高中数学竞赛数列问题

.高中数学竞赛数列问题一、 高考数列知识及方法应用（见考纲）二、 二阶高次递推关系1 因式分解降次。例：正项数列an，满足，求an（化异为同后高次）2 两边取对数降次。例：正项数列an，a1=1，且anan+12 = 36，求an三、 线性递推数列的特征方程法 定理1：若数列an的递推关系为an+2=1an+1+2an，则设特征方程x2=1x+2，且此方程有相异两根x1，x2（x1x2），则必有 an=c1x1n+c2x2n，其中c1，c2由此数列已知前2项解得，即 或由得到。（见训练及考试题） 定理2：若方程x2=1x+2有相等重根x0，则有 an=（c1+c2n）x0n，其中c1，c2仍由定理1方程组解得。例如.：1，已知.数列满足，求数列的通项公式2，.数列中，设且，求数列的通项公式3，.数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)求数列的通项公式。4，已知.数列满足都有，求数列的通项公式四、 特殊递推的不动点法 （ f（x）= x的解称为f（x）的不动点 ） 定理1：若数列an满足递推：an+1=aan+b （a，bR）， 则设x=ax+b，得不动点且数列递推化为：an+1-x0=a（an-x0），进而用构造法解得。 定理2：若数列an满足递推：， 则设，得不动点x1，x2， 若x1x2，则原递推化为：，再由构造法解得。 若x1=x2=x0，即有唯一不动点x0时，原递推可化为： ，再由构造法解得。例如：1，在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),求该数列的通项an2，已知.数列满足：，求该数列的通项an3，已知.数列满足：，求该数列的通项an五、 递推构造法1 若数列递推满足an+1=k1an+k22n，注意构造变形为（an+1+A2n+1）= k1（an+A2n），展开后与原递推相同，求出A得值，再化为等比数列解决。2 若数列递推满足an+1=k1an+k2n2+k3n，注意构造变形为（an+1+A(n+1)2+B(n+1)+c）= k1（an+An2+Bn+c），展开后与原递推相同而求出A，B，C的值，再化为等比数列解决。3 若数列为an+1=-3an+2n - n呢？例如：1，求所有a0R，使得由an+1=2n-3an（nN）所确定得数列a0，a1，a2，是递增的。 2，某运动会开了n天，共发出m枚奖牌：第一天发出1枚加上余下的，第二天发出2枚加上余下的；如此持续了天，第n天发出n枚. 该运动会开了_天，共发了_枚奖牌.后注：以上方法相辅相成，不可孤立理解，当条件不符合时不可随意应用。 例：若不知a1，a2的确定值，an+2=2an+1+3an都不可以用特征方程法。望大家结合数列其他讲义及考题认真领会。 数列训练题1（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） .2. ( 2006年重庆卷)在数列an中，若 a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项 an=_.3（2006年全国卷II）函数f(x)的最小值为 ( )（A）190 （B）171 （C）90 （D）454（2006年全国卷I）设是公差为正数的等差数列，若，则A B C D5（2006年江西卷）已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.2016（2006年辽宁卷）在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于(A) (B) (C) (D)7(2006年山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；（3） 记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.8（2006年上海卷）已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值9（2006年全国卷II）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式（只须写出即可）10. （2006年上海春卷）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能 得到什么样的结论？ 11（2006年广东卷）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.()求数列的首项和公比；()对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；()设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零.12（2006年福建卷）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）证明：13（2006年安徽卷）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和14（2006年全国卷I）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：15（2006年江西卷）已知数列an满足：a1，且an求数列an的通项公式；数列竞赛训练题1.数列中，设且，求数列的通项公式.2.已知.数列满足，求数列的通项公式3. 已知.数列满足，求数列的通项公式4. 已知.数列满足，求数列的通项公式5. 数列中，设且，求数列的通项公式6. 数列中，设且，求数列的通项公 式7.数列满足：，如果前1492项的和是1985，而前1985项的和为1492，求该数列的前2001项之和. 8. 已知.数列满足，求数列的前项和.参考答案1. 10，2. an=.3. C4. B ，将代入，得，从而。选B。5. 解：依题意，a1a2001，故选A6. 【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C。7.（2）,;9. 解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立于是当n2时，anSnSn1，又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3， 10. 解（1）. （2）， ， 当时，. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等. 11. 解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即数列的前10项之和为155.() =，=当m=2时，=，当m2时，=0，所以m=212. （I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一：，得即，得即是等差数列。证法二：同证法一，得令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立。（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立。根