检测自由曲面等参数化取样点的方法与研究

检测自由曲面等参数化取样点的方法与研究Isoperimetric line sampling strategy for the inspection of sculptured surfaces 作 者 姓 名： 工 程 领 域： 学 号： 指 导 教 师： 完 成 日 期： 20 年 月 学位论文独创性声明作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。学位论文题目： 作 者 签 名 ： 日期： 年 月 日硕士学位论文摘 要目的、方法、结果、结论随着计算机的应用，运用数学方法定义自由曲线/曲面得到实际应用，大大促进了CAGD的产生和发展。应用B样条提供的方法可以依照构造形状的几何信息来建立对应的曲线/曲面方程。这些数学模型可以在计算机上通过被执行计算和处理，提取到曲线/曲面上大量的点和特征信息。在这过程中，通过计算机的分析和综合，还可以实时显示并交互设计修改所定义的形状所拥有的整体和局部信息。这一技术对数控加工、有限元分析、物理性能计算等起到了重要的推动作用。本文重点结合了基于不规则截面数据线的B样条曲线/曲面对自由曲线/曲面重构进行了研究。关键词：B样条曲线；三坐标测量机；检测；自由曲面- I -Isoperimetric line sampling strategy for the inspection of sculptured surfaces AbstractContents of the abstract. Times New Roman. Key Words：B-spline curve; CMM; Inspection; Sculptured surfacesFair fitting method 光顺拟合 skinning method 逐层截面扫描数据法sectional points 截面数据 interpolation 插值 computer-aided geometric design 计算机辅助几何设计 parametric surfaces 参数曲面 B-splines B样条 interaction techniques交互技术- III -目 录摘 要IAbstractII1 绪论11.1 研究背景及意义11.2 自由曲面检测的研究现状31.2.1 B样条曲线/曲面的研究现状31.2.2 点到曲线/曲面最小距离的研究现状41.2.3 自由曲面检测的研究现状51.3 论文主要研究内容及结构62 B样条曲线和曲面的基本理论82.1形状数学描述的几种方法比较82.2 B样条曲线的计算92.2.1 B样条曲线方程及正算反算92.2.2节点矢量的构造112.2.3基函数的计算162.2.4B样条曲线插值192.3B样条曲面的计算212.3.1 B样条曲面的定义212.4 本章小结223基于截面测量数据光顺拟合B样条曲线233.1三次均匀B样条233.2 最小二乘逼近243.3 B样条曲线的光顺拟合算法243.2.1 算法思想概述243.2.2 数学模型253.2.3 算法步骤253.4 数值算例253.4.1 不同线型的算例253.4.2 开曲线和闭曲线263.4.3 周期和非周期曲线263.4.4 已知条件不同的曲线263.5 本章小结264基于截面测量数据光顺拟合B样条曲面274.1 B样条曲面表达274.2 B样条曲面的光顺拟合算法274.2.1 算法思想概述274.2.2 数学模型274.2.3 算法步骤与实例分析274.3 数值算例274.4 本章小结275 基于轮廓特征的等参数线取样方法在CMM测量中的应用285.1 CMM检测策略285.2 数值算例285.2.1 第二节一级题目285.3自由曲线/曲面的误差/光顺性分析285.4 本章小结296 总结与展望306.1 论文总结306.2 工作展望30结 论32参 考 文 献33攻读硕士学位期间发表学术论文情况35致 谢36大连理工大学学位论文版权使用授权书371 绪论机械制造业中涉及到大量的自由曲面的造型、制造与检测，例如压铸的汽车车盖、叶轮的叶片、飞机机翼等（如图1.1），这些内容是计算机辅助几何设计（CAGD）领域的研究重点和关键所在。正因为这些自由曲面在CAD/CAM领域，特别是航空和汽车工业，有着如此广泛的应用，曲面造型所面临的有关提高精度、检测效率等新问题也愈发突出，因此，对自由曲面的加工质量进行高精度、高效率检测变得越来越重要。 图1.1 自由曲面造型的工业应用 Fig. 1.1 Industrial application of sculptured surfaces 1.1 研究背景及意义在实际的生产和生活中，常常需要建立三维物体造型，这些造型被广泛应用于计算机辅助设计与制造、计算机动画和艺术、人体模型、地表地形勘察、自然资源分布、还可以应用在军事指挥和机械产品造型方面。