2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何（修改）

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编年全国高考理科数学试题分类汇编 7：立体几何：立体几何 一、选择题 1. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放 在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积 为 （ ） ABCD 3 500 3 cm 3 866 3 cm 3 1372 3 cm 3 2048 3 cm 【答案】A 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）设是两条不同的直线, ,m n 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） , A若,则B若,则 m n mn / m n /mn C若,则D若,则 mnm n m/mn /n 【答案】D 3. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比为1:4 （ ） ABCD1:21:41:81:16 【答案】C 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知正四棱柱 中,则与平面所成角的正弦值等于（ ） 1111 ABCDABC D 1 2AAABCD 1 BDC ABCD 2 3 3 3 2 3 1 3 【答案】A 5. （2013 年高考新课标 1（理） ）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ） ABCD1688816 168 16 【答案】A 6. （2013 年高考湖北卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其 体积分别记为,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 1 V 2 V 3 V 4 V （ ） ABC 1243 VVVV 1324 VVVV D 2134 VVVV 2314 VVVV 【答案】C 7. （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的 正视图的面积不可能等于（ ） A BCD 12 2-1 2 2+1 2 【答案】C 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的体积是 （ ） 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第第 5 5 题图题图 ABCD 4 14 3 16 36 【答案】B 9. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）已知nm,为异面直线, m平面,n平面.直线l满足,则（ ）,lm ln ll A/,且/lB,且l C与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l 【答案】D 10. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱 与底面垂直,体积为 9 4,底面是边长为 3 的正三角形.若P为底面 111 ABC 的中心,则PA与平面 ABC所成角的大小为 （ ） A 5 12 B3 C4 D6 【答案】B 11. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）某几何体的三视图如题 5图所 示,则该几何体的体积为（ ） A 560 3 B 580 3 C200D240 【答案】C 12. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）已知三棱柱的 6 111 ABCABC 个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为 （ ）O34ABAC，ABAC 1 12AA O ABCD 3 17 2 2 10 13 2 3 10 【答案】C 13. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正AB CDA 方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为,那么,m nmn （ ） A8B9C10D11 【答案】A 14. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）一个四面体的顶点在 空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx平面为投影面,则得到正视图可以为 （ ） ABCD 【答案】A 15. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在下列命题中,不是公理的是 （ ） A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 16. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在空间中,过点作平面的A 垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,B)(AfB ,P ,恒有,则（ ）)(),( 21 PffQPffQ 21 PQPQ A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为 0 45 C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为 0 60 【答案】A 17. （2013 年高考四川卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 【答案】D 二、填空题 18. （2013 年高考上海卷（理） ）在平面上,将两个半圆弧和xOy 22 (1)1(1)xyx 、两条直线 和围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 22 (3)1(3)xyx1y 1y y 轴旋转一周而成的几何体为,过作的水平截面,所得截面面积为,试(0, )(| 1)yy 2 418y 利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为_ 【答案】. 