高考物理选修知识点知识讲解动量守恒定律基础

动量守恒定律编稿：张金虎 审稿：吴楠楠 【学习目标】1.能用牛顿运动定律推导动量守恒定律；2.知道动量守恒定律的适用条件和适用范围；3.进一步理解动量守恒定律，知道定律的适用条件和适用范围，会用动量守恒定律解释现象、解决问题【要点梳理】要点一、动量守恒定律 1系统 内力和外力在物理学中，把几个有相互作用的物体合称为系统，系统内物体间的相互作用力叫做内力，系统以外的物体对系统的作用力叫做外力2动量守恒定律 （1）内容： 如果一个系统不受外力或者所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变 （2）动量守恒定律的数学表达式： 即系统相互作用前的总动量和相互作用后的总动量大小相等，方向相同系统总动量的求法遵循矢量运算法则 即系统总动量的增量为零 即将相互作用的系统内的物体分为两部分，其中一部分动量的增加量等于另一部分动量的减少量 当相互作用前后系统内各物体的动量都在同一直线上时，动量守恒定律可表示为代数式： 应用此式时，应先选定正方向，将式中各矢量转化为代数量，用正、负号表示各自的方向式中为初始时刻的瞬时速度，为末时刻的瞬时速度，且它们一般均以地球为参照物 （3）动量守恒定律成立的条件： 系统不受外力作用时，系统动量守恒； 若系统所受外力之和为零，则系统动量守恒； 系统所受合外力虽然不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动量可看成近似守恒； 系统总的来看不符合以上三条中的任意一条，则系统的总动量不守恒但是，若系统在某一方向上符合以上三条中的某一条，则系统在该方向上动量守恒要点诠释：为了方便理解和记忆，我们把以上四个条件简单概括为：为理想条件，为近似条件，为单方向的动量守恒条件3动量守恒定律的适用范围 它是自然界最普遍、最基本的规律之一不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领域小到微观粒子，大到天体，无论内力是什么性质的力，只要满足守恒条件，动量守恒定律总是适用的 4运用动量守恒定律解题的基本步骤和方法 （1）分析题意，确定研究对象在选择研究对象时，应将运动过程的分析与系统的选择统一考虑 动量守恒定律的研究对象是系统，为了满足守恒条件，系统的划分非常重要，往往通过适当变换划入系统的物体，可以找到满足守恒条件的系统 （2）对系统内物体进行受力分析，分清内力、外力，判断所划定的系统在其过程中是否满足动量守恒的条件，若满足则进行下一步列式，否则需考虑修改系统的划定范围（增减某些物体）或改变过程的起点或终点，再看能否满足动量守恒条件，若始终无法满足动量守恒条件，则应考虑采取其他方法求解 （3）明确所研究的相互作用过程的始、末状态，规定正方向，确定始、末状态的动量值表达式 （4）根据题意，选取恰当的动量守恒定律的表达形式，列出方程 （5）合理进行运算，得出最后的结果，并对结果进行讨论，如求出其速度为负值，说明该物体的运动方向与规定的正方向相反要点二、与动量守恒定律有关的问题1由牛顿定律导出动量守恒定律的表达式以两球碰撞为例：光滑水平面上有两个质量分别是和的小球，分别以速度和（）做匀速直线运动。当追上时，两小球发生碰撞，设碰后二者的速度分别为、。 设水平向右为正方向，它们在发生相互作用（碰撞）前的总动量：，在发生相互作用后两球的总动量：。 设碰撞过程中两球相互作用力分别是和，力的作用时间是。根据牛顿第二定律，碰撞过程中两球的加速度分别为，根据牛顿第三定律，、大小相等，方向相反，即所以 碰撞时两球之间力的作用时间很短，用表示，这样加速度与碰撞前后速度的关系就是，代入整理后可得或写成即这表明两球碰撞前后系统的总动量是相等的。