二重积分的所有变换ppt课件

.,1,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动目录上页下页返回结束,二重积分的计算法,.,2,二重积分定义为积分和式的极限如果直接用二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法.这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分，即二次积分.,一、利用直角坐标计算二重积分,.,3,设函数在区域上连续,且当时，如果区域是由直线，与曲线所围成(称为型区域),如下图,即,型区域的特点:在内任取一点过作平行于轴的直线,则该直线与的边界曲线的交点不多于两个,.,4,为确定曲顶柱体的体积,可在处用垂直轴的平面去截曲顶柱体,设其截面面积为,.,5,从而,由定积分的应用可知：已知平行截面面积的立体的体积公式为,.,6,对固定的,此曲边梯形的曲边是由方程确定的关于的一元函数的曲线,而底边沿着方向从变到.故其面积为,.,7,这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。第一次计算定积分,时，看作是常量，是积分变量；第二次积分时，是积分变量.,这是先对，后对的两次积分(适合于型区域).,.,8,类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于轴的平面去截曲顶柱体,此时D为,这是先对，后对的两次积分.,.,9,如果去掉以上结论中关于的限制，则上述结论仍是成立的.,（）若函数可积，且D为,.,10,（）上面所讨论的积分区域是型或型区域，即平行于轴或轴的直线与区域边界曲线的交点不多于两点.若不满足这个条件,可将分块.再应用积分的分域性质来计算.,且,则,例如,.,11,由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的是如何根据区域去确定两次积分的上、下限.建议读者先将区域的图形画出，再写出区域上的点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限.,.,12,例1计算二重积分,其中为矩形：,解1先积再积,解2先积再积,.,13,例2计算二重积分,其中区域为矩形：,解因为,所以,或先积再积,.,14,例3计算二重积分.其中积分区域分别如下图所示：三角形；四分之一椭圆。,解因为下图所示的三角形区域的斜边方程是所以可表示为,.,15,前图所示的四分之一椭圆区域可表示为,因此,.,16,例4计算二重积分,其中是由三条线所围成的区域.,解易知积分区域可表为,于是,.,17,例5.计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,机动目录上页下页返回结束,.,18,例6.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,机动目录上页下页返回结束,.,19,例7.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,机动目录上页下页返回结束,.,20,例8.计算,其中D由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,机动目录上页下页返回结束,.,21,积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换,最为常用.下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二重积分.,在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆域,被积函数为形式,利用极坐标变换来计算二重积分会十分方便.,二、利用极坐标计算二重积分,机动目录上页下页返回结束,.,22,对应有,在极坐标系下,用同心圆r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区,在,内取点,及射线=常数,分划区域D为,机动目录上页下页返回结束,域的面积,.,23,即,机动目录上页下页返回结束,下面考虑如何把极坐标系下,的二重积分化为二次积分.,分三种情况来讨论:,.,24,设,则,1)极点在D之外,2)极点在D的边界上,.,25,3)设极点D之内,机动目录上页下页返回结束,.,26,若f1则可求得D的面积,思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试,答:,问的变化范围是什么?,(1),(2),机动目录上页下页返回结束,.,27,解,机动目录上页下页返回结束,.,28,例10.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动目录上页下页返回结束,.,29,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得,故式成立.,机动目录上页下页返回结束,.,30,例11.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,机动目录上页下页返回结束,.,31,解,机动目录上页下页返回结束,.,32,定积分换元法,*三、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应的,机动目录上页下页返回结束,.,33,证:根据定理条件可知变换T可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换T,在xoy面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,机动目录上页下页返回结束,.,34,同理得,当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四,边形,故其面积近似为,机动目录上页下页返回结束,.,35,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,机动目录上页下页返回结束,.,36,例13.计算,其中D是x轴y轴和直线,所围成的闭域.,解:令,则,机动目录上页下页返回结束,.,37,例14.计算由,所围成的闭区域D的面积S.,解:令,则,机动目录上页下页返回结束,.,38,例15.试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D的原象为,的体积V.,机动目录上页下页返回结束,.,39,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动目录上页下页返回结束,.,40,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,机动目录上页下页返回结束,.,41,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,机动目录上页下页返回结束,.,42,思考与练习,1.设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y互换