对于规则几何形状，可以通过数学表达式描述；对于不规则、表面呈自由曲面的物体，则可以用分割成的曲面片表示，这些曲线曲面的形状不依赖于坐标系的选取，利用直观简便的计算机辅助设计手段，就可以很轻松地离散成造型易于调整、拼接、拟合的几何形状。常用的曲线（曲面）有Bezier曲线（曲面）和B样条曲线曲面。自由曲面是指很难用简单的代数和几何公式表示的曲面，又称雕塑曲面或自由曲面。在实际工程中，常常由于效率和时间等问题无法测得自由曲面上全部的数据，因此需要通过一定的测量，获得自由曲面上的一些离散点集（这些点被要求能反映该曲面的大致轮廓，称这些点为型值点），再通过这些点集逼近生成光滑曲面。这其中涉及到曲面拟合、重构和拼接等多种方法。目前对自由曲面的高精度检测设备主要有两种：一种是三坐标测量机（Coordinator Measuring Machine，简称CMM），另外一种是激光扫描为基础的“点云”数据收集、曲面造型特征求精。而第一种方法因为具有测量精度高、设备造价低、通用性强的特点被广泛应用于工程中。如图1.2所示，CMM是一种采用点接触测量坐标的仪器，它的工作原理是：沿着理论目标点的法矢方向靠近加工曲面，获得测量的接触点坐标，认为加工误差就是实际测量点和理论值在该方向上的投影距离。因此，为提高检测效率，提高模拟曲面精度，使用CMM进行加工曲面检测时，必须首先对自由曲面进行适当的离散处理，构造能使测量逐步逼近过程能实现最终目的的合理的检测样本。判断这个检测样本是否合理的指标有两个：一是应在尽量反映自由曲面的加工情况下，同时还要兼顾检测效率和检测成本。图1.2 扫描测量 Fig. 1.2 Scanning measurement自由曲面（曲线）的测量实际上是利用测量者采集的离散点去准确表达曲面（曲线）的原始几何轮廓的过程：问题的重点在于如何分布曲面上测点的位置和数量，且高效地表达原形状，这个问题部分：（1)当样本数据数量相同时，哪种测点分布算法能最大程度地表达曲面的原始形状； (2)当测量准确度相同时，哪种测点分布算法可以减少采样点数。虽然数据点取得越密集，插值法越具有收敛性，但在工程实践中，都不希望很麻烦。人们希望能用尽可能少但又足以表达形状的数据点，方便地生成所要求的曲线或曲面。由于自由曲面的设计和加工特点，采用CMM对自由曲面构建数学模型进行测量时，得到检测点数量检测点数量的确定除了和工艺能达到的精度和检测设备置信度相关，还和曲面的面积大小呈一定正相关。因此，检测点的分布应综合考虑曲率变化和离散后曲面片的相互制约关系。考虑到非均匀有理B样条在表达曲面上有一定的特点，可以确定研究方法是对复杂自由曲面应采取分片测量，同时在几何量测量中采用优化搜索的方法，在误差范围内确定最小不合格区域，去掉不合格区域后，再继续搜索，直到达到最小距离的最大值，可以基本认为是实现了用尽量少的点最大限度的还原曲面形状。自由曲面加工中的检测取样方法确定不仅可以实现曲面重构，为后续加工曲面提供曲面模型，还能根据微分算法的改进方法求取加工自由曲面模型的误差，通过修改原理论计算所得的刀位轨迹可以实现曲面加工的误差补偿，实验证明，这种误差补偿具有良好的稳定性和准确性。因此，这种技术未来一定会在我国科研领域以及航空航天、汽车、造船和模具等制造行业带来深远的影响。2.1 自由曲面检测的研究现状1.1.1. B样条曲线/曲面的研究现状20世纪80年代中期以后，随着CAGD成为一门应用广泛的新兴学科，B样条作为该领域内最有发展前景的方法而变成人们研究的重点。1991年，NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）方法作为国际标准化组织（International Standardization Organization, 也就是人们熟知的ISO）规定的定义产品形状的唯一数学方法，用于表示用计算机处理的产品模型形状的数据表示、设计和交换的工业标准。历史上对非均匀B样条曲线和曲面有过突出贡献的是Piegl和Tiller1。他们所著的The NURBS Book作为一本经典之作详细地介绍了有关曲线和曲面的基本理论，将Bezier-B样条-NURBS作为学科主线，将理论和应用的研究不断推进。国内刘鼎元教授等2在1981年发表了有关Bezier曲线和B样条曲线光顺拟合法的研究，提出了便于实现交互设计的权因子。在这基础上，刘鼎元又在文献3中提出次的Bezier曲面拟合的算法。Woodword4在1988年提出了一种针对截面测量数据进行B样条插值曲面的算法，该算法主要针对的是拥有同样个数的截面数据类型，尤其是封闭的自由曲面类型往往容易出现波动、折皱、光顺性差等情况，因此该种方法适用范围也很受限。