2 216 19. （2013 年高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_. 3 11 2 1 【答案】 3 20. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知圆和圆是球OK 的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,且圆与圆所在的平面所成的一个二面OO 3 2 OK OK 角为,则球的表面积等于_.60O 【答案】 16 21. （2013 年高考北京卷（理） ）如图,在棱长为 2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段 D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_. 1 D 1 B P A D 1 C C E B A 1 A 【答案】 2 5 5 22. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）如图,在三 棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,ABCCBA 111 FED， 1 AAACAB，ADEF 1 V 三棱柱的体积为,则_.ABCCBA 1112 V 21:V V A B C 1 A D E F 1 B 1 C 【答案】 1:24 23. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）若某几何体的三视图(单位:cm)如 图所示,则此几何体的体积等于_. 2 cm 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 （第 12 题图） 【答案】24 24. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,正方体 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体 1111 ABCDABC D 1 CC 所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号). 当时,S 为四边形;当时,S 为等腰梯形;当时,S 与的交点 R 1 0 2 CQ 1 2 CQ 3 4 CQ 11 C D 满足;当时,S 为六边形;当时,S 的面积为. 11 1 3 C R 3 1 4 CQ1CQ 6 2 【答案】 25. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）某几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积是_. 【答案】 1616 26. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知某一多面体内接于一个简 单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形, 则该球的表面积是_ 【答案】 12 27. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体中,异面直线 1111 ABCDABC D 与所成角的大小为_ 1 AB 1 BC D1 C1 B1 A1 D C AB 【答案】 3 三、解答题 28. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆 所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PACPBC平面平面； (II)2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值 【答案】 29. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）如图,四棱锥PABCD中, PAABCD 底面,2,4, 3 BCCDACACBACD ,F为PC的中点,AFPB. (1)求PA的长; (2)求二面角BAFD的正弦值. 【答案】 30. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,圆锥顶点为.底面圆心p 为,其母线与底面所成的角为 22.5.和是底面圆上的两条平行的弦,轴与平面oABCDOOP 所成的角为 60.PCD ()证明:平面与平面的交线平行于底面; ()求.PABPCDcosCOD 【答案】解: () PABP D,/ / /CmABCDCDPCDABPCD设面面直线且面面 . / /ABm直线ABCDmABCDAB面直线面/ 所以,. ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面C () . r PO OPFFCDr 5 . 22tan.60,由题知，则的中点为线段设底面半径为 . 5 . 22tan1 5 . 22tan2 45tan, 2 cos 5 . 22tan60tan60tan, 2 COD r OF PO OF )223(3), 1-2(3 2 1cos , 1-2 5 . 22tan1 2 cos2cos 22 CODCOD COD . 212-17cos. 212-17cosCODCOD所以 法二: 31. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四面体中,BCDA 平面,.