要点诠释：这就是动量守恒定律的表达式本题需要一段推导、论证的过程，要求学生学会论证表达严密的推导过程，这是高考的新动向，要加强这方面的训练2对动量守恒定律的理解 （1）研究对象：牛顿第二定律、动量定理的研究对象一般为单个物体，而动量守恒定律的研究对象则为两个或两个以上相互作用的物体所组成的系统 （2）研究过程：动量守恒是对研究系统的某过程而言（如内力远远大于外力），所以研究这类问题时要特别注意分析哪一阶段是守恒阶段 （3）动量守恒的条件是系统不受外力或所受的合外力是零，这就意味着一旦系统所受的合外力不为零，系统的总动量将发生变化所以，合外力才是系统动量发生改变的原因，系统的内力只能影响系统内各物体的动量，但不会影响系统的总动量 （4）动量守恒指的是总动量在相互作用的过程中时刻守恒，而不是只有始末状态才守恒实际列方程时，可在这守恒的无数个状态中任选两个状态来列方程 （5）系统动量守恒定律的三性： 矢量性：公式中的和都是矢量只有它们在同一直线上时，并先选定正方向，确定各速度的正、负（表示方向）后，才能用代数方程运算，这点要特别注意 同时性：动量守恒定律方程两边的动量分别是系统在初、末态的总动量，初态动量中的速度必须是相互作用前同一时刻的瞬时速度，末态动量中的速度都必须是相互作用后同一时刻的瞬时速度相对性：动量中的速度有相对性，在应用动量守恒定律列方程时，应注意各物体的速度必须是相对同一惯性参考系的速度，即把相对不同参考系的速度变换成相对同一参考系的速度，一般以地面为参考系3由多个物体组成的系统的动量守恒 对于两个以上的物体组成的系统，由于物体较多，相互作用的情况也不尽相同，作用过程较为复杂，虽然仍可对初、末状态建立动量守恒的关系式，但因未知条件过多而无法求解，这时往往要根据作用过程中的不同阶段，建立多个动量守恒方程，或将系统内的物体按作用的关系分成几个小系统，分别建立动量守恒定律方程 求解这类问题时应注意： （1）正确分析作用过程中各物体状态的变化情况，建立运动模型； （2）分清作用过程中的不同阶段，并找出联系各阶段的状态量； （3）合理选取研究对象，既要符合动量守恒的条件，又要方便解题要点诠释：动量守恒定律是关于质点组（系统）的运动规律，在运用动量守恒定律时主要注重初、末状态的动量是否守恒，而不太注重中间状态的具体细节，因此解题非常便利凡是碰到质点组的问题，可首先考虑是否满足动量守恒的条件4动量守恒定律应用中的临界问题 在动量守恒定律的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界问题分析临界问题的关键是寻找临界状态，临界状态的出现是有条件的，这个条件就是临界条件临界条件往往表现为某个（或某些）物理量的特定取值在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键【例】如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速率均为甲车上有质量的小球若干个，甲和他的车及所带小球总质量，乙和他的车总质量甲不断地将小球一个一个地以的水平速度（相对于地面）抛向乙，并被乙接住问：甲至少要抛出多少个小球，才能保证两车不会相碰？ 【解析】两车不相碰的临界条件是它们最后的速度（对地）相同，由该系统动量守恒，以甲运动方向为正方向，有 ， 再以甲及小球为系统，同样有 ， 联立解得个5动量变化的大小和方向的讨论动量的变化是矢量，因动量的变化（动量的增量）是物体的末动量跟物体的初动量的（矢量）差，即。它的方向是由和共同决定的，它的运算符合矢量运算规则，要按平行四边形定则进行。特别是当与在一条直线上时，在选定正方向后，动量的方向可用正负号表示，将矢量运算化为代数运算，计算结果为“+”，说明其方向与规定的正方向相同，计算结果为“”，说明其方向与规定的正方向相反。 