综合以上文献可知，目前对自由曲线曲面的研究无论是用B样条还是Bezier，无论是曲线还是曲面拟合，其关键主体步骤都是曲面重构看是否在允许的误差范围内，因此构造数学模型，求取合理的定点进行插值拟合，计算拟合精度是本方向研究的关键。目前的研究工作仍面临着以下问题：（1） 点到曲线/曲面的最小距离的算法仍需探讨；（2） 如何构造合理的曲线/曲面数学模型进行重构曲线/曲面；（3） 拟合精度的判断标准。1.1.2. 1.2.2 点到曲线/曲面最小距离的研究现状重构自由曲线/曲面，其实就要检测自由曲线/曲面拟合过程中和原模型之间的误差是否在精度范围内的问题，这就势必要涉及到求取点到参数曲线和曲面的最小距离的问题。求一个定点到曲线/曲面的最小距离是微分几何学和CAD/CAM中的基本问题，在向量空间中，通常解决点到曲线/曲面的最小距离这一问题运用的方法是过该定点向参数曲线/曲面进行空间投影。它的应用范围很广泛，在曲面求交、数控加工刀具轨迹规划、曲面匹配、轮廓度误差评定等领域中都有着十分重要的地位。因此，研究有效且精确的点到参数曲线/曲面最小距离的方法十分必要。牛顿迭代法是最初被提出来并广泛使用的一种求点到参数曲线/曲面最小距离的方法。Mortenson在5中曾经提出点到不同类型曲线/曲面的最小距离的度量方程，并采用牛顿-拉斐尔算法找到多项式的根求解方程。文献6提出求点到参数曲线/曲面最小距离最关键的问题是求解非线性方程组，作者提出通过构造辅助方程的方法可解。之后，文献7提出了一种计算点到曲面的投影的二阶算法作为改进。牛顿型求解点到曲线/曲面最小距离的方法具有计算精度高、速度快、算法思想简单易懂、易于编程的特点，因此该类型在CAD/CAM领域被广泛采用。但是，这些利用牛顿型的计算方法虽然有这么多优点，但是由于对初始值很敏感，稳定性和有效性并不是那么理想。在求解过程中要想实现对于最优解的收敛必须使每一步迭代的初始值都是良好的，否则就会在逐步迭代的过程中发生离散或者循环的情况，尤其是当目标解位于临近边界位置或端点位置时。为了解决这一问题，一方面，文献8提供了一种实用的算法用于找到牛顿算法中良好的初值。另一方面，2001年Piegl和Tiller9给出了一种求取点到非均匀B样条曲面（NURBS）投影的方法，该算法的思想是：将非均匀B样条曲面分解成多个四边形曲面片，将定点投影到最近的曲面片上，然后根据这个最近的曲面片还原定点的参数值。之后，Ma和Hewitt在文献10中提出了将NURBS曲线分割成Bezier曲线段、将NURBS曲面分割成Bezier曲面片的细分算法，这种方法算法的主要步骤有三步：首先分析出被分割出的曲线段或曲面片的控制顶点与定点的关系，之后根据Bezier曲线或曲面的强凸包性搜索出待定的曲线段/曲面片，最后通过分别计算定点到待定曲线段/曲面片上的待定点的距离，比较得出距离最小的点作为该待定曲线段/曲面片上的牛顿型迭代初始点。很显然，综合以上文献研究，求取点到参数曲线/曲面的投影或交点问题关键就在于两个方面，第一，找到合适的初始值进行迭代；第二，用牛顿型迭代算法或其他迭代算法进行方程组计算精确求解。值得注意的是，这些初始值一般是通过离散的曲线/曲面获得，如果同时存在多根时将无法保证能够获得全部的解。1.1.3. 1.2.3 自由曲面检测的研究现状生产自由曲面的过程通常包括自动刀具轨迹生成、后置处理、数控加工以及最终的曲面检测几个步骤。而检测复杂自由曲面的精确度主要受到以下几个因素影响：计算机辅助制造系统算法误差、机床传动系统误差以及在这过程中产生的测量误差。总体来说，目前检测自由曲面的主要方法是利用三坐标测量机实现数字化模型来检测和作者预期达到的CAD模型之间存在的误差范围。由于物体三维数据的获取方法多种多样，且应用计算机辅助设计和制造的环境类型也很繁复，必须根据不同的输入输出要求，采取合适的方法，才能有效的进行被测物体表面尤其是复杂自由曲面的重构，满足使用者的需求。现阶段用于检测自由曲面的方法，无论是在论文中提及到的，还是应用在工业生产中的，都是在生产曲面上进行离散样本取点，通过估计和所构建的CAD模型之间的误差来确定检测结果。但是，这种取样方法受限于生产曲面和具体实例曲面之间的差别。用三坐标测量机检测的难点主要在于取样点的分布，这种方法一般来说三个步骤。首先，模拟出要被测量的特征，在普通测量数据基础上添加轮廓误差模式。其次，提出多种取样模式。第三，构建替代曲面，比较它和所建模型之间的误差，特征模型和替代曲面之间的最大误差通常被用来确定取样的方法。在机械工程领域，这种根据部分数据点还原设计的过程叫做逆向工程。逆向工程主要是针对传统的正向设计过程而言的，从已存在实物模型入手，首先通过各种测量手段获得数字化信息，然后利用曲面重构技术快速准确地建立CAD模型，再在工程分析的基础上，对产品进行数控加工。图三为逆向工程系统流程图。图三 逆向工程流程图目前文献中已经有很多关于原始形状取样的研究。