大学高等数学上册 1.1 数列的极限.ppt

1,第1章数列极限与数项级数,1.1数列的极限,2,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,引例1、割圆术：,播放,刘徽,1.1.1数列极限的定义,3,正六边形的面积,正十二边形的面积,正形的面积,4,引例2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,5,例如,6,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,7,播放,数列的极限的定义,8,问题:,当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,9,10,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,11,几何解释:,其中,12,数列极限的定义未给出求极限的方法.,注意：,几何解释:,13,例1.已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,14,例2.已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,也可由,N与有关,但不唯一.,不一定取最小的N.,说明:,取,例3.设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当nN时,就有,故,的极限为0.,16,1.1.2收敛数列的性质,证:用反证法.,及,且,取,因,故存在N1,从而,同理,因,故存在N2,使当nN2时,有,定理1.收敛数列的极限唯一.,使当nN1时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当nN时,故假设不真!,满足的不等式,17,定理2收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论无界数列必定发散.,虽有界但不收敛.,数列,18,定理3.收敛数列的保序性.,证:,取,19,20,1.1.3收敛数列的四则运算,定理4.若,则有,21,1.1.4数列收敛的判别法,例5.例6见书。,准则1(夹逼定理),证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件(1),即,故,23,例7.证明,证:利用夹逼准则.,且,由,准则2(单调有界数列必有极限),(证明略),25,例8.设,证明数列,极限存在.,证:利用二项式公式,有,26,大,大,正,又,比较可知,根据准则2可知数列,记此极限为e,e为无理数,其值为,即,有极限.,又,1.1.5子数列的收敛性,28,*,定理7.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.,证:设数列,是数列,的任一子数列.,若,则,当,时,有,现取正整数K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,29,由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限,例如，,发散!,则原数列一定发散.,说明:,定理9.任意有界数列必有收敛的子数列。（证明略）,30,思考与练习,1.如何判断极限不存在?,方法1.找一个趋于的子数列;,方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.,2.已知,求,时,下述作法是否正确?说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,31,故极限存在，,备用题,1.设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,2.设,证:,显然,证明下述数列有极限.,即,单调增,又,存在,“拆项相消”法,33,刘徽(约225295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献.,他的“割圆术”求圆周率,“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要,极限思想.,的方法:,34,柯西(17891857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有27卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书7本,35,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,36,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,37,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,38,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,39,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,40,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,41,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,42,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与