑使用Newton-Leibniz公式求出该定积分的值。 因为n很大，所以会产生两个近似数的减法，为了避免这种情况，需要采用几个变换式。若用定积分的Newton-Leibniz式计算，则在n足够大的情况下，arctan(N 1)与arctanN非常接近，两者的减法会大大地损害有效数字，因此在数值计算中尽可能避免影响计算结果的精度，但是转换计算式例如tan1=N 1、tan2=N避免了两个近似数的减法导致的有效数字损失，并获得更准确的结果。 因此，在n足够大的情况下，优选使用计算积分的值。九计算积分在分析数值计算时，必须采用数值稳定的算法，因此在编制算法时，必须首先考虑稳定性。运用分部积分法递归表达式：(1)使用式(1)计算In时，初始值I0存在误差，因此在求出I0的近似值时，可以认为存在大小的误差由递归公式(1)得出很明显，初始数据的误差按n！ 的倍数增加是误差的快速传播，如果n=10，则为10！ 3.629106，这表示在I10时初始误差扩大了几倍，使误差淹没了I10的真值，计算结果完全失真。但是，将递归式(1)设为于是，从后面向前计算时，因为In的误差减少到原来的，所以如果增大n，误差就会变小，计算的结果就变得确实了。 因而，在构建或选择算法时必须考虑其数值稳定性问题而不能使用数值不稳定的算法。10为了计算的乘法除法运算次数尽可能少，应该把公式改写成什么样的形式呢？取消设定请注意，数值计算简化了运算步骤，减少了运算次数，尽可能减少了计算量。如果x*=3587.64是具有x的6位有效数字的近似值，则求出x的绝对误差限制。检查仪表时，要取多少有效数字，使12个近似值的相对误差小于0.1？使用134位的数学用表求出x=1-cos2的近似值，使用下式进行计算(1)1-cos2(2)2sin21哪个结果好？求出14式x2-56x 1=0的两个根，至少具有4位的有效数字(已知)。十五数列满足递归公式(3位有效数字)根据上述递归公式，从x0到x10计算时的误差是多少？这个计算过程稳定吗？16近似值的相对误差限制较小时，证明该数具有n位有效数字。第二章插值法与数值微分众所周知，用1插值法尝试近似计算。分析是问题中已知条件的本问题，可以利用三点二次Lagrange插值、三点二次Newton插值，得到相同的结果。求解三点二次Lagrange插值。的二阶Lagrange插值多项式因为所以呢YY2已知函数表xi012yi格式8-7.5-18求出函数 0，2 间零点的近似值。一般而言，分析通过 0，2 中的插值函数求出的零点，将该零点设为近似零点。 尤其应该注意，逆函数的存在导致求出的零点问题成为求出函数值的问题，通过用插值方法构筑的插值函数求出的零点的近似值被称为逆插值问题，在利用逆插值的情况下，逆插值条件即函数需要逆函数，即需要单调性。 本问题是严格的单调递减排列，可以利用逆插值法。解把原函数表变成逆函数表yi格式8-7.5-18xi012利用三点二次Lagrange插值，由上述逆函数构造的逆函数的二次Lagrange插值多项式。的二阶Lagrange插值多项式函数的近似零点尝试Lagrange插值馀数定理，编写以-1、0、1、2为插值节点的三次插值多项式。解为- 1，0。 三阶Lagrange插值多项式(其中1、2是插值节点)具有要在Lagrange中插值的馀数定理所以呢作为4节点的Largange插值基函数，尝试实验(1)(2)(3)(4)分析该问题应针对Lagrange插值基函数的性质问题，观察待证明的结论，考虑常数1和插值得到，由插值馀项为0得出结论。证书(1)表示插值节点的n阶Lagrange插值多项式由插值馀数定理可知因此即，即(2)设插补节的n次Lagrange插补多项式由插值馀数定理可知因此即，即假设(2)，插值节点的n阶Lagrange插值多项式为内插馀项定理因此即，即(3)按二项式展开，得到如果代入左端利用(2)的结论，(4)当时，由(2)的结论可知当时有命令插值节点的n阶Lagrange插值多项式由插值馀数定理可知因此即，即有命令5设置，然后寻求证据分析本章内容的是代数插值，但问题是线性插值中线性插值函数只有0，误差是。 从而，可以利用馀数估计公式建立直接关系。证书以a、b为插值节点进行线性插值，其线性插值多项式为线性插值馀项为因此因为在哪里取最大值6证明：根据以下插值条件00.511.522.5-1-0.7501.2535.25确定的Lagrange插值多项式是二次多项式，此示例显示了什么问题分析该问题可通过对Lagrange插值问题从已知数据表构建Lagrange插值多项式得出结论。解除命令对于插值节点的二次插值多项式易于验证，符合插值条件(1)的Lagrange插值多项式为。从插值多项式存在的唯一定理可知，满足条件(1)的5次插值多项式存在且唯一，但该5次多项式不一定是真的5次多项式，而是次数5的多项式。7关于任意实数和任意正整数、多项式他是次多项式，很满足。 这个问题解释了什么问题？解决该问题，在两个插值条件下构建大一次的插值多项式，答案不是唯一的，同样，在n 1插值条件下构建大于n次的插值多项式，答案也不是唯一的。使用sin30=0.5、sin45=0.7071、sin60=0.8660进行Lagrange的二次插值，求出sin40的近似值，最后根据插值馀数定理推定该误差。分析本问题显然是利用Lagrange插补馀数定理取消设定令其内插馀项为因此YY9相对应的函数值作为3维Newton插值多项式被熟知，这是在进一步增大时的函数值6，作为4维Newton插值多项式。分析本问题是一个常规的计