这些研究的主题不外乎形状误差、取样方法，和替代曲面算法的交叉。一些文章的主题跟三维曲线、平面、锥形、球形有关；还有一些写的是柱形曲面。这些文献都提出不同的形状应该取不同的样本点，且随着曲面面积增大，取样数据精度提高。并且，统一的样本对于具有几何特征曲面上的点分布并不是必要的高效的取样方法。曲面之间的误差和曲面信息还原速度跟采样点密度有关，在曲面曲率形同或相近的情况下，可以均匀划分采样点，在曲面曲率相差较大的情况下，曲率大的地方采样点可以取密一些，曲率小的地方采样点取稀疏一些，这样既可以保证曲面的精度又可以提高还原曲面信息的效率。自由曲面检测产生的误差主要来源有：XXXXXX。这些误差和初始采样点的确定，网格的划分以及控制多边形的构成方式有关。采样点的初始位置选取对曲面形状的误差影响很大，同时对效率也有很大影响，因此，为避免之后没你差值拟合后误差积累越来越大，要合理控制初始数据点的选取。3.1 1.3 论文主要研究内容及结构随着现代工业的发展和数字化信息时代的到来，工业生产对自由曲面的重构、检测和造型等方面的要求与日俱增，一方面人们希望可以提供既实用简单又几何直观的结果，另一方面对精度和效率的要求也越来越高。本文结合B样条曲线/曲面的基础知识，从一维曲线的构造、反求和拟合推广到二维B样条曲面的构造、反求和拟合，其中还包括了对拟合精度和效率（迭代次数）作为评判指标的具体描述，从理论和仿真实验上分别对自由曲面的重构进行了研究。本文的主体内容和结构安排如下：第一章：绪论。首先阐述了本文的研究背景和应用，突出了重构自由曲面的意义。之后总结了重构自由曲面的相关技术的研究现状，最后梳理了本文的主要内容和结构安排。第二章：基于截面测量数据光顺拟合B样条曲线。对B样条曲线的基础知识进行了简要而全面的回顾，提出光顺拟合B样条曲线的关键的三个技术：B样条曲线的构造、反求控制点、B样条曲线的节点插入和在精度内的拟合。重点研究了反求控制点时的三种边界条件，以及点到曲线最小距离的算法，并通过实验对其适用性进行了分析和比较。第三章：基于上一章截面测量数据光顺拟合B样条曲线探讨B样条曲面的拟合。详细推广了B样条曲面的构造、控制点反求和拟合技术。在这些关键技术中，由于扩展到二维曲面上给计算带来很多难度，重点研究了点到曲面的最小距离算法，给出了数学模型和算法步骤，并通过大量算例实验对本文所提出的光顺拟合B样条曲面的方法给出了针对性验证。第四章：提出了光顺拟合B样条曲面在模具检测方面的应用。首先介绍了CMM的自适应采样现金的发展状况和意义，其次针对车灯模具进行了具体的实例分析，采用自由曲面的光顺性分析误差，最后利用MATLAB软件进行汽车车灯外形轮廓的还原的仿真实验，取得了较好的结果。第五章：总结与展望。最后一部分对全文进行了总结概括，基于存在的难点和实际问题给出了实事求是的展望，明确了未来本领域研究的方向和重点。2 2 B样条曲线和曲面的基本理论对于实体造型而言，曲线/曲面的理论发展和实际应用已经比较成熟，这些理论主要集中在对曲线/曲面的数学描述方面。通过这些理论，可以实现对自由曲线/曲面的表示和设计。这一章就针对几种主要的、在实际工程应用中使用较广泛的表示方法进行系统的介绍、分析和比较。2.1 形状数学描述的几种方法比较人类历史上自由曲面造型的研究方法经历了很多重要的发展过程，为了更好地了解和比较这些方法，下面就列出形状数学描述的发展主线。1963年弗格森（Ferguson）11最早提出利用含参数的矢函数方法来表示曲线曲面，他提出的弗格森双三次参数曲面片是由三次参数曲线引出得来的，并且构造了关于曲面片的组合曲线段，求取四个角点的矢量位置关系，和两个不同的切矢方向。1964年孔斯（Coons）12提出了给定封闭曲线的四条边界线段就可以定义一个曲面片的曲面描述犯法，这是一个针对一般化的方法，即推广之后就变成了现代应用广泛的Coons双三次曲面片。1967年舍恩伯格（Schoenberg）13提出参数样条函数表示方法，这种方法广泛应用于曲线/曲面插值问题，然而却无法调整造型的局部性状自由度。1972年法国雷诺（Renault）汽车公司的贝齐尔（Bezier）14提出了Bezier方法，他利用的是控制多边形的方法来定义曲线，这种方法可以仅通过移动控制顶点的位置就轻松改变曲线的形状，且形状变化可控可测，完美地解决了整体造型的控制修改问题。这种简单易行的方法广泛被接受，并为CAGD的发展奠定了坚实基础。同年发表的还有德布尔（de-boor）15给出的一套关于B样条的标准算法，在这基础上美国的戈登（Gordon）及李森菲尔德（Riesenfeld）16提出了B样条曲线及曲面。这种用B样条曲线曲面描述形状的方法不仅可以实现局部修改，还能保证参数连续性的连接。这之后，B样条的研究形成了包含控制多边形顶点的计算、节点的删除与插入17、B样条升降阶18等一系列配套理论。