是的中点, 是 的中点,点在线段ADBCD22, 2,BDADCDBCMADPBMQ 上,且.ACQCAQ3 (1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小./PQBCDDBMC 0 60BDC A B C D P Q M （第 20 题图） 【答案】解:证明()方法一:如图 6,取的中点,且是中点,所以.因为是MDFMAD3AFFDP 中点,所以;又因为()且,所以,所以面BM/ /PFBD3AQQC3AFFD/ /QFBD 面,且面,所以面; / /PQFBDCPQ BDC/ /PQBDC 方法二:如图 7 所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使BDOPBM 1 / / 2 POMDCDH ,且,所以,所以,且3DHCH3AQQC 11 / / / 42 QHADMD/ / /POQHPQOH ,所以面; OHBCD/ /PQBDC ()如图 8 所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作ADB BDCCCGBDGCGBMDG 于,连接,所以就是的二面角;由已知得到GHBMHCHCHGCBMD ,设,所以 813BM BDC , cos ,sin2 2cos ,2 2cossin,2 2sin, CDCGCB CDCGBC BDCDBD 在中,所以在中, RT BCG 2 sin2 2sin BG BCGBG BC RT BHG ,所以在中 2 2 12 2sin 33 2 2sin HG HG RT CHG 2 2 2cossin tantan603 2 2sin 3 CG CHG HG ; tan3(0,90 )6060BDC 32. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥中,异面直线 111 ABCABC 1 6AA 与所成角的大小为,求该三棱柱的体积. 1 BC 1 AA 6 B1 A1 C1 AC B 【答案】解因为 . 1 CC 1 AA 所以为异面直线与.所成的角,即=. 1 BC C 1 BC 1 AA 1 BC C 6 在 Rt中, 1 BC C 11 3 tan62 3 3 BCCCBC C 从而, 2 3 3 3 4 ABC SBC 因此该三棱柱的体积为. 1 3 3 618 3 ABC VSAA 33. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 14 分. 如图,在三棱锥中,平面平面,过作,垂足ABCS SABSBCBCAB ABAS ASBAF 为,点分别是棱的中点.FGE，SCSA， 求证:(1)平面平面; (2)./EFGABCSABC A B C S G F E 【答案】证明:(1),F 分别是 SB 的中点 ABAS SBAF E.F 分别是 SA.SB 的中点 EFAB 又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EFFG=F, EF.FG平面 ABC平面平面 /EFGABC (2)平面平面 SABSBC 平面平面=BC SABSBC AF平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又, ABAF=A, AB.AF平面 SAB BC平面 SAB 又SA平面 SABBCSA BCAB 34. （2013 年高考上海卷（理） ）如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1平行于平 面 DA1C,并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离. D1 C1 B1 A1 D C B A 【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 1111 /,ABC D ABC D 故 ABC1D1为平行四边形,故,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1平行于平面 DA1C; 11 /BCAD 直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h 考虑三棱锥 ABCD1的体积,以 ABC 为底面,可得 111 (1 2) 1 323 V 而中,故 1 ADC 11 5,2ACDCAD 1 3 2 AD C S 所以,即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为. 1312 3233 Vhh 2 3 35. （2013 年高考湖北卷（理） ）如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面ABOCO,A BPC ,分别是,的中点.ABCEFPAPC (I)记平面与平面的交线为 ,试判断直线 与平面的位置关系,并加以证明;BEFABCllPAC (II)设(I)中的直线 与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面lODQ 1 2 DQCP PQ 所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:ABCPQEFElC .sinsinsin 第 19 题图 【答案】解:(I), EFACAACABC 平面EFABC 平面 EFABCA平面 又 EFBEF 平面 EFlA lPAC A平面 (II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用 向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) 36. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）如图 1,在等腰直角三角形 中,分别是上的点,为的中点.