第十一章曲线积分与曲面积分电子教案第六节_第1页
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文档简介

一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,*三、通量与散度,一、高斯公式(Gauss),高斯公式,定理1设空间闭区域是由分片光滑曲面所围,成，,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有,一阶连续偏导数，则有,或,这里是的整个边界曲面的外侧，,是的,法向量的方向余弦.,例1用Gauss公式计算,其中为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围空间闭,区域的整个边界曲面的外侧.,例2利用Gauss公式计算积分,其中为锥面x2+y2=z2介于z=0及z=h(h0)之间部,分的下侧,为法向量的方向角.,例3设为曲面,取上侧,求,O,O,例4设u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一,阶及二阶连续偏导数，证明,其中是闭区域的整个边界曲面，,为函数v(x,y,z),沿的外法线方向的方向导数，,符号,称为拉普拉斯(Laplace)算子.,这个公式叫格林第一公式.,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,1.连通区域的类型,设有空间区域G,全属于G,则称G为空间二维单连通域;,闭曲线总可以张成一片全属于G的曲面,间一维单连通域.,若G内任一闭曲面所围成的区域,若G内任一,则称G为空,例如,既是二维又是一维单连通域,椭球面,伪球面,星形球面,方形球面,是二维但不是一维单连通域,圆环面,玫瑰管面,球柱体,是一维但不是二维单连通域,两球面之间的区域,余弦曲面与椭球面之间的区域,2.沿闭曲面积分为零的充要条件,定理2设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空间,二维单连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一,的充要条件是,闭曲面，则,*三、通量与散度,引例,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系,流量还可表示为,若为闭曲面且取外侧,当0时,说明流入的流体质量少于流出的,当0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为,当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.,内有泉;,表明,内有洞;,根据高斯公式,流量也可表为,表明,方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且,为了揭示场内任意点M处的特性,此式反应了流速场在点M的特点:,其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.,定义设有向量场,其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向,则称,曲面,其单位法向量为n,为向量场A,通过有向曲面的通量(流量).,在场中点M(x,y,z)处,称为向量场A在点M的散度.,显然,表明该点处有正源；,表明该点处有负源；,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,若向量场A处处有,则称A为无源场.,例如,匀速场,故它是无源场.,说明,由引例可知,散度是通量对体积的
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