在这之后，福斯普利尔（Versprille）19提出了将B样条理论推广到非均匀B样条的研究，后来随着深入研究，NURBS作为国际认证的定义工业产品的几何形状的唯一国际标准，被多个知名的CAD/CAM软件操作系统应用开发，通过全球范围的工业生产实践应用，有力地推动了自由曲面造型的实际应用。虽然上述方法都具有历史性的意义，对于推动CAGD的发展做出了突出贡献，但是应该看到，这些方法并不是尽善尽美的，应该从客观的角度来评判和比较这些方法，以便日后人们在实际工业生产中能够有针对性的采取不同方式构造形状，提高生效效率和精度。表 0.1中列出的是对上述几种形状描述方法的比较，从此表中可以清晰地看出它们之间的方法、特点及不足之处。表 2.1 几种形状描述方法的比较Tab.2.1 Comparison of different methods of shape description方法特点不足弗格森参数矢函数法弗格森双三次曲面片，是最早提出的描述曲线曲面的标准形式没有配套的理论基础，不够完善孔斯曲面法孔斯双三次曲面片，将角点扭矢由弗格森的零矢量变成非零矢量，便于插值涉及切矢和扭矢，计算不方便，形状控制和连接难把握样条函数法解决了连接问题，插值精度高，构造整体形状时简单方便不存在局部形状调整，样条形状难以预测贝齐尔曲面法控制多边形整体逼近，角点位于曲面片上，简单实用控制多边形顶点数直接决定曲面阶数，缺乏局部修改性B样条曲面法阶数与控制顶点数目无关，且局部可修改，曲面片之间可以无条件光顺连接曲面片一般不通过控制多边形网格的任一顶点NURBS曲面法对标准的解析曲线（如椭圆曲线等）和自由曲线提供了统一的数学描述，除有 B样条曲线的节点删除、插入、修改、细化以及通过控制顶点修改曲线形状等优点外，还具有可通过修改权因子来完善曲线的特点计算量巨大，存储量较大，对设备的配置有一定要求；且当权因子为零或负值时，容易导致计算不稳定，结果产生畸变考虑到本文的主要内容是依据是曲面造型的截面上的数据线构造B样条曲线和曲面，因此下面着重介绍B样条曲线和曲面的基本理论。4.1 2.2 B样条曲线的计算2.1.1. 2.2.1 B样条曲线方程及正算反算P次的B样条曲线方程如下： ， 其中：， 为控制点或控制顶点（control points），又称De-boor点。依次顺序连接成折线，折线组成多边形，叫做B样条控制多边形（control polygon）。，是p次规范B样条的基函数，它们每一个都被称为规范B样条，简称B样条。是定义在非周期且非均匀节点矢量上的p次B样条基函数，规定节点矢量是包含个节点，且参数非递减的序列U： 由节点矢量所决定的p次分段多项式就是p次多项式样条。是参数曲线上对应参数u的点集。在本文中，除特殊声明外，一般规定节点矢量的前后重复节点为0和1，即 ， 。在B样条曲线的计算中，如果控制顶点和节点矢量U已知，要求曲线上的点，这个过程叫做“B样条曲线的正算”，简称为“正算”。如图2.1所示，计算B样条曲线上的对于固定的u值的对应点步骤如下：（1） 首先，确定u在节点矢量中的位置，即确定u所在节点区间；（2） 然后，计算非零的基函数值；（3） 最后，将非零的基函数值与它所对应的控制点相乘，再求和。图 2.1 B样条曲线正算实例Fig.2.1 Compute the B-spline curve from control points如果在B样条曲线的计算中，已知条件为曲线上的若干型值点和节点矢量U，可以反求出控制顶点，再由控制顶点算出这条曲线上的全部点，这个过程恰好与正算是相反的，因此在B样条技术中简称为“反算”。如图2.2所示，根据插值点构造节点矢量的“反算”计算步骤如下：（1） 由若干型值点计算出对应的节点矢量U；（2） 根据一定的边界条件反求出对应的控制顶点；（3） 找出所有的非零基函数；（4） 将非零基函数与对应的控制顶点相乘，再求和得到B样条曲线上所有的点，插值得到该曲线。图 2.2 B样条曲线的反算实例Fig.2.2 Compute the B-spline curve from points on curve2.2.2 节点矢量的构造在B样条曲线技术里，控制顶点、曲线上的型值点和节点矢量U为三个必要组成部分，其中和通常一个为已知量，一个为未知量。但无论实际应用时是哪一种情况，要确定一条B样条曲线，必须要确定节点矢量U，进一步可求B样条基函数。因此，根据已知量的不同，下面给出了两种不同的确定节点矢量的算法：（1） 当已知曲线上的若干型值点，时，这些已知的点称为插值点，此时节点矢量U由插值点计算得出。假设目标是构造一条p次B样条曲线，已知一组数据点，利用反算过程求取节点矢量时，一般是让B样条曲线的首末端点与所给数据点重合，让内部的数据点和曲线中间的节点一一对应，这样曲线就被中间节点分成了一段一段的曲线段。