2013 广西高考数学大纲卷(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广西卷）文科数学第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的设集合，集合，则（ ） A B C D分析 依据补集的定义计算.解析：因为，所以.故选B.已知是第二象限角，则（ ） A B C D分析 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.解析：因为为第二象限角，所以.故选A.已知向量，若，则（ ） A B C D分析 利用坐标运算得出与的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求.解析：因为，由，可得 ，解得.故选B.不等式的解集是（ ） A B C D分析 将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.解析：由，得，即，所以或，故解集为.故选D.的展开式中的系数是（ ） A B C D分析 写出二项展开式的通项，从而确定的系数.解析：该二项展开式的通项为，令，得， 所以的系数是.函数的反函数（ ） A BC D分析 由已知函数解出，并由的范围确定原函数的值域，按照习惯把互换，得反函数.解析：由，得，故.把与互换，即得.由，得，可得.故所求反函数为.故选A.已知数列满足，则的前项和等于（ ） A B C D分析 先根据等比数列的定义判断数列的等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前项和公式计算.解析：由，得，故数列是公比的等比数列.又， 可得.所以.故选C.已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为（ ） A B C D分析 设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.解析：由题意知椭圆焦点在轴上，且，可设的方程为， 由过且垂直于轴的直线被截得的弦长，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得 ，所以或（舍去）. 故椭圆的方程为.故选C.若函数的部分图象如图，则（ ） A B C D分析 根据图象确定函数的最小正周期，再利用求. 解析 设函数的最小正周期为，由函数图象可知 ，所以. 又因为，可解得.故选B.已知曲线在点处切线的斜率为，则（ ） A B C D分析 先对函数求导，利用导数的几何意义得出点处的切线斜率，解方程可得.解析：，由导数的几何意义知在点处的切线斜率 ，解得.故选D已知正四棱锥中，则与平面所成的正弦值等于（ ） A B C D分析 方法一：利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点在平面上的射影位置，确定线面角，并化归到直角三角形中求解.方法二：建立空间直角坐标系，利用向量法求解.解析：方法一：如图（1）所示，连接，交于点，由正四棱柱的性质，有.因为，所以.又，所以.在平面内作，垂足为，则.又，所以，连接，则为在平面上的射影，所以为与平面所成的角.设.在中，由等面积变换易求得.在，.方法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图（2），设，则，则，.设平面的法向量为，则，所以有令，得平面的一个法向量为.设与平面所成的角为， 则.故选A.已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于两点，若，则（ ） A B C D分析 联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由进行坐标算解未知量.解析：抛物线的焦点为，则直线方程为，与抛物线方程联立，消法化简得.设点，则所以因为，将上面各个量代入，化简得， 所以.故选D.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案须填在题中横线上设是以为周期的函数，且当时，则 分析 利用周期将自变量转化到已知解析式中的范围内，代入解析式计算.解析：由于的周期为2，且当时， 所以.从进入决赛的名选手中决出名一等奖，名二等奖，名三等奖，则可能的决赛结果共有 种（用数字作答）分析 利用排列组合知识列式求解.解析：由题意知，所有可能决赛结果有（种）.若满足约束条件则的最小值为 分析 作出可行域，借助数形结合寻找最优解.解析：由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示（包括边界），且，.由数形结合知，直线过点时，. 已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，且圆与圆所在的平面所成角为，则球的表面积等于 分析 根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义域确定平面角，把球的半径转化到直角三角形中计算，进而求得球的表面积.解析：如图所示，公共弦为，设球的半径为，则.取中点，边接，由圆的性质知，所以为圆与圆所在平面所成的一个二面角的平面角，则.在中，所以.在中，因为，所以，解得，所以球的表面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本小题满分10分） 等差数列中， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和分析（1）根据题目条件建立方程组，求出等差数列的公差和首项后代入通项公式计算；（2）利用裂项相消法求和.解析：（1）设等差数列的公差为，则因为所以解得所以的通项公式为.（2）因为，所以.（本小题满分12分） 设的内角的对边分别为，且（1）求； （2）若，求分析（1）由已知式的结构，可联想应用余弦定理求角；（2）由（1）知，利用 的余弦公式展开，并构造的形式，求得的值，进而得角.解析：（1）因为，所以.由余弦定理得，因此.（2）由（1）知，所以 ， 故或，因此或.（本小题满分12分） 如图所示，四棱锥中，与都是边长为的等边三角形（1）证明：； （2）求点到平面的距离 分析 （1）借助线线、线面垂直证明；（2）取中点，证明，再证明，将所求点到平面的距离转化为求线段的长.解析：（1）证明：取的中点，连接，则四边形为正方形.过作，垂足为.连接.由和都是等边三角形知，所以，即点为正方形对角线的交点，故，从而.因为是的中点，是的中点，所以.因此.（2）取的中点，连接，则.由（1）知，故.又，故为等腰三角形，因此.又，所以.因为，所以.因此点到平面的距离就是点到平面的距离，而， 所以点到平面的距离为.（本小题满分12分） 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判（1）求第局甲当裁判的概率；（2）求前局中乙恰好当次裁判概率分析 （1）借助相互独立事件同时发生的概率公式求解；（2）利用互斥事件概率加法公式计算.解析（1）记表示事件“第2局结果为甲胜”，表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，表示事件“第4局甲当裁判”，则.（2）记表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，表示事件“第4局中乙恰好当1次裁判”，则. .（本小题满分12分） 已知函数（1）当时，讨论的单调性；（1）若时，求的取值范围 分析 （1）对函数求导后，令导函数等于0得两根，该两根将定义域分为三部分，在每部分中研究导函数的符号，从而确定原函数的单调性；（2）先由特殊值确定的范围，再在此基础上对函数求导，利用放缩法判断导函数为正，从而知原函数在区间上单调递增，说明的这个范围即为所求.解析（1）当时，.令，得，.当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.（2）由得.当，时，所以在上是增函数，于是当时，.综上，的取值范围是.（本小题满分14分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，直线与的两个交点间的距离为（1）求；（2）设过的直线与的左、右两支分别交于，两点，且证明：成等比数列分析（1）由双曲线的离心率得的关系式，求出直线与双曲线的交点坐标，借助两点