2013年高考数学新课标1(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）数 学（文科）一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）.A. B. C. D. 分析 先求出集合，再进行交集运算.解析：因为，所以，所以故选A.2. （ ）. A. B. C. D. 分析 先进行复数的乘方运算，再进行除法运算.解析：故选B.3. 从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（ ）.A. B. C. D. 分析 利用列举法求出事件的个数，再利用古典概型求概率.解析：从中任取2个不同的数，有，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为故选B.4. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）.A. B. C. D. 分析 先由双曲线的离心率建立字母之间的关系，再求渐近线方程.解析：由，得，而的渐近线方程为，所以所求渐近线方程为故选C.5. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）.A. B. C. D. 分析 先判断命题的真假，再结合含有一个逻辑联结词命题真假的判断真值表求解.解析：当时，有，不满足，所以，是假命题.如图，函数与有交点，即方程有解，所以，是真命题.所以为假命题，排除A.因为为真命题，所以是真命题.选B.6. 设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则（ ）.A. B. C. D. 分析 可以直接利用等比数列的求和公式求解，也可以先求出通项和前项和，再建立关系.解析：方法一：在等比数列中，.方法二：在等比数列中，所以 故选D.7. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）.A. B. C. D. 分析 先识别程序框图的功能，即求分段函数的值域，再分别求出.解析：因为，当时，；当时，所以.故选A.8. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则 的面积为（ ）.A. B. C. D. 分析 先利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再结合三角形面积公式求解.解析：设，则，所以，所以，所以因为，所以故选C.9. 函数在的图象大致为（ ）.分析 先利用函数的奇偶性排除B，再利用特殊的函数值的符号排除A，而最后答案的选择则利用了特定区间上的极值点.解析：在上，因为，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，排除B.取，则，排除A.因为，所以令，则或.结合，求得在上的极大值点为，靠近，故选C.10. 已知锐角的内角的对边分别为，则（ ）.A. B. C. D. 分析 先求出角的余弦值，再利用余弦定理求解.解析：由得，解得.因为是锐角，所以.又，所以，所以或.又因为，所以.故选D.11. 某几何函数的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A. B. C. D. 分析 将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解.解析：原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半（如图所示），其体积为故选A. 12. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 分析 先画出函数的图像，数形结合求解.解析：作出函数的图象，如图所示，当时，必有其中是在原点处的切线斜率，显然，所以的取值范围是故选D.第II卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知两个单位向量的夹角为，若，则 .分析 直接利用平面向量的数量积运算求解.解析：.因为，所以.因为，所以，所以.14. 设满足约束条件，则的最大值为 .分析 作出可行域，进一步探索最大值.解析：作出可行域如图阴影部分.作直线，并向右平移，当平移至直线过点时，取最大值. 而由得.所以.15. 已知是球的直径上一点，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为 .分析 利用球的截面建立直角三角形求解.解析：如图所示，设球的半径为，则由得，所以.因为截面面积为，所以.在中，所以，所以. 所以.16. 设当时，函数取得最大值，则 . 分析 先利用三角恒等变换求得函数的最大值，再利用方程思想求解.解析：，设，则所以，所以，所以又因为时，取得取大值，所以.又， 所以即.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. （本小题共12分）已知等差数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.分析 （1）结合等差数列的求和公式列出关于首项和公差的方程组求解；（2）裂项求和，但要注意裂项后的系数.解析：（1）设的公差为，则由已知可得解得故的通项公式为.（2）由（1）知=，从而数列的前项和为.18. （本小题共12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为药，药）的疗效，随机地选取位患者服用 药，位患者服用药，这位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：）实验的观测结果如下：服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：服用药的位患者日平均增加的睡眠时间：（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？分析（1）直接求解平均数，并比较大小；（2）观察茎叶图，看看数据的离散情况及中位数的位置.解析（1）设药观测数所的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得，.由以上计算结果可得，因此可看出A药的疗效更好.（2）由观测结果可绘制茎叶图如图所示：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“.”，“.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“.”，“.”上，由此可看出A药的疗效更好.19. （本小题共12分）如图，三棱柱中，.（1）证明：；（2）若，求三棱柱的体积.分析 （1）先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求解；（2）先证明三棱柱的高，再利用体积公式求解体积.解析：（1）取的中点，连接，.因为，所以.由于， ，故为等边三角形，所以.因为，所以 .又，故. （2）由题设知与都是边长为2的等边三角形，所以.又，则，故因为，所以，为三棱柱的高.又的面积，故三棱柱的体积.20. （本小题共12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值.分析（1）利用函数值和导函数值列出方程（组）求解字母的值；（2）先求出函数的导数、极值点，进一步确定单调区间，再根据极值点左右两边的符号判断函数的极值.解析（1）.由已知得，.故，.从而（2）由（1）知，.令，得或.从而当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减.当时，函数取得极大值，极大值为.21. （本小题共12分）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）是与圆，圆都相切的一条直线， 与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求.分析 （1）结合圆的几何性质和椭圆的定义求解；（2）利用直线与圆相切的性质求解，要注意直线的斜率是不是存在.解析：由已知得圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设圆的圆心为，半径为.（1）因为圆与圆外切并且与圆内切，所以.由椭圆的定义可知，曲线是以为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为.（2）对于曲线上任意一点，由于，所以，当且仅当圆的圆心为时，所以当圆的半径最长时，其方程为.若的倾斜角为，则与轴重合，可得.若的倾斜角不为，由知不平行于轴，设与轴的交点为，则，可求得，所以可设.由与圆相切得，解得.当时，将代入，并整理得，解得，所以.当时，由图形的对称性可知. 综上，或.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.22.本小题满分10分.选修41：几何证明选讲. 如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点垂直交圆于点.（1）证明：；（2）设圆的半径为，延长交于点，求外接圆的半径. 分析（1）利用圆的性质结合弦切角定理证明线段相等； （2）先证明中垂线，再结合圆的几何性质求圆的半径.解析：（1）证明：如图所示，连接，交于点.由弦切角定量，得，而，故，所以又因为，所以为圆的直径，.由勾股定理可得（2）由（1）知，故是边的中垂线，所以设的中点为，连接，则，从而，所以，故外接圆的半径等于.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）把的参数方程化为极坐标方程； （2）求与交点的极坐标.分析 利用同角三角函数的平方关系将参数方程化为普通方程；（2）利用联立方程组求解曲线的交点.解析（1）将消去参数，化为普通方程即将代入得所以的极坐标方程为（2）的普通方程为.由解得或 所以与的交点的极坐标分别为