因此，要实现这个步骤的关键问题是将数据点与B样条曲线定义域内的节点依次对应，这里将对应的节点值定义为，这是因为一般在曲线的首端点处存在p个值为0的重节点（因为构造的是p次B样条曲线，这些重节点不在定义域内），曲线的定义域为。这样，就可以由个控制顶点和对应的节点矢量 确定一条p次B样条插值曲线。这里要解决的关键问题是对一组有序的数据点进行参数化(parameterization)，想要求出唯一的一条插值于数据点，的参数差值曲线，就必须先求出每个数据点多对应的参数值，即节点（knot）。打个比方，数据点参数化的过程就可看成是物理中对运动轨迹的描述，参数u是时间节点，数据点的位置就是质点到达的位置，每个位置都与时间参数一一对应。对于同一组数据，采取相同的插值算法，但采取不同的参数化方法也会获得不同的插值曲线。因此，在实际工程应用中，人们希望尽量使用能够充分使用已知数据点，构造满足曲线优良性质的参数化方法。目前对数据点进行参数化的方法主要有四种：向心参数化法、均匀参数化法（又叫等距参数化）、积累弦长参数化法（简称弦长参数化）、Foley参数化法（又称修正弦长参数化法）20。积累弦长参数化法可以看成是粗略的弧长参数化，这种方法使得插值曲线有很好的光顺性，如图 0.3表示的是三次B样条曲线插值实例。 其中， 称向前差分矢量，为弦线矢量。图 2.3 三次B样条曲线插值实例Fig.2.3 Interpolation use accumulate chord length on curve这种参数化方法跟均匀参数化方法相比，克服了数据点不均匀但弦长完全分布均匀而造成的光顺性不好的缺点，因此一直被实际应用中广泛使用。在较多情况下，使用积累弦长参数化的方法生成的曲线可以看成是粗略的用弧长进行的参数化，切矢模长比较接近单位长度，这也是它具有良好光顺性的原因。值得注意的是，光顺性除了与参数化方法有关，还与曲线插值多用方法有关，因此应当全面考虑。当数据点取得足够密且曲线的插值法选取得当时，插值曲线会收敛在一定精度内，可以看成是近似弧长参数化的曲线。但是在工程实践中，人们希望用尽可能少的点来尽量全面完整地表述曲线/曲面的形状信息，因此，数据点也不能过多。（2） 当控制顶点，为已知条件时，由控制顶点计算节点矢量U。用控制顶点构造节点矢量时，通常的做法是：为了使构造的曲线具有同的Bezier曲线的端点几何性质，令曲线首末端点处的节点矢量重复度取。由前面公式可知，因此定义曲线的有效定义域为，因此，。因为首末的重复节点对曲线的形状控制影响不大，因此我们只需要根据已知的控制顶点求出对应的内部节点即可。这里介绍两种常用方法。 Riesenfeld法1980年，Cohen E, Lyche T, Riesenfeld R在文献21中提出了一种将控制多边形近似看成是样条曲线的外接多边形的方法，步骤为先令曲线段的每一段首末端点与控制顶点或控制多边形的边对应起来，然后再将它们展平开来并规范参数化，最后得到节点矢量U的参数序列。设控制多边形各边长分别为， ，边长总长度为 ，若是偶次的B样条曲线，那么假定所有 个分线段连接点将和控制多边形上除端点各 条边以外的条边的中点相对应；如果是奇次的B样条曲线，则假定所有 个分线段连接点将和控制多边形上除端点各 条边以外的条边的中点相对应，如图 0.4所示。图 2.4 奇次B样条曲线段连接点对应的控制多边形Fig.2.4 Interpolation use accumulate chord length on curve下面以三次B样条曲线为例，求取规范化后的节点矢量：首末端点的重复度为： 最后可得： Hartley-Judd法在文献22中提到一种不需要区分奇次和偶次B样条曲线的求节点矢量的方法，这种方法是利用相应的控制多边形顺序p条边的和代替相邻顶点之间的距离，即：， 将所有节点求和后推导出： ，曲线定义域范围是： 。下面是用Hartley-Judd法构造的三次B样条曲线， ，因此节点矢量为 ，定义域为 。把分段曲线段加在一起的总长度设为，有： 因为： ，有： ， ， 由此可以得知，定义域内所有节点矢量可求，其中 ，图示如图 0.5。综上比较两种已知控制顶点求节点矢量的方法，不难看出，用Hartley-Judd法比较合理，这是因为它既不用因此次数的奇偶性不同而可能导致相邻分段连接点的参数值差与相邻控制顶点的距离不成正比，又因为用 个控制顶点来构造相应的B样条曲线可以将曲线分成条曲线段，其中每段曲线段的形状都只受若干顶点影响，这符合B样条曲线的局部性，这样在工程实际中避免了全局修改的麻烦。图 2.5 Hartley-Judd法求节点矢量Fig.2.5 Determine the node vector with the Hartley-Judd method2.2.3 基函数的计算有很多等价的研究B样条基函数的定义方法，它们都证明了B样条基函数的一些重要性质，如下表 0.2是几种B样条基函数的定义方法和优缺点比较。 