因式分解(高级篇)十字相乘.ppt

边城高级中学张秀洲,十字相乘法分解因式,知识结构,因式分解常用方法,提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法,一、提公因式法,只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。,二、公式法,只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。,常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)（立方和公式）及a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,三、十字相乘法,前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）,暂且称为p、q型因式分解,一、计算：,(x+p)(x+q)=x+(p+q)x+pq,下列各式是因式分解吗？观察左右两边你有什么发现？,例1：因式分解,或,步骤：,竖分二次项与常数项,交叉相乘，积相加,检验确定，横写因式,十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）,顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。,首尾分解，交叉乘，求和凑中，因式横。,试一试：,小结：,用十字相乘法把形如,二次三项式分解因式使,（顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱）,x+(p+q)x+pq,x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),练一练：,小结：,用十字相乘法把形如,的二次三项式分解因式,当pq0时，pq分解的因数p、q()当pq0时，q分解的因数a、b(同号)且（a、b符号）与p符号相同,当q0时，q分解的因数a、b(异号)（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同,练一练,将下列各式用十字相乘法进行因式分解,（1）2x2+13x+15（2）3x215x18(3)6x2-3x18(4)8x2-14xy+6y2,作业,把下列各式分解因式,（1）4x2+11x+6（2）3x2+10 x+8(3)6x2-7xy5y2(4)4x2-18x+18(5)4（a+b）2+4(a+b)-15,例1：因式分解abac+bdcd。,解：原式=(abac)+(bdcd)=a(bc)+d(bc)=(a+d)(bc),还有别的解法吗？,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。,四、分组分解法,例1：因式分解abac+bdcd。,解：原式=(ab+bd)(ac+cd)=b(a+d)c(a+d)=(a+d)(bc),四、分组分解法,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。,例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。,解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=(x+1)(x2x+1)(x2+x+1),立方和公式,回顾例题：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。,另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1x2)=(x+1)(x2+1)2x2=(x+1)(x2+x+1)(x2x+1),*五、拆项、添项法,怎么结果与刚才不一样呢？,因为它还可以继续因式分解,拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。,五*、拆项添项法,因式分解x4+4,解：原式=x4+4x2+44x2=(x2+2)2(2x)2=(x2+2x+2)(x22x+2),完全平方公式,平方差公式,六、配方法,配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。,因式分解a2b2+4a+2b+3。,解：原式=(a2+4a+4)(b22b+1)=(a+2)2(b1)2=(a+b+1)(ab+3),配方法(拆项添项法)分组分解法,完全平方公式,平方差公式,七*、待定系数法,试因式分解2x2+3xy9y2+14x3y+20。,通过十字相乘法得到(2x3y)(x+3y)设原式等于(2x3y+a)(x+3y+b)通过比较两式同类项的系数可得：解得：，原式=(2x3y+4)(x+3y+5),待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。,=3,=14,10,+4,2x2+3xy9y2+14x3y+20,八、双十字相乘法,双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。,因式分解2x2+3xy9y2+14x3y+20。,21,33,6,3,45,=3,12,15,原式=(2x3y+4)(x+3y+5),人要是行，干一行，行一行，一行行，行行行，要不是不行，干一行，不行一行，一行不行，行行不行。,综合训练(一),48,43,综合训练(二),综合训练(二),2、x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解后的结果是()。A.(yz)(x+y)(xz)B.(yz)(xy)(x+z)C.(y+z)(xy)(x+z)D.(y+z)(x+y)(xz)3、因式分解x3+6x2+11x+6。,A,综合训练(三),-12,6,x2+x-2=(x+2)(x-1)，2x4-3x3+ax2+7x+b能被(x+2)(x-1)整除，设商是A则2x4-3x3+ax2+7x+b=A(x+2)(x-1)，则x=-2和x=1时，右边都等于0，所以左边也等于0当x=-2时，2x4-3x3+ax2+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0当x=1时，2x4-3x3+ax2+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0a=-12，b=6,综合训练(三),0,64,总结训练(一),总结训练(一),8,总结训练(二),总结训练(二),解：x4+199x2+1996x+1997=（x2+ax+1)(x2+bx+1997)=x4+(a+b)x3+(ab+1998)x2+(1997a+b)x+1997所以a+b=0，ab+1998=1997，1997a+b=1996解得a=1b=-1所以x4+1997x2+1996x+1997=(x2+