将ABC90A6BC ,D E,AC AB2CDBEOBC 沿折起,得到如图 2 所示的四棱锥,其中.ADEDEABCDE 3A O () 证明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.A OBCDEACDB C D O x E A 向量法图向量法图 y z B . C O B DE A C D O B E A 图 1图 2 【答案】() 在图 1 中,易得 3,3 2,2 2OCACAD C D O B E A H 连结,在中,由余弦定理可得 ,OD OEOCD 22 2cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知, 2 2A D 所以,所以, 222 A OODA DA OOD 理可证, 又,所以平面. A OOEODOEOA OBCDE () 传统法:过作交的延长线于,连结, OOHCDCDHA H 因为平面,所以, A OBCDEA HCD 所以为二面角的平面角. A HOACDB 结合图 1 可知,为中点,故,从而 HAC 3 2 2 OH 22 30 2 A HOHOA 所以,所以二面角的平面角的余弦值为. 15 cos 5 OH A HO A H ACDB 15 5 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示, OOxyz 则, 0,0, 3 A 0, 3,0C1, 2,0D 所以, 0,3, 3CA 1,2, 3DA 设为平面的法向量,则 , ,nx y z A CD ,即,解得,令,得 0 0 n CA n DA 330 230 yz xyz 3 yx zx 1x 1, 1, 3n 由() 知,为平面的一个法向量, 0,0, 3OA CDB 所以,即二面角的平面角的余弦值为. 315 cos, 535 n OA n OA n OA ACDB 15 5 37. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. 2 6 【答案】 38. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60. ()证明 ABA1C; ()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 【答案】()取 AB 中点 E,连结 CE, 1 AB, 1 AE, AB= 1 AA, 1 BAA= 0 60, 1 BAA是正三角形, 1 AEAB, CA=CB, CEAB, 1 CEAE=E,AB面 1 CEA, AB 1 AC; ()由()知 ECAB, 1 EAAB, 又面 ABC面 11 ABB A,面 ABC面 11 ABB A=AB,EC面 11 ABB A,EC 1 EA, EA,EC, 1 EA两两相互垂直,以 E 为坐标原点,EA 的方向为x轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图 所示空间直角坐标系Oxyz, 有题设知 A(1,0,0), 1 A(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),则BC =(1,0,3), 1 BB = 1 AA =(-1,0, 3), 1 AC =(0,-3,3), 设n=( , , )x y z是平面 11 CBBC的法向量, 则 1 0 0 BC BB n n ,即 30 30 xz xy ,可取n=(3,1,-1), 1 cos, AC n= 1 1 | AC AC n |n| 10 5 , 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 39. （2013 年高考陕西卷（理） ）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O 平面ABCD, . 1 2ABAA () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. O D1 B1 C1 D A C B A1 【答案】解:() ;又因为,在正方形 AB CD 中,BDOAABCDBDABCDOA 11 ,面且面 . BDCAACACAACABDAACOABDAC 11111 ,，故面且面所以；且 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . . 1 11 OAOAART中，在 . OECAOCEAEDB 1111111 为正方形，所以，则四边形的中点为设 ，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD 111111 E.E, .(证毕) DDBBCA 111 面 () 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向,以 OB 为 Y 轴正方向.则 . ) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0 111 CABACB，）（ 由()知, 平面BB1D1D的一个法向量 .0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 ( 111 ）（OCOBCAn 设平面OCB1的法向量为 ，则0, 0, 2122 OCnOBnn ).1- , 1 , 0(向向向 2 n为解得其中一个 . 2 1 22 1 | | |,cos|cos 21 21 11 nn nn nn 所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 3 40. