江苏省常熟市2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）

2020学年第二学期期中试卷高二数学（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卷相应的位置上.1.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为_【答案】1【解析】【分析】利用复数的除法求出后可得【详解】因为，所以故，填【点睛】本题考查复数的除法及复数的概念，属于基础题2.已知集合,则_.【答案】.【解析】【分析】分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合和，再根据交集的定义求出.【详解】集合，故答案为:【点睛】本题考查集合的交集的运算，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用，是基础题.3.已知幂函数过点，则_【答案】【解析】【分析】设，代入点可得，从而可得幂函数的解析式【详解】设，则，所以，填【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，属于容易题4.在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点横坐标为，则的值是_【答案】【解析】【分析】先由三角函数的定义可得的值，再利用倍角公式可得的值【详解】由三角函数的定义可得，填【点睛】本题考查三角函数的定义及二倍角公式，是基础题5.已知，则值是_【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和商数关系式可得的值【详解】因为，所以，故，填【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的基本关系式，是基础题6.计算：_【答案】1【解析】【分析】用对数的运算性质计算即可【详解】，填【点睛】对数的运算性质可以分类如下几类：（1）；（2）；（3）7.已知在中，分别为角，的对边，若，则_【答案】【解析】分析】先求，再利用正弦定理可以得到【详解】因为，故，由正弦定理可以得到，故【点睛】本题考查正弦定理，属于容易题8.已知函数，若，则_【答案】【解析】【分析】先求，从而得到，故可得的值【详解】，故，填【点睛】本题已知分段函数的函数值，要求参数的取值，此类问题属于基础题9.若定义在上的偶函数满足，对任意恒成立，则_【答案】1【解析】【分析】先由得到函数的周期，从而，再利用及可得从而得到【详解】因为，故，故为周期函数且周期为，所以，令，则即，因，故，所以，故填【点睛】一般地，定义在上的函数满足，总有（ ），则为周期函数且周期为；如果定义在上的函数满足，总有（ ），则为周期函数且周期为10.已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先根据得到的单调性，再利用复合函数的单调性的判断方法得到的性质，从而求得实数的取值范围【详解】因为任意两个不相等的实数，都有不等式成立，所以为上的增函数，故在上为增函数且恒成立所以，解答，填【点睛】复合函数的单调性的讨论应依据“同增异减”的原则，注意讨论的单调性的时候要关注在给定范围上的值域必须是外函数 定义域的子集11.在二维空间中，正方形的一维测度（周长）（为正方形的边长），二维测度（面积）；在三维空间中，正方体的二维测度（表面积）（为正方形的边长），三维测度（体积）；应用合情推理，在四维空间中，“超立方”的三维测度，则其四维测度_【答案】【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度），从而得到，从而得到【详解】在二维空间中，二维测度与一维测度（周长）的关系是；在三维空间中，三维测度与二维测度的关系是，故在四维空间中，若“超立方”的三维测度，则其四维测度满足，所以，故（为常数），类比各个维度测度的解析式的形式可得，故，填【点睛】本题考查类比推理，属于基础题12.已知，则的最小值是_【答案】0【解析】【分析】利用倍角公式可得，配方后利用可得原式的最小值【详解】，因为，故，故，所以当时，有最小值，填【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.13.设定义在上的奇函数满足：时，（其中为常数）.若，则，的大小关系是_.（用“”连接）【答案】【解析】【分析】先利用求出，构建新函数，利用导数可判断为上的增函数，从而得到即，故可得.【详解】因为为上的奇函数，故，而，所以，故当时，令，则为上的偶函数，当时，当时，则，所以，故，所以为上的增函数，所以，即，所以，故.填.【点睛】判断给定的各数的大小，我们可依据它们的形式构建具体的函数，通过函数的单调性来判断它们的大小，而单调性可根据导数的符号来讨论.14.已知为常数，函数，若关于的方程有且只有2个不同的解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】画出及的图像，根据方程解的个数动态确定动直线的位置为：与函数的图像相切或与的图像有两个公共点，从而可得实数的范围【详解】因为关于的方程有且只有2个不同的解，所以的图像与直线有两个不同的交点，又及的图像如图所示：当时，因的图像与直线有两个不同的交点，故直线与相切，与有一个交点，设切点为，从而，解得，当时，因的图像与直线有两个不同的交点，故直线与有两个公共点，所以方程有两个不同的解，即有两个不同解，即，所以，故，综上，故填【点睛】已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围时，要根据零点的个数及各段函数图像的特点确定动曲线与定曲线之间的关系，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.