工业机器人第三章欧拉角DH参数.ppt

3.5机器人常用坐标系和变换方程，3.6RPY角和欧拉角(1)RPY角rpy角是描述船舶在海中航行时姿态的一种方法。 如果将船的行进方向设为z轴，则将绕z轴的旋转(角)称为滚动，将绕y轴的旋转(角)称为间距，将垂直方向设为x轴，将绕x轴的旋转(角)称为偏航，如右图1-9所示。 因为操作臂的手势的规定方法相似(图1-10 )，所以有被称为RPY方法的习惯。 描述1-9滚转、俯仰、偏航、1-10机械手的滚转、俯仰、偏航这样的活动坐标系的方位的法则使活动坐标系的初始方位与固定坐标系一致，首先使活动坐标系绕固定坐标系的x轴旋转角，绕固定坐标系的y轴旋转角，最后绕固定坐标系的z轴旋转角。 由于三个旋转体相对于固定坐标系，因此通过围绕对应的旋转矩阵：1-11RPY角，这里：或固定坐标系的三个轴顺序地旋转而获得的旋转矩阵被称为RPY方法，其绕固定轴X-Y-Z旋转。 (11 )现在，反问题：根据给定的旋转矩阵求出等价的围绕固定轴X-Y-Z的旋转角，。令：式中有3个未知数，共有9个方程式，其中6个方程式不独立，故可利用其中3个方程式求解未知数。 (12 )、 (11 )、(12 )可知，如果cos0，则得到各角的反正切方式：其中，Atan(y，x )为二变量反正切函数。 式(13 )的根式一般有两个解，我们总是取-900900的一个解。(13 )、(2)欧拉角的1 .围绕运动系统的X-Y-Z旋转的欧拉角这种坐标系运动的记述，运动坐标系的初始方位与参考系统相同，首先使运动系统围绕z轴旋转角，接着围绕运动系统的y轴旋转角，最后围绕运动系统的x轴旋转角。 此描述法的每个旋转都是相对于具有运动坐标系的轴而非固定参照系进行的。 这样的三次旋转角称为欧拉角。 因此，Euler变换矩阵、1-12绕Z-Y-X旋转的Euler角度、Euler变换矩阵：其中：将该矩阵相乘：的结果与绕固定轴X-Y-Z旋转的结果完全相同。 这是因为如果围绕固定轴旋转的顺序与围绕运动轴旋转的顺序相反，并且旋转角度相同，则所获得的变换矩阵也相同。 因此，用Z-Y-X欧拉角和固定轴X-Y-Z角描述运动坐标系是完全等价的。 围绕Z-Y-Z旋转Euler角这样的坐标系运动的记述最初是坐标系与参照坐标系重叠。 首先使运动系统绕z轴旋转角，然后绕运动系统的y轴旋转角，最后绕运动系统的z轴旋转角。 关于绕Z-Y-Z旋转的Euler角，类似地，用于获得z-y-z Euler角的解的方法包括：如果、sin0则为：其中，1)Zi坐标轴是沿着i 1关节的运动轴。 (2)Xi轴沿着Zi和zi-1的垂线，指的是远离zi-1轴的方向。 (3)Yi轴的方向用构成XiYiZi的右手直角坐标系作成。 (4)共同垂线的长度ai是Zi-1和Zi的2轴间的最小距离，一级称ai为链路长度。 (5)将两垂线ai-1与ai间距离称为链接距离di。 (6)Xi-1轴与Xi间的角度为i，以Zi-1轴为中心，右旋为正，一般称为链接的角度。 (7)Zi-1轴与Zi之间的角度以i、Xi轴为中心右旋称为正，i称为螺旋角。 另外，转动连杆参数、3.7机器人连杆参数及其d-h坐标变换，如果两杆为移动子连杆，则连杆部件坐标系的确立和参数的规定如图2-2所示。 图中的各个附图标记所指示的含义与图2-1中的相同。 对于移动副，链路长度ai没有意义，因此被设置为零，并且所形成的构件坐标系在图22中示出。 然后，当链路参数被移动时，四个参数ai、di、i和i完全确定了链路i-1与链路I之间的相对关系，并且ai、i是常数，并且由链路I的形状来确定，如图2-1和2-2所示。 关于旋转关节，di是常数，i是变量移动关节i是常数，di是变量。根据以上模式，我们可以对所有链路赋予坐标系，建立i-1和I坐标系之间的变换关系。 注意，虽然Zi轴穿过关节i 1的轴线，但是坐标系XiYiZi被固定至链接I，并且与链接I的运动一起运动。 1 .旋转连杆坐标系及其D-H坐标变换、2 .移动连杆坐标系及其连杆的D-H坐标变换、第三节机器人机构的运动学方程式的例子基于上节所述的方法，首先生成机器人的各部件的部件坐标系，得到排列变换矩阵Ti。 