表 2.2 几种B样条基函数的定义Tab.2.2 The definition of several kinds of b-spline basis function算法名称定义方法优点缺点幂函数在高端截尾(uppertruncation)差商定义基本定义，具有分形性质（即尺度不变性）对于高阶B样条和节点分布极不均匀的情况，计算结果很不稳定截尾幂函数开花定义（blossoming）Clack算法从几何概念提出定义定义简单Cox-De-boor算法递推定义计算简便、稳定有效由于考克斯-德布尔算法采用的是递推定义，在计算机运算中很容易被有效实现，因此这种方法最为常用。下面就详细介绍这种方法以及基函数的重要性质。节点矢量是一个单调不减的实数序列，即在中每个节点都满足， 。用 表示第个次（ 阶）的B样条的基函数，其递推定义为： 上述公式就被称为Cox-de Boor递归公式。和Bezier曲线的基函数相比，B样条的曲线也可以用作权重且更复杂。另外，它还具有两个特性：（1） 节点细分（subdivision）了整个定义域；（2） 基函数是一个分段函数，且不是在整个区间内非零；事实上，每个B样条基函数在附近的一个子区间内非零，它的本质是一个定义在实数轴上的分段多项式函数，因此，B样条基函数拥有很明显的局部性质。例如，如果有四个节点 ， 和 , 节点区间被划分成 ， ， ，0次基函数在有，在其它区间是0；在 上成立，在其它区间为0；在上，在其它区间是0。如下图显示。图 2.6 基函数的阶梯函数表示Fig.2.6 Step function representation of basis functions当时，计算 的方法使用的是三角计算格式。所有节点区间列在左边第一列，所有零次基函数在第二列。其计算过程见下图。图 2.7 计算p次基函数的过程（三角形阵列）Fig.2.7 The process of calculation basis function of complex curve (triangular array)根据公式可知，要计算后一列的数，就必须知道前一列这个系数对应的两个三角区域内的另外两个系数，由这样递推计算可以将所有的系数都计算完毕。例如，举个例子，要计算 的值，首先要计算 和，由定义有： 带入节点值有： 因为在和上非零，而在和上非零，所以有一下三种情况讨论：（1） 当，只有对的值有贡献，因为，所以有： （2） 当，和都对的值有贡献，此时，带入得到： （3） 当，只有对的值有贡献，此时，带入： 对这三种情况画图进行分析，若将两个相邻的曲线段连接可以形成在节点上的曲线。确切地说，情况（1）和（2）在 处连接，情况（2）和（3）在 处连接，合成的曲线是光滑的，这是因为节点向量中不存在重节点，若存在重节点则可能对曲线在该重节点处的可微性造成影响。具体重节点对B样条曲线的影响可详见第三章。综上所述，运用递推算法对基函数进行计算有两个重要观察：（1） 基函数在 个节点区间 ， ， 上非零，即 在 上非零；（2） 在任何一个节点区间，最多有 个次基函数非零，即： ，和 。最后，研究一下上述式子中定义里两项系数的意义。当计算时，使用的是和。在上非零。当时，是距离这个半开区间左端的距离，区间长度为，其中存在，它表示的是上述距离的比，见图 0.8。当时非零，在此区间内时，是距离这个半开区间右端的距离，是区间长度，而表示这两个距离。由此可以得到结论，是和的线性组合，且存在两个在上的系数使其满足线性关系。图 2.8 基函数递推定义中系数的几何意义Fig.2.8 Geometric meaning of coefficient in basis function recursive definition 2.2.4 B样条曲线插值给定一组有序的数据点 , i=0,1,n, 即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其图形为一曲线），使在原离散点上尽可能接近给定的值，这就是曲线拟合。假如这些点是取样点，要求构造一条曲线顺序通过这些型值点，这个过程就叫做对这些数据点插值，这些数据点叫做插值点，插值后构成的曲线就是插值曲线。把一维曲线插值推广到二维曲面，就会产生类似的插值曲面等概念。在给定的n+1个节点上的函数值可以作n次插值多项式，但当n较大时，高次插值不仅计算复杂，而且可能出现龙格（Runge）现象。 增加新节点x，并且f(x)为(n+1)阶可导时，有： 用三次样条函数S(x)逼近f(x)是收敛的，并且也是数值稳定的，但其误差估计与收敛定理的证明都比较复杂，有定理结论：设f(x)是a, b上二次连续可微函数，在a, b上，以 为节点三次样条插值函数S(x)满足： 其中。