已知复数（，是虚数单位）.（1）若是纯虚数，求的值；（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第四象限，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）化简z12m(2m1)i，若z是纯虚数，只需12m0且2m10即可；（2）求得12m(2m1)i，得2z=36m(2m1)i，只需即可.试题解析：（1）z12m(2m1)i因为z是纯虚数，所以12m0且2m10，解得m（2）因为是z的共轭复数，所以12m(2m1)i所以2z12m(2m1)i212m(2m1)i36m(2m1)i因为复数2z在复平面上对应的点在第一象限，所以解得m，即实数m的取值范围为(，)点睛:形如的数叫复数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.当时复数为实数,当时复数为虚数,当时复数为纯虚数.16.在中，角，所对的边分别是，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，又因为，求出，结合的范围可求的值利用三角形内角和定理可求，利用三角形面积公式求，在中，利用余弦定理可求，在中，利用正弦定理可求解析：（1）由，得，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以.（2）因为，故为等腰三角形，且顶角，故，所以，在中，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以.17.设函数，其中，已知.（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到图象向右平移个单位，得到函数的图象，求在上的取值范围.【答案】（1）4；（2）.【解析】【分析】（1）利用辅助角公式把化为，再利用得到满足的关系式，结合可求的值.（2）利用周期变换得到，算出后可得的值域.【详解】（1），由，则，所以，则，由，可知.（2）因为，所以，由，则，所以，即的取值范围是.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等18.如图，在本市某旧小区改造工程中，需要在地下铺设天燃气管道.已知小区某处三幢房屋分别位于扇形的三个顶点上，点是弧的中点，现欲在线段上找一处开挖工作坑（不与点，重合），为铺设三条地下天燃气管线，已知米，记，该三条地下天燃气管线的总长度为米.（1）将表示成的函数，并写出的范围；（2）请确定工作坑的位置，使此处地下天燃气管线的总长度最小，并求出总长度的最小值.【答案】（1）；（2）当长为米时，此处天燃气管线的长度最短为米.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得、，从而得到，其中.（2）利用导数可求的最小值.【详解】（1）因为为弧的中点，由对称性可知，又，由正弦定理，得，又，得，所以 ，由题意，的取值范围是.（2）令，则，令，得，列表：-0+极小值所以当时，米，有唯一极小值.此时有最小值米.答：当长为米时，此处天燃气管线的长度最短为米.【点睛】导数背景下的应用题，关键在于利用题设条件构建数学模型，这些数学模型通常是三次函数、三角函数或分式函数，建模时注意自变量的合适选取及其相应的范围的确定.解模时可以利用导数等工具讨论其性质.19.已知函数，.（1）解方程：；（2）设，求函数在区间上的最大值的表达式；（3）若且，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）令，解方程后可得.（2）令，则，分类讨论可求的最大值的表达式.（3）根据题设有，利用基本不等式求出的最小值后可得的最大值从而得到的最大值.【详解】（1）由题意，解得，（舍去）.所以原方程解为：.（2），令，则，设函数，则.当，即时，；当，即时，；当，即时，.综上， .（3）由题意，得，所以，其中，所以，由知的最大值是，又单调递增，所以，即的最大值为.【点睛】复合函数的值域一般通过换元来处理，通过换元把复杂函数转化为基本初等函数（如二次函数、指数函数、对数函数等）的值域，换元时注意中间变量的范围.二元等式条件下的最值问题，往往利用线性规划或基本不等式来处理.20.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在时恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数，求证：函数的极大值小于1.【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明【解析】分析】（1）先对函数求导，分别讨论和，即可得出结果；（2）先将函数在时恒成立，转化为在上恒成立，再设，利用导数方法求出的最大值，即可得出结果；（3）先由题意得到，对求导，利用导数的方法研究其单调性，即可求出其极大值，得出结论.【详解】解：（1）由于，当时，在上单调递减；当时，由得