6动量守恒定律的一般解题步骤确定研究对象(系统)，进行受力分析：确定研究过程，进行运动分析；判断系统在所研究的过程中是否满足动量守恒定律成立的条件；规定某个方向为正方向，分析初末状态系统的动量； 根据动量守恒定律建立方程，并求出结果。【典型例题】类型一、系统内力、外力的认识例1. 如图所示，光滑水平面上有一质量为的小车，其上面有一个质量为的物体正在沿粗糙曲面下滑以和两个物体为系统，试分析系统的内力和外力分别是哪些力 【思路点拨】分清系统的内力、外力；系统在水平方向上的总动量不发生变化 【答案】见解析【解析】和之间的作用力是系统内的物体之间的相互作用力，是内力具体地说，对的弹力和摩擦力以及对的反作用力（压力和摩擦力）是内力地球是系统外的物体，因此，地球施于和的重力以及地面对的弹力是外力 【总结升华】改变系统动量的力是系统的总重力和地面对的支持力；系统在水平方向上不受外力的作用，系统在水平方向上的总动量不发生变化类型二、关于动量的理解例2.关于动量的概念下列说法正确的是（ ）A.动量大的物体惯性一定大B.动量大的物体运动一定快C.动量相同的物体运动方向一定相同D.动量相同的物体速度小的惯性一定大【答案】CD【解析】物体的动量是由速度和质量两个因素决定的。动量大的物体质量不一定大，惯性也不一定大，A错；同样，动量大的物体速度也不一定大，B错；动量相同指动量的大小和方向均相同，而动量的方向就是物体运动的方向，故动量相同的物体运动方向一定相同，C对；动量相同的物体，速度小的质量大，惯性也大，D对。 【总结升华】物体的动量是由速度和质量两个因素决定的；质量是惯性大小的量度。理解动量的定义是解此题的关键举一反三：【变式】下列关于动量的说法中正确的是() A.动量大的物体受到的力一定大 B.动量大的物体一定运动的快C.动量大的物体的惯性一定大D.动量大的物体的质量与速度的乘积一定大 【答案】D【解析】由动量的定义式可知，物体的动量是由物体的质量和速度共同决定的，动量大小与物体是否受力无关，所以A错误的，动量大的物体其速度不一定大即动量大，物体运动的不一定快，所以B错，质量是物体惯性大小的量度，动量大的物体其质量不一定大，即动量大的物体，惯性不一定大，故C错，D是正确的。类型三、关于动量变化的计算例3.一个质量是的钢球，以的速度水平向右运动，碰到一个坚硬的障碍物后被弹回，沿着同一直线以的速度水平向左运动。求碰撞前后钢球的动量有没有变化？变化了多少？ 【思路点拨】要分清初末动量，。动量及动量变化都是矢量；在进行动量变化的计算时应首先规定正方向。【答案】有变化；变化量方向向左，大小为。 【解析】题中钢球的速度发生了反向，说明速度发生了变化，因此动量必发生变化。 取向左的方向规定为正方向 物体原来的动量： 弹回后物体的动量： 动量的变化： 动量变化量为正值，表示动量变化量的方向向左，大小为。 【总结升华】此题为动量变化题目，要分清初末动量。动量及动量变化都是矢量，在进行动量变化的计算时应首先规定正方向，这样各矢量中方向与正方向一致的取正值，方向与正方向相反的取负值。从而把矢量运算变成代数加减。举一反三：【变式】一个质量为的小球，竖直落地时的速度为，反向弹地时的速度为.求小球与地面作用期间发生的动量变化。【答案】；方向竖直向上。 【解析】取向上为正方向，则竖直落地时的速度，反向弹地的速度。 方向：竖直向上。类型四、根据动量守恒判断物体运动方向 例4.