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,四棱锥中,PABCDPA,ABCD EBD 平面为的中点 O D1 B1 C1 D A C B A1 ,连接并延长交于.GPD为的中点， 3 ,1 2 DABDCB EAEBABPA ，CEADF (1) 求证:;ADCFG 平面 (2) 求平面与平面的夹角的余弦值.BCPDCP 【答案】解:(1)在中,因为是的中点,所以, ABDEBD1EAEBEDAB 故, , 23 BADABEAEB 因为,所以, DABDCB EABECB 从而有, FEDFEA 故,又因为所以. ,EFAD AFFD,PGGDFGPA 又平面, PAABCD 所以故平面. ,GFADAD CFG (3) 以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则, A 33 (0,0,0), (1,0,0),( ,0),(0, 3,0) 22 ABCD (4) ,故 3 (0,0, ) 2 P 1333 333 (0),(, ),(,0) 2222222 BCCPCD ， 设平面的法向量,则 , BCP 111 (1,)ny z 1 11 13 0 22 333 0 222 y yz 解得,即. 1 1 3 3 2 3 y z 1 3 2 (1, ) 33 n 设平面的法向量,则,解得, DCP 222 (1,)nyz 2 22 33 0 22 333 0 222 y yz 2 2 3 2 y z 即.从而平面与平面的夹角的余弦值为. 2 (1, 3,2)n BCPDCP 12 12 4 2 3 cos 416 8 9 n n n n 41. （2013 年高考四川卷（理） ）如图,在三棱柱中,侧棱底面, 11 ABCABC 1 AA ABC ,分别是线段的中点,是线段的中点. 1 2ABACAA120BAC 1 ,D D 11 ,BC BCPAD ()在平面内,试作出过点与平面平行的直线 ,说明理由,并证明直线平面ABCP 1 ABCll ; 11 ADD A ()设()中的直线 交于点,交于点,求二面角的余弦值.lABMACN 1 AAMN D1 D C B A1 B1 C1 A P 【答案】解:如图,在平面内,过点做直线 /,因为 在平面外, ABCPlBCl 1 ABC 在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, /平面. BC 1 ABCl 1 ABC 由已知,是的中点,所以,则直线. ABACDBCBCADlAD 因为平面,所以直线 .又因为在平面内,且与相交,所 1 AA ABC 1 AA l 1 ,AD AA 11 ADD AAD 1 AA 以直线平面 11 ADD A 解法一: 连接,过作于,过作于,连接. 1 APA 1 AEAPEE 1 EFAMFAF 由知,平面,所以平面平面. MN 1 AEA 1 AEA 1 AMN 所以平面,则. AE 1 AMN 1 AMAE 所以平面,则. 1 AM AEF 1 AM AF 故为二面角的平面角(设为). AFE 1 AAMN 设,则由,有,. 1 1AA 1 2ABACAA120BAC 60BAD 2,1ABAD 又为的中点,所以为的中点,且, PADMAB 1 ,1 2 APAM 在中, ;在中, . 1 Rt AAPA 1 5 2 AP 1 Rt A AMA 1 2AM 从而, 1 1 1 5 AAAP AE AP 1 1 1 2 AAAM AF AM 所以. 2 sin 5 AE AF 所以. 2 2 215 cos1 sin1 55 故二面角的余弦值为 1 AAMN 15 5 解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴, 1 1AA 1 A 1 AE 11 BC 1 A 111 ,AE AD 1 AA x 轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合). yzOxyzO 1 A 则,. 1 0,0,0A0,0,1A 因为为的中点,所以分别为的中点, PAD,M N,AB AC 故, 3 13 1 ,1 ,1 2222 MN 所以,. 1 3 1 ,1 22 AM 1 0,0,1A A 3,0,0NM 设平面的一个法向量为,则 1 AAM 1111 ,nx y z 即故有 11 11 , , nAM nA A 11 11 0, 0, nAM nA A 111 111 3 1 ,10, 22 ,0,0,10, x y z x y z 从而 111 1 31 0, 22 0. xyz z 取,则,所以. 1 1x 1 3y 1 1,3,0n 设平面的一个法向量为,则 1 AMN 2222 ,nxy z 即故有 21 2 , , nAM nNM 21 2 0, 0, nAM nNM 222 222 3 1 ,10, 22 ,3,0,00, xy z xy z 从而 222 2 31 0, 22 30. xyz x 取,则,所以. 2 2y 2 1z 2 0,2, 1n 设二面角的平面角为,又为锐角, 1 AAMN 则. 12 12 1,3,00,2, 1 15 cos 525 nn nn 故二面角的余弦值为 1 AAMN 15 5 42. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分 10 分. 如图,在直三棱柱中,点是的中点 111 ABCABCACAB 2 ACAB4 1 AADBC (1)求异面直线与所成角的余弦值BA1DC1 (2)求平面与所成二面角的正弦值. 1 ADC 1 ABA 【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决 问题的能力. 解:(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系, 1 ,AAACABxyzA 则, )0 , 0 , 0(A)0 , 0 , 2(B)0 , 2 , 0(C)4 , 0 , 0( 1 A)0 , 1 , 1 (D)4 , 2 , 0( 1 C , )4, 0 , 2( 1 BA)4, 1, 1 ( 1 BA 10 103 1820 18 ,cos 11 11 11 DCBA DCBA DCBA 异面直线与所成角的余弦值为 BA1DC1 10 103 (2) 是平面的的一个法向量 )0 , 2 , 0(AC 1 ABA 设平面的法向量为, 1 ADC),(zyxm )0 , 1 , 1 (AD)4 , 2 , 0( 1 AC 由 1 ,ACmADm 取,得,平面的法向量为 042 0 zy yx 1z2, 2xy 1 ADC) 1 , 2, 2( m 设平面与所成二面角为 1 ADC 1 ABA , 得 3 2 32 4 ,coscos mAC mAC mAC 3 5 sin 平面与所成二面角的正弦值为 1 ADC 1 ABA 3 5 43. