2.基本不等式 (3).ppt

,基本不等式（第一课时）,1.重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用均值不等式成立的条件及应用。(依据：均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解。),二、教学重点、难点、目标,2.难点基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。,3.教学目标：探索并了解基本不等式的证明过程。通过这一过程培养探索、研究精神；理解基本不等式几何意义；体会数形结合的思想；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。通过学习本节内容体会数学来源于生活，应用于生活，提高学习数学的兴趣。,1.创设情景，提出问题,右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的你能从中找出一些相等和不相等的关系吗？,2.抽象归纳,一般地,对于任意实数a,b,有,当且仅当ab时,等号成立。问：你能给出它的证明吗?（学生在黑板上板书）简单利用不等式：4+9=22+32223=12,（2+3?）找出类比方法得出结论.特别地,当a0,b0时,在不等式中,以分别代替a、b,得到什么？,基本不等式,如果a,b都是正数,那么,当且仅当a=b时，等号成立。我们称此不等式为基本不等式。其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。,3.探究基本不等式证明方法,方法一：作差比较或,由展开证明。方法二：分析法（完成课本填空）,4.基本不等式的进一步理解,文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。联想数列的知识理解基本不等式：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。符号语言叙述:若,则有,当且仅当a=b时，,问:怎样理解“当且仅当”？,探究不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式，通过数形结合，赋予不等式几何直观,进一步理解等号成立条件。如图直径AB，点C是AB上一点，AC=a,CB=b，CD=几何解释：在同一个圆中，半弦不大于半径；直角三角形斜边的一半不小于斜边的高。,5.例题及变式讲解与应用,例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？得出结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。结论应用：1）.若，则的最小值。学生口答2）.若则的最小值。3）.若，则的最小值。（若改为x3呢？）,（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？得出结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。（3）例题变式：用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？应用：1.已知,求函数的最大值。2.已知，求函数的最大值。（设计目的：配凑成定值）应用重点：一正二定三相等,6、课堂小结,1.两个不等式（1）若那么（当且仅当时取“=”）（2）当且仅当a=b时，等号成立。注意：1.两公式条件，前者要求a,b