2013年安徽高考数学(理)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第卷（选择题 共50分）一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（ ）.A. B. C. D. 分析 设出复数的代数形式，结合复数的运算法则，利用复数相等的条件求解.解析 设，由，得，即，由复数相等的条件得，得，所以.故选A.2. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）.A. B. C. D. 分析 利用框图的条件结构和循环结构求解.解析，；，；，；，不成立，输出的值为.故选D.3. 在下列命题中，不是公理的是（ ）.A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 分析 结合平面的基本性质求解. 解析 选项A不是公理，是个常用的结论，需经过推理谁； 选项B是平面的基本性质公理； 选项C是平面的基本性质公理； 选项D是平面的基本性质公理. 故选A.4. “”是“函数在区间内单调递增”的（ ）.A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件分析 本题利用函数的图像确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断.解析 当时，在区间上单调递增；当时，结合函数 的图像知函数在上单调递增，如图（1）所示； 当时，结合函数的图像知函数在上先增后减再 增，不符合条件，如图（2）所示.所以要使函数在上单调递增，只需.即“”是“函数在上单调递增”的充要条件.故选C. 5. 某班级有名学生，其中有名男生和名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为，五名女生的成绩分别为.下列说法一定正确的是（ ）.A. 这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数分析 根据分层抽样和系统抽样定义判断A，B，求出五名男生的五名女生成绩的方差判断C.解析 对于选项A不是分层抽样，因为抽样比不同； 选项B不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知； 选项C五名男生成绩的平均数是， 五名女生成绩的平均数是， 五名男生成绩的方差为， 五名女生成绩的方差为， 显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差. 选项D由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生平均成绩. 故选C.6. 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（ ）.A. B. C. D. 分析 利用一元二次不等式的解法及指数不等式的解法求解.解析 由题意知，一元二次不等式的解集为.而，所以 ，解得，即.故选D.7. 在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）.A. 和 B. 和 C. 和 D. 和分析 利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化关系以及直线的极坐标方程求解.解析 由，得，化为直角坐标方程为， 即，其垂直于极轴的两条切线方程为和，相应的极坐标方程为 和.故选B.8. 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 分析 利用的几何意义，将所求转化为直线与曲线的交点个数问题并利用数形结合求解.解析 由题意，函数上的任一点坐标为，故表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率，若，则曲线上存在个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线有个交点，如图所示，数形结合可得的取值可为.故选B. 9. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）.A. B. C. D. 分析 利用向量的分解结合面积公式求解.解析 由，知.当，时，在 中，取，过点作交于点，作交于点 ，显然，由于，所以，所以 ，所以时，点在线段上， 所以，时，点必在内（包括边界）.考虑的其他情形，点构成的集合恰好是以为一边，以，为对角线一半的矩形，其面积为.故选D.10. 若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是（ ）.A. B. C. D. 分析 先求函数的导数，由极值点的性质及题意，得出或，再利用数形结合 确定这两个方程实数根的个数.解析 因为，函数的两个极值点为，所以，所以，是方程的两根，所以解关于的方程 得或.不妨设，由题意知函数在，上单调递增，在上单调递减.又 ，如图所示，数形结合可知有两个不同实根，有一个实根，所以不同实根的个数为.故选A. 第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.ww11. 若的展开式中的系数为，则实数 .分析 利用二项式定理和组合数知识求解.解析 含的项为，所以.12. 设的内角所对边的长分别为.若，则角 .分析 利用正弦定理，余弦定理求解.解析 由，得，又因为，所以，所以.因为，所以.13. 已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为 .分析 利用向量的数量积结合一元二次方程根与系数的关系求解.解析 设，由题意可取，则， ，由于，所以 ，整理得， 即，所以，解得.14. 如图所示，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等. 设.若，则数列的通项公式是 . 解析 设，记，那么 ，所以，所以，所以.即.经验证知.15. 如图所示，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）当时，为四边形当时，为等腰梯形当时，与的交点满足当时，为六边形当时，的面积为解析 利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. 当时，如图（1）所示，在平面内，作，显然在棱上， 连接，则是四边形. 当时，如图（2）所示，显然连接，则是等腰梯形.当时，如图（3）所示，作交的延长线于点，则， 作交的延长线于点，则，连接交于点， 由于，所以，所以. 当时，如图（3）所示，连接（点为与交点），显然为五边形；当时，如图（4）所示，同可作交的延长线于点，交于点， 显然点为的中点，所以为菱形，其面积为. 综上，正确的命题序号是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. （本小题共12分）已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）讨论在区间上的单调性.分析 先化简函数关系式，再利用周期公式直接求解，利用正弦函数的单调性直接求解.解析 （1） .因为的最小正周期为， 且，从而有，故. （2）由（1）知，.若，则. 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减. 综上可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减.17. （本小题共12分）设函数，其中，区间.（1）求的长度（注：区间的长度定义为）；（2）给定常数，当时，求长度的最小值.分析 利用一元二次方程和一元二次不等式的关系，先求出解集，构造函数，利用导数求解函数的单调性和最值.解析 （1）因为方程有两个实根，故的解集为，因此区间，区间的长度为. （2）设，则.令 得.由于，故 当时，单调递增；当时，单调递减. 所以当时，的最小值必定在或处取得. 而，故.因此当时在区间上取得最小值.18. （本小题共12分）设椭圆的焦点在轴上.（1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程；（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，并且.证明：当变化时，点在某定直线上.分析 （1）利用焦距直接求解字母的取值. （2）设出点的坐标，并求出其横，纵坐标的关系 式.注意点在直线上时，点的坐标满足直线方程.解析 （1）因为椭圆的焦点在轴上且焦距为，所以，解得.故椭圆的方程为.（2）证明：设，其中，由题设知，则直线的斜率，直线的斜率，故直线的方程为.当时，即点坐标为.因此直线的斜率 为.由于，所以，化简得 将代入椭圆的方程，由于点在第一象限，解得，即点在定直线上.19. （本小题共13分）如图，圆锥顶点为，底面圆心为，其母线与底 面所成的角为，和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为.（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；（2）求.分析 利用直线与平面平行的判定和性质求解，可以不画出交线，先作出与平面所成的角，再利用解直角三角形知识求解.解析 证明：（1）设平面与平面的交线为.因为，不在平面内，所 以平面.又因为平面，平面与平面的交线为，所以.由直线在底面上而在底面外可知，与底面平行. （2）设的中点为，连接，由圆的性质，知，因为底面，底面，所以，又，故平面，又平面，因此平面平面，从而直线在平面上的射影为直线，故为与平面所成的角，由题设，设，则.根据题设有，得 .由和，可解得 .因此.在中， ， 故.20. （本小题共13分）设函数.证明：（1）对每个，存在唯一的，满足；（2）对任意，由（1）中构成的数列满足.分析 （1）利用导数结合函数的单调性证明，（2）利用函数的单调性进行转化，注意不等式 的放缩.解析 （1）证明：对每个，当时， 故在内单调递增. 由于，当时，故. 又 所以存在唯一的，满足. （2）当时，由，故，由在内单调递增，知，故为单调递减数列，从而对任意，对任意，由于 式减去式并移项，利用得 . 因此对任意，都有.21. （本小题共13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心里测试活动，分别由李老师和张老师负责.已知该系共有位学生，每次活动均需要该系位学生参加（和都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机的发给该系位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为.（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使取得最大值的整数使率师到ANSHU .分析 利用古典概型，事件的相互独立性结合对立事件的概率求解，分类讨论结合计数原理求出最 大值，但要注意证明不等式时需要用放缩法.解析 （1）因为