而利用三次样条绘制的曲线不仅具有较好的稳定性和收敛性，还有很好的光滑度，当节点逐渐加密时，其函数值在整体上能很好的逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数，而不会出现龙格现象，这就满足了许多实际问题的要求。如图 0.9是一条光滑三次B样条插值曲线实例图 2.9 三次B样条插值曲线实例Fig.2.9 Cubic B-spline interpolation curve instance2.3 B样条曲面的计算2.1.2. 2.3.1 B样条曲面的定义样条曲面是曲线的推广。在微分几何里，仿照样条曲线的方程，可以把曲面表示成含双参数和的矢函数： 用基表示成一种特殊的矢函数形式，即： 其中，分别为以为变量的一组基函数，表示曲线。各取它们一组相乘即可得到一组定义曲面的双变量基函数。是系数矢量。在解析几何里，这种用参数表示的曲线/曲面称为参数曲线/曲面，和隐函数、显函数等非参数形式相比具有以下优点：（1） 几何不变性：基不随坐标变换而变化，因此可通过某种变换处理达到表示结果简便的效果；（2） 易于规定曲线/曲面的范围，易于表示空间曲线/曲面；（3） 用基表示曲线/曲面易于计算，易于处理多值问题；（4） 易于分片、分段描述曲线/曲面。5.1 2.4 本章小结本章首先介绍了形状数学描述的几种方法，分别对它们的优缺点进行了比较。然后，从B样条的定义出发介绍了B样条曲线的正算反算、节点矢量、基函数和插值。其中，详细地介绍了B样条曲线的基函数，并给出了具体的计算例子，这是因为基函数决定了曲线/曲面的性质，而系数矢量决定的是曲线/曲面的形状。最后，由于B样条曲面是由B样条曲线扩展而来的，曲面论上对定点的临近性态定量描述都是由曲面上某条曲线引出的，而曲线和曲面实际上就是分别用单参数和双参数基表示的矢函数形式，因此基于这一事实，第三小节对曲面的定义和计算进行了介绍，并用matlab仿真给出了实际算例。3 基于截面测量数据光顺拟合B样条曲线在计算机辅助设计中，目前应用的主流的适用于曲线/曲面造型的方法包括：参数样条函数、Bezier曲线/曲面和B样条曲线/曲面。而在实际工程中，关于曲面造型的方法大致可以分成两类：模型设计和参数设计。（1） 模型设计：就是根据已有的模型外观和一定的数据信息，用计算机在一定公差范围内根据这些数据点构造相应模型。例如：传统的汽车工业中，车身造型一般先由美工师傅手工制作出车身的油泥模型，测得实物模型上的数据点，然后用样条函数、Bezier曲面或B样条曲面去拟合。还有一种利用光顺曲线/曲面拟合出设计模型的型值点，这种情况可见于船体造型的线型数学放样和航空航天的模线放样。（2）参数设计：和模型设计相反，是设计人员先确定设计概念，可能只从一些粗略的方案中获得原始参数，然后根据这些参数决定曲线的控制多边形顶点，再将这些多边形线联结成决定曲面的控制多边形网格。例如：冲动式汽轮机中的叶轮一般就是属这类造型，从头设计。虽然前人给我们的研究开拓了宝贵的财富，但采用文献2和文献4两种方法拟合曲面却拥有一个共同的不足之处，那就是它们对初始数据点都要求呈现规则的拓扑矩形阵列，针对截面测量所得的数据也要求测量点数完全相同，然而结合工程上我们遇到的实际问题来看，这样显然是不满足那些测量数据不均匀的常见情况的。因此，结合本文将这两种方法结合起来，提出了一种针对各截面测量数据可以不等的光顺拟合B样条曲线/曲面的方法，分析拟合精度并给出了大量的数值算例。考虑到在实际工程中，原始测量数据点是通过测量工具，例如三坐标测量机的测量来采集的，这种方法本身就存在一定测量误差，因此本文只给出了曲面造型的基本框架而并不要求该造型曲面严格地通过每个测量出的型值点，这样拟合出来的曲面更符合工程实际要求。3.1 三次均匀B样条三次均匀B样条： /p-341163234.html/p-341163234.html重节点对B样条曲线的影响/tuqu/article/details/53504816.1 3.2 最小二乘逼近大厚书P56、320、7.1 3.3 B样条曲线的光顺拟合算法光顺性（smoothness或fairness）是在CAGD中应用很广泛但目前仍没有统一的判据。基于物理形成的变形曲线总是光顺的事实以及实际需要的角度，可以提出过同一组数据点且具有相同边界几何约束的两条平面插值曲线相对光顺性的四项判据：a)二阶几何连续（指位置、切线方向与曲率矢量连续，简称曲率连续，记为G2）；b)不存在奇异点与多余拐点；c)曲率变化较小；d)应变能较小。这里的边界几何约束是指边界条件中与参数无关的那些几何信息，如切线方向和曲率，与参数有关的信息如切矢模长等不包含在内。将光顺判据定位于几何连续是因为二阶参数连续并不能保证切线方向与曲率连续，而其逆命题切线方向与曲率连续也不以