第1章ppt修改后第12章ppt1-1

1.1n阶行列式,1.1.1排列与逆序,1.1.2二阶与三阶行列式,1.1.3n阶行列式的定义,1.1.1排列与逆序,定义1.1.1由自然数1，2，n组成的一个有序数组称为一个n阶排列，记为j1,j2,jn.,例如，4213是一个4阶排列，52341是一个5阶排列.1，2，3，4可组成24=4!个不同的4阶排列.1，2，n可组成n！个不同的n阶排列。按数字的自然顺序由小到大的阶排列123称为标准排列或自然排列.,定义1.1.2在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.用(j1,j2,jn)表示排列j1,j2,jn的逆序数.逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数是奇数的排列称为奇排列.,对一个n阶排列j1,j2,jn，如何求它的逆序数呢？,设这个排列中排在j1后面比j1小的数的个数为(j1)，排在j2后面比j2小的数的个数为(j2),，排在jn-1后面比jn-1小的数的个数为(jn-1)，则排列j1,j2,jn的逆序数为,(j1,j2,jn)=(j1)+(j2)+(jn-1),例1.1.1求排列32514与n(n-1)321的逆序数.,解(32514)=2+1+2+0+0=5；,排列32514为奇排列;排列n(n-1)321,当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时为奇排列.,定义1.1.3把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到一个,新的排列，这种变换称为排列的一个对换.,如果将排列32514中的2与4对调，则得到的新排列34512，它的逆序数(34512)=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明，奇排列32514经过一次对换得到偶排列34512。一般地，有以下定理。,定理1.1.1一次对换改变排列奇偶性.,证分两种情况考虑.,1.相邻两个数对换的情况.,设排列为,（1.1.1）,经过i与j的对换变成,（1.1.2）,这里“”表示对换前后排列中不变的数.由于这两个排列只交换i,j两个数的位置，其余的数的位置没有改变，所以各数的逆序数中只有(i)和(j)可能有变化，其余各,数的逆序数不变.当ij，排列（1.1.2）的逆序数比排列（1.1.1）减少1.因此排列（1.1.1）与（1.1.2）的奇偶性相反.,2一般情况.,设某个排列,（1.1.3）,经过i与j的对换变成,（1.1.4）,由排列（1.1.3）变为排列（1.1.4）可以通过一系列两两相邻的对换来实现.先将i依次与k1,k2,ks，j经过s+1次相邻对换后将（1.1.3）变为,（1.1.5）,再将j依次与ks,ks-1,k1，j经过s次相邻对换，把（1.1.5）变成（1.1.4）.于是排列（1.1.3）化为排列（1.1.4）总共作了,2s+1次相邻对换.而每经过一次相邻对换，都改变排列的奇偶性，由于2s+1为奇数，所以排列（1.1.3）与排列（1.1.4）的奇偶性相反.证毕.,推论任何一个n阶排列都可以通过对换化成标准排列,并且所作对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同.,1.1.2二阶与三阶行列式,本段的目的是叙述行列式这个概念的形成，这需要从解线性方程组谈起.,设二元一次线性方程组,（1.1.6）,用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然后再将得到的两式相加，得,用类似方法，从（1.1.6）中消去x1,(a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2,(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21,当a11a22-a12a210时，方程组（1.1.6）有唯一解,（1.1.7）,为了便于记忆，引入记号,(1.1.8),我们把(1.1.8)式称为二阶行列式.D中横写的称为行，竖写的称为列.D中共有两行两列,其中数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i表示这个元素所在的行，称为行指标，第二个下标j表示这个元素所在的列，称为列指标.例如a21就是位D中第二行，第一列上的元素.,我们把行列式中从左上角到右下角的连线称为主对角线，从右上角到左下角的连线称为副对角线.由(1.1.8)可知，二阶行列式的值是主对角线上元素a11,a22的乘积减去副对角线上元素a12,a21的乘积.按照这个规则，我们有,于是，当D0时，二元一次线性方程组（1.1.6）的解可用二阶行列式表示成,同理，考虑三元一次线性方程组,(1.1.9),应用消元法先后消去x2和x3，得到,把x1的系数记为,(1.1.10),由于D中共有三行三列,我们把它称为三阶行列式.因为它由方程组(1.1.9)中变元的系数组成,又称其为方程组(1.1.9)的系数行列式.如果D0,容易算出方程组(1.1.9)有唯一解:,其中Dj(j=1,2,3)分别是在D中把第j列的元素换成方程组(1.1.9)右端的常数项b1,b2,b3得到.,三阶行列式是六项的代数和,其中每一项都是D中不同行不同列的三个元素的乘积冠以正负号.为了便于记忆,可写成,图中实线上三个元素的乘积的项取正号,虚线上三个元素的乘积的项取负号.这种方法称为三阶行列式的对角线法则.,由上面的讨论,自然会想到如何把二阶、三阶行列式推广到一般的n阶行列式,并用它来表达由n个未知量n个方程所组成的线性方程组的解.通过观察二阶、三阶行列式,发现它们有以下特点：,(1)二阶、三阶行列式的每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积,其代数和即,为该行列式之值.二阶行列式有2!项，三阶行列式有3!项.,(2)代数和中每一项前的符号有以下规律：行指标取成标准排列时，由列指标组成排列的奇偶性决定每项前的正负号,偶者为正,奇者为负.,综上,我们有,排列取和.,推而广之，我们可以定义n阶行列式.,1.1.3n阶行列式的定义,定义1.1.4由n2个元素排成n行n列,以,记之，称其为n阶行列式,它代表一个数值.此数值是取自上式中不同行不同列的n个元素,乘积的代数和，其中,j1,j2,jn是数字1,2,n的某一个排列，故共有n!项。每项前的符号按下列规定：当j1,j2,jn为偶排列时取正号，当j1,j2,jn为奇排列时取负号，即,(1.1.11),表示对1,2,n这n个数组成的所有排列j1,j2,jn取和.,其中,当n=1时,即为一阶行列式,我们规定|a|=a;n=2,3时,即为前面定义的二阶、三阶行列式.,为了书写方便,n阶行列式也可记为Dn=|aij|n.,例1.1.2计算n阶下三角形行列式,解由n阶行列式的定义,展开式的一般项为,要计算该行列式的值,只需把其中的非零项求出来即可.,这个行列式中,第一行除去a11外,其余元素都是零,所以只能取j1=1；在第二行中,除去a21,a22外,其余元素都是零,而a11,a21同在第一列,所以只能取j2=2;如此下去,在第n行,我们只能取jn=n.因此该行列式展开式中不为零的项只有一项,由于该项的列指标的排列是标准排列,其逆序数为零,所以取正号,故,即下三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.,同理，对于上三角形行列式，有,特别地,对于对角形行列式,有,例1.1.3计算n阶行列式,解用类似于例1.1.2的方法,该行列式的展开式中,只有下列一项不为零,这一项列指标排列的逆序数为,故,在行列式的定义中,我们规定n个元素相乘时,元素的行指标按标准排列,由列指标排列的逆序数决定各项前的正负号.那么能否在定义中n个元素的相乘项里把元素,的列指标排列按标准排列,而由行指标排列的逆序数决定各项前的正负号呢?下面的定理回答了这一问题.,定理1.1.2n阶行列式也可定义为,(1.1.12),其中,表示对1,2,n这n个数组成,的所有排列i1,i2,in取和.,证对于(1.1.11)式左端的任一项,当列指标组成的排列j1,j2,jn经过p次对换变成标准排列12n时,相应的行指标组成的排列12n经过p次对换变成排列i1,i2,in由于