2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第五章 平面向量 第1节

第五章平面向量第一节平面向量的线性运算及其坐标表示,考纲解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念及两个向量相等的含义及向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义；3.了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件.,知识点精讲,一、向量的基本概念1.向量定义既有大小又有方向的量叫向量，一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中为起点，为终点）.2.向量的大小（模）向量的大小，也就是向量的长度，记作或.3.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量零向量：长度为零的向量，记为，其方向是任意的.单位向量：模（长度）为个单位的向量.当时，显然向量是与向量共线（平行）的单位向量.,相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量也叫共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到一条直线上.规定零向量与任何向量平行（共线）即.,二、向量的线性运算1.向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法.已知向量，在平面内任取一点，作，则向量叫做与的和（或和向量），即.向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图5-1所示，向量.,图5-1,2.向量的减法（1）相反向量与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.规定：零向量的相反向量仍是零向量；，即互为相反向量的和是零向量，若，互为相反向量，则，.,（2）向量的减法,向量与的相反向量之和，叫做向量与的差，即.向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图5-2所示，则向量.3.向量的数乘图5-2（1）实数与向量的积是一个向量，记为，其长度与方向规定如下：；当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，；当时，.（2）向量数乘运算的运算律.设为实数，则；,三、重要定理和性质,1.共线向量基本定理如果，则；反之，如果，则一定存在唯一的实数，使.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.2.平面向量基本定理如果和是同一平面内的两个非零不共线向量，那么对于平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.3.线段定比分点的向量表达式如图5-3所示，在中，若点是边上的点，且则向量.在向量线性表示（运算）,有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，应熟练掌握.,4.三点共线定理图5-3平面内三点，共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内任一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.，三点共线存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在，使得.,5.中线向量定理,如图5-5所示，在中，若点是边的中点，则中线向量.四、平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示.在平面直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个单位向量，作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数，使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作.（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量向量点.（3）设，则，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.,（4）设，则即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.,五、向量的平行,设的充要条件是.除了坐标表示外，下面两种表达也经常使用：当时，可表示为；当时，可表示为，即对应坐标成比例.,题型归纳及思路提示题型65平面向量的基本概念【例5.1】（1）有向线段就是向量，向量就是有向线段；（2）向量与向量共线，则四点共线；（3）如果，那么.以上命题中正确的个数是（）.A.1B.2C.3D.0,【分析】联系向量的基本概念，注意特殊向量零向量，注意考查判断.【解析】（1）不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不一定是有向线段；（2）不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行,（3）不正确，当时，则与不一定共线.所以（1）（2）（3）均不正确.故选D.【评注】本题易忽视零向量这一特殊向量，认为（3）是正确的.,题型66平面向量的线性表示,【例5.2】设是所在平面内的一点，则（）.A.B.C.D.【解析】如图5-6所示，故为的中点，因此.故选B.,图5-6,【分析】,【解析】,结合已知条件中向量的关系，利用平面向量的几何表示进行转化.,解法一：如图所示，,故选A.,【分析】,【解析】,根据题意画出草图，利用向量的加、减、数乘的几何意义表示.,由定比分点线性表示知，,故选A.,解法三：特殊化思想，,故选A.,如图所示，把此三角形特殊化为等腰直角三角形，,故选B.,【解析】,解法一：如图所示：,解法二：特殊化思想，,故选B.,如图所示，把此三角形特殊化为直角三角形，,题型67向量共线的应用,故选A.,【解析】,故选D.,【解析】,【分析】,利用向量的相等与共线知识解决.,故选C.,由选项C知，满足题意.,【解析】,题型68平面向量基本定理及应用,【解析】,由平面向量基本定理可知:,【解析】,本题主要考查向量的线性表示，可以利用三点共线定理相关知识求解.,【分析】,故选B.,解法二：特殊化思想.,如图所示,故选B.,题型69向量与三角形的四心【例5.13】若是内一点，则是的（）.A.外心B.内心C.垂心D.重心【解析】如图5-21所示，以为邻边作平行四边形.取的中点为，则，得，即，所以点为的三等分点，且.故为的重心.故选D.,题型70平面向量的坐标运算,【解析】,题型71向量共线（平行）的坐标表示,【解析】,解法一：,【评