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）如图,四棱锥 中,与都是等边三角形.PABCD902,ABCBADBCADPAB ， PAD (I)证明: (II)求二面角的大小.;PBCDAPDC 【答案】 44. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）如图所示,在三棱锥 PABQ 中, PB 平面ABQ,BA BPBQ , ,D C E F 分别是 ,AQ BQ AP BP 的中点, 2AQBD , PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH. ()求证: AB GHA ; ()求二面角D GHE 的余弦值. 【答案】解:()证明:因为 ,D C E F 分别是 ,AQ BQ AP BP 的中点, 所以EFAB,DCAB,所以EFDC, 又EF 平面PCD,DC 平面PCD, 所以EF平面PCD, 又EF 平面 EFQ ,平面 EFQ平面PCD GH , 所以EFGH, 又EFAB, 所以ABGH. ()解法一:在 ABQ 中, 2AQBD , ADDQ , 所以 =90ABQ ,即 ABBQ ,因为PB 平面 ABQ ,所以AB PB , 又 BPBQB ,所以AB 平面 PBQ ,由()知ABGH, 所以GH 平面 PBQ ,又FH 平面 PBQ ,所以GH FH ,同理可得GH HC , 所以 FHC 为二面角D GHE 的平面角,设 2BABQBP ,连接PC, 在 tR FBC中,由勾股定理得, 2FC , 在 tR PBC中,由勾股定理得, 5PC , 又H为 PBQ 的重心,所以 15 33 HCPC 同理 5 3 FH , 在FHC中,由余弦定理得 55 2 4 99 cos 5 5 2 9 FHC , 即二面角D GHE 的余弦值为 4 5 . 解法二:在 ABQ 中, 2AQBD , ADDQ , 所以 90ABQ ,又PB 平面 ABQ ,所以 ,BA BQ BP 两两垂直, 以B为坐标原点,分别以 ,BA BQ BP 所在直线为x轴, y 轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设 2BABQBP ,则 (1,0,1)E , (0,0,1)F , (0,2,0)Q , (1,1,0)D , (0,1,0)C(0,0,2)P ,所以 ( 1,2, 1)EQ , (0,2, 1)FQ , ( 1, 1,2)DP , (0, 1,2)CP , 设平面 EFQ 的一个法向量为 111 ( ,)mx y z , 由 0m EQ , 0m FQ , 得 111 11 20 20 xyz yz 取 1 1y ,得 (0,1,2)m . 设平面PDC的一个法向量为 222 (,)nxyz 由 0n DP , 0n CP , 得 222 22 20 20 xyz yz 取 2 1z ,得 (0,2,1)n .所以 4 cos, 5 m n m n m n 因为二面角D GHE 为钝角,所以二面角D GHE 的余弦值为 4 5 . 45. （2013 年高考湖南卷（理） ）如图 5,在直棱柱, 1 111 / /ABCDABC DADBC中， ,.90 ,1BADACBD BC 1 3ADAA (I)证明:; (II)求直线所成角的正弦值. 1 ACB D 111 BCACD与平面 【答案】解: () ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD 111111 ,面且面是直棱柱 . (证毕) DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC 11111 ,，面。面且又 () 。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线 111111 ,/ACDADACDCBADBCCB 轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向XADYABA BDACyBDyACyCyBDDA), 0 , , 3(), 0 , , 1 () 0 , , 1 (), 0 , , 0(),3 , 0 , 3(),0 , 0 , 3(,00 , 0 1 ，则，设 ).3 , 0 , 3(),0 , 3, 1 (. 30, 0030 1 2 ADACyyyBDAC ），（），（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-. 0 0 , 1 1 1 ADnACD ADn ACn nACD 7 21 37 33 |,cos|sin003,313- 1 ADnADnACD），（），（的一个法向量平面 . 7 21 11 夹角的正弦值为与平面所以ACDBD 46. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四棱柱 中,侧棱, 1111 ABCDABC D 1 AAABCD 底面/ /ABDC 1 1AA 3ABk4ADk ,.5BCk6DCk(0)k (1)求证: 11; CDADD A 平面 (2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值; 1 AA 1 ABC 6 7 k (3)现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定: 1111 ABCDABC D 若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这 些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的表达式(直接写出答案,不必要说( )f k( )f k 明理由) 【答案