t矩阵只能描述链接坐标系之间的相对平移和旋转的一次线性变换。 T1表示第一个连结相对于座标系统(例如主体)的姿势，T2表示第二个连结相对于第一个连结座标系统的姿势。 有六连杆机器人时，机器人手的前端(连杆坐标系6 )相对于固定坐标系的变换，在、机器人的最后的组件(手)中有用于定位的3自由度和用于决定方向的3自由度。 在图2-3那样的机器人手中，能够将记述其位置和方向的坐标系的原点设定为两根手指的中点，用向量p记述该原点。 用3个向量n、o、a记述机器人的姿势。 用、图2-3的手抓住坐标系，手处于初始位置和姿势时，向量z指的是手接近物体的方向。 将其单位向量a称为接近向量。 将向量y的单位向量o称为方位向量。 最后的单位向量称为正交向量n。 上述向量构成右手的向量积，它们由向量的向量积表示： n=oxa，变换器T60由：这样的矩阵表示，能够由上述的2式构成机器人的姿势方程式。 坐标变换图如图2-4所示。 图2-4机器人手的坐标变换图，以下表示求解两个机器人手的运动方程式的示例例1PUMA560六自由度机器人由旋转坐标臂(RRR )和Euler臂构成，其结构图参照图2-5。 关节变量为1、2、6，已知PUMA560的6自由度机器人1=900、2=00、3=900、4=00、5=00、6=00、a2=431.8mm、d2=149.09mm、d4=433.07mm、d6=56.25mm。 求出Ti(i=l、2、3、4、5、6 )和T60式和i取一定值时的最终杆的姿势. 图2-5表示用d-h坐标系作成图2-5PUMA-560机器人坐标系、解(1)机器人的各杆的坐标系的各杆的坐标系。 将o0z0设置在关节1的旋转轴上，o0和o1重叠的o1z1o2z2分别沿着关节2、3的旋转轴o1z1/o2z2。 z3与z2轴交点为o3； o2和o3重叠，d3=0，o3x3y3z3不位于机械臂的末端。 o3z3是手臂的第一个旋转轴。 z4和z3的交点为o4，设置在臀部末端，是臂结构的中心，o4z4是臂的第二旋转轴，z5和z4的交点为o5。 o4和o5重叠，o5z5是手臂的第三个旋转轴。 o6x6y6z6是考虑了工具长度d6的终端坐标系。 将y6、x6、z6单位矢量分别记为n、o、a . (2)确定链路的D-H参数和关节变量，(3)根据表2-1所示的D-H参数和式(1)，Ai，(4)式表示末端杆位置姿势矩阵， 式中，将1=900 2=00、3=900、4=005=006=00、关系常数代入T6矩阵时，例2斯坦福机器人的构造图如图2-6那样由球面坐标臂(RRP )和欧拉臂构成。 求出AI(I=1、2、3、4、5、6 )和T6的式子。解(1)用d-h坐标系制作机器人各杆的坐标系的各杆的坐标系如图2-6所示。 图中z0轴沿关节1的轴，zi轴沿关节(i 1)的轴，所有的xi轴与床坐标系x0轴平行，y轴由右手坐标系决定。 原点o0和o1重合，o3、o4、o5、o6重合。(2)连杆的D-H参数和关节变量连杆的D-H参数为表2-2、表2-2的斯坦福机器人的D-H参数、(3)求出两杆之间的位置姿势矩阵Ai，可根据表2-2所示的D-H参数和式(1)求出Ai。 其中，(4)求出机器人的运动学方程式，其中：介绍了在第四节机器人位移分析的逆问题前建立机器人的运动学方程式的方法。 具有n自由度的操作臂的运动学方程式表示、方程式的左边相对于参照坐标系的末端连杆的姿势。 基于机器人的各关节变量qi (I=1，2，2，n )的值，可计算机器人末端的姿势方程式，计算对应的关节变量的过程，使得机器人所掌握的工具相对于参考系统的姿势满足预定要求从工程应用的角度来看，运动学逆解往往是机器人运动规划和轨迹控制的基础。 前向运动学的解是唯一确定的，即给出各关节变量后，手尾末端的手爪和工具的姿势是唯一确定的，但运动学的逆解往往具有多重解，也有可能不存在解。 另外，对于运动学的逆解，仅用某种方法解是不够的，对各种计算方法的计算效率、计算精度有很多要求。 以PUMA机器人为例研究机器人的运动学逆解。 