在高速公路上发生了一起交通事故，一辆质量为向南行驶的长途客车迎面撞上了一辆质量为向北行驶的卡车，撞后两车连在一起，并向南滑行一小段距离后静止根据测速仪的测定，长途客车撞前以的速度匀速行驶，由此可判断卡车撞前的行驶速度（ ） A小于 B大于，小于 C大于，小于 D大于，小于 【答案】A【解析】两车碰撞过程中尽管受到地面的摩擦力作用，但远小于相互作用的内力（碰撞力），所以动量守恒 依题意，碰撞后两车以共同速度向南滑行，即碰撞后系统的末动量方向向南设长途客车和卡车的质量分别为，撞前的速度大小分别为，撞后共同速度为，选定向南为正方向，根据动量守恒定律有，又，则， 代入数据解得 【总结升华】系统所受外力远小于内力时，可近似认为动量守恒这也是物理学中解决物理问题常用的方法举一反三：【变式】（2015 南平综测）如图所示，A、B两物体质量分别为、，且，置于光滑水平面上，相距较远。将两个大小均为F的力，同时分别作用在A、B上经相同距离后，撤去两个力之后，两物体发生碰撞并粘在一起后将（ ） A停止运动 B向左运动 C向右运动 D运动方向不能确定【答案】 C【解析】此题可以从两个角度来分析，一是利用运动学公式和冲量的定义，结合动量守恒定律来分析；二是动能定理和动量的定义，结合动量守恒定律来分析解法一：力F大小相等，mAmB，由牛顿第二定律可知，两物体的加速度有：aAaB，由题意知：SA=SB，由运动学公式得：，可知：tAtB，由，得：IAIB，由动量定理可知PA=IA，PB=IB，则PAPB，碰前系统总动量向右，碰撞过程动量守恒，由动量守恒定律可知，碰后总动量向右，故ABD错误，C正确解法二：由 ，因力F与位移s大小相等，故F对A、B做功大小相等，因，故，即PAPB，碰前系统总动量向右，碰撞过程动量守恒，由动量守恒定律可知，碰后总动量向右，故ABD错误，C正确类型五、动量守恒守恒条件的判断例5.位于光滑水平面的小车上放置一螺旋线管，一条形磁铁沿着螺线管的轴线水平地穿过，如图所示。在此过程中（ ）A.磁铁做匀速运动B.磁铁和螺线管系统的动量和动能都守恒C.磁铁和螺线管系统的动量守恒，动能不守恒D.磁铁和螺线管系统的动量和动能都不守恒【思路点拨】理解动量守恒的条件是解决问题的关键。【答案】C【解析】因磁铁和螺线管组成的系统所受外力之和为零，故动量守恒，但磁铁进入和穿出螺线管的过程中，螺线管都要产生感应电流阻碍磁铁的相对运动，两者相互作用力是变力，且都做功，所以动能不守恒，故选C。 【总结升华】此题考察动量守恒的条件，因此正确理解动量守恒的条件是解决问题的关键。当系统所受外力之和为零时，动量守恒类型六、动量守恒定律的简单应用例6、(2015 龙岩综测)真空室内，有质量分别为m和2m的甲、乙两原子核，某时刻使它们分别同时获得和的瞬时速率，并开始相向运动。由于它们间的库仑斥力作用，二者始终没有接触，当两原子核相距最近时，甲核的速度大小为（ ）ABCD【答案】B【解析】两原子核组成的系统动量守恒，以甲的初速度方向为正方向，当两原子核相距最近时一定是两个原子核共速的时刻，设此时的速度为v由动量守恒定律得：解得：，负号表示与甲的初速度方向相反，速度大小为。【总结升华】两原子核相向运动，内力远远大于外力，符合动量守恒条件，故可用动量守恒定律来解决。运用动量守恒定律解题的方法是：（1）看清是否符合动量守恒条件，（2）恰当选取正方向，（3)根据题意选取恰当的动量守恒定律的表达式，（4）合理进行运算，得出最后结果。举一反三：【变式】质量为的小球以的速度向东运动，某时刻和在同一直线上运动小球迎面正碰。球的质量为。碰撞前的速度为，方向向西，碰撞后，球以的速度向西返回，求碰后球的速度。【答案】，方向向西。【解析】两球的正碰过程符合动量守恒定律，设向东为正方向， ，根据动量守恒定律有： ，负号说明碰后B球的速度方向向西。类型七、若系统所受外力之和不为零，但如果某一方向上的外力之和为零，则在该方向上的动量守恒例7.小型迫击炮在总质量为的船上发射，炮弹的质量为若炮弹飞离炮口时相对于地面的速度为，且速度跟水平面成角，求发射炮弹后小船后退的速度？ 【思路点拨】若系统所受外力之和不为零，则系统的总动量不守恒，但如果某一方向上的外力之和为零，则该方向上的动量仍然守恒，仍可以应用动量守恒定律。