另外，例3在求例1中的PUMA560机器人的运动学逆解、解PUMA机器人的运动学方程式(6)在矩阵方程式(7)中，左边的矩阵元素nx、pz是已知的，右边的六个矩阵是未知的，它们依赖于关节变量1、6。.(7)、(1)为了求1、3，使用逆矩阵左乘矩阵式(7)3:有3360，可以由式(5)求出。 若使上式两侧的(2，4 )元素相等，则可：指令： (8)、 (9)、将式(9)代入式(8)时，为：故在1 :式中，正和负分别对应于1的两个可能解。 我们使矩阵两侧的(1，4 )要素、(3，4 )要素分别相等，得到以下的公式：.(10 )，从公式(10 )和公式(8)的平方和中，公式中：.(11 )，在公式(11 )中1被删除，由于公式(11 )和公式(8)的形状相同，所以用三角置换得到3，(2) 上式的二边矩阵的(1，4 )和(2)， 由于表达式(14 )、 (12 )、 (13 )和表达式(14 )使得表达式(4)的元素各自相等，且表达式(14 )、 (13 )、c23和s23的分母均为正数，因此表达式(15 )根据、.(15 )、3和1解的四个可能组合从中可以算出23的4个值的话，可以得到2的4个可能解：行列式(12 )的左边是已知的，因此，如果使公式两侧的(1，3 )要素和(3，3 )要素分别相等的话，如果，s50，则可以求出4 :(54之后，将左公式继续进行左乘法运算：公式由于1234全部解开，有下式. (16 )、 (17 )式(17 )两侧的(1，3 )要素和(3，3 )要素相等，可以如下求解：(4)6继续用上述方法求出6，方程式两侧的(3，1 )要素和(1， 请注意，等于1 )得到方程式可得到6，PUMA-560机器人的运动学逆解可能存在4个解。 这是因为求13时出现符号，有可能得到4个解。 下图显示了这四种解的对应形式。第5节机器人的微分运动和微分变换，在机器人的操作和控制中，由于各种原因，在机器人的末端操作器的姿势和对象物之间产生位置姿势误差。 为了补偿这个姿势误差，末端操作器需要微小的运动。 另外，在机器人操作时，会遇到两个不同坐标系之间的微小位移关系的问题，例如在使用照相机的情况下，照相机安装在某个杆上，照相机所拍摄的微小位移用固定在照相机上的坐标系来记述。要求补偿的末端操作器的微位移用基础坐标系描述，末端操作器的微位移用关节空间各关节的微运动来实现，不同坐标系之间的微位移关系存在问题。 另一方面，假定变换的微分是变换的某个元素，并且该变换的微分是变换矩阵的各元素将该变量的微分乘以构成该变量的偏微分的变换矩阵。 当所给出的变换t是变量x的函数时，变换t的导数意味着无穷小的运动，即，无穷小的运动和无穷小的旋转：以及2个微小的运动微小的运动。 它可以是给定的当前坐标系矩阵t，也可以是基础坐标系。 已知坐标系矩阵t在微分运动后为dt。 当对基本坐标系应用左乘法时，dtt可以表示为在、式中用基本坐标系描述的微小移动量dx、dy、dz的移动变换。 是绕基础坐标系记述的k轴的微小旋转d的旋转运动变换。 其中I为4X4的单位矩阵，且表示微分平移与微分旋转的变换； 微分运动的线性变换矩阵是：微分旋转的线性变换矩阵是：围绕k轴旋转d等价于分别围绕三个轴x，y，z轴旋转x，y，z。 设kxd=x、kyd=y、kzd=z，若代入上式，则假定存在、-1、例坐标系a，对于基础坐标系的微分平移，微分旋转求出与d和对应的a的微分变换。 由于首先构成微分平移和旋转变换，3，2直角坐标系间的微分移动的关系微分变换前，基准坐标系和现在的t坐标系中记述的微分运动分别是和，不同坐标系的微分运动和的关系是：所以该变换方程式是前面的变换方程式从图中也可以直接得到上式。 方程2非常重要，因为它们与不同坐标系之间的微分变化相关联。 我们首先展开方程右端的矩阵乘积，在展开过程中简化，得到微分变化矢量d与的要素之间的直接关系。 变换t称为微分坐标变换。 用向量n，o，a，p记述，-2，微分坐标的变化t的要素的话，式中，d和是微分旋转和微分并进。 上式的左乘法，因为，n，o，a正交，所以用-3，-4，式1定义：式3和式4相等，利用对于基础坐标系记述的微分旋转和平移的矢量(和d )，得到对于坐标系t记述的微分旋转和平移的矢量，-6，