【答案】【解析】发射炮弹前，总质量为的船静止，则总动量发射炮弹后，炮弹在水平方向的动量为，船后退的动量据动量守恒定律有 取炮弹的水平速度方向为正方向，代入已知数据得【总结升华】取炮弹和小船组成的系统为研究对象，在发射炮弹的过程中，炮弹和炮身(炮和船视为固定在一 起)的作用力为内力系统受到的外力有炮弹和船的重力、水对船的浮力在船静止的情况下， 重力和浮力相等，但在发射炮弹时，浮力要大于重力因此，在垂直方向上，系统所受到的合外力不为零，但在水平方向上系统不受外力(不计水的阻力)，故在该方向上动量守恒 若系统所受外力之和不为零，则系统的总动量不守恒，但如果某一方向上的外力之和为零，则该方向上的动量仍然守恒，仍可以应用动量守恒定律。举一反三：【变式1】一门旧式大炮，炮身的质量为，射出炮弹的质量为，对地的速度为，方向与水平方向成角，若不计炮身与水平地面的摩擦，则炮身后退速度的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】竖直方向动量不守恒，水平方向动量仍守恒，即在水平方向利用动量守恒定律：【高清课堂：动量守恒定律 例3】【变式2】将质量为的球自高为的地方以水平抛出，刚好落到一辆在光滑水平面上同方向运动的车里的沙堆中，车、沙总质量为，速度为，求球落入车后车的速度？ 【答案】【解析】和 组成的系统水平方向不受外力，即：水平方向动量守恒：和组成的系统，水平方向动量守恒，以方向为正得 .类型八、动量守恒在多个物体组成的系统中的应用【高清课堂：动量守恒定律 例1】 例8.质量为的孤立的、静止的原子核，某时刻向外以速度辐射出质量为的粒子，求反冲核的速度（不计质量亏损）。【答案】【解析】设反冲核的速度为， 由动量守恒定律： . 方向与反向。【总结升华】“孤立、静止”说明系统是不受外力的，符合动量守恒的条件。【高清课堂：动量守恒定律 例2】例9.如图所示，质量分别为和的两个木块和用细线连在一起，在恒力的作用下在水平桌面上以速度做匀速运动。突然两物体间的连线断开，这时仍保持拉力不变，求当木块停下的瞬间木块的速度的大小。【思路点拨】当系统受到的合外力为零时，则系统的动量守恒。【答案】【解析】绳断后到停止运动前，由动量守恒定律，以方向为正： 得：【总结升华】开始时，匀速直线运动： 受力平衡： ， 绳子断后，只是绳中张力变为零，外力均不变。合外力仍为零，满足动量守恒第三个条件“当系统受到的合外力为零时，则系统的动量守恒。”反思：为什么强调在停止运动前？ 类型九、动量守恒与能量守恒的结合例10. 一质量为的物体静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中为粗糙的水平面，长度为；为一光滑斜面，斜面和水平面通过与和均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为的木块以大小为的水平初速度从点向左运动，在斜面上上升的最大高度为，返回后在到达点前与物体相对静止。重力加速度为。 求： （1）木块在段受到的摩擦力； （2）木块最后距点的距离。【答案】（1）；（2）【解析】（1）设木块和物体共同速度为,两物体从开始到第一次到达共同速度过程由动量和能量守恒得： 由得： （2）木块返回与物体第二次达到共同速度与第一次相同（动量守恒）全过程能量守恒得： 由得： 【总结升华】合理选择物理过程，把握好动量守恒、能量守恒的条件，同时要注意到：摩擦力做功与相对运动位移的关系。例11.在光滑的水平面上有一质量为的木板，其右端挡板上固定一根轻质弹簧，在靠近木板左端的处有一大小忽略不计、质量为的滑块。木板上处的左侧粗糙，右侧光滑。且间距离，如图所示。某时刻木板以的速度向左滑行，同时滑