高级微观经济学_最优化ppt课件

A2,微积分与最优化,A2.1,微积分,2020/5/24,.,3,设D是一个非退化的实值区间在此区间上,f是二次可微的.如下的1至3阐述是等价的:1.f是凹的.2.f(x)0,xD.3.对于一切x0D,f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)4.如果f(x)0(P.1),xi,x,f,tk,x,tkf,x,t,xi,tx,f,xi,xi,tx,tx,f,tx,f,x,i,i,i,=,=,=,),(,),(,(,),(,),(,),(,(,(P.3),2020/5/24,.,23,由于（P.1）是恒等式,（P.2）必定会等于(P.3),因此有:,用t除两边得到:,对于i=1,n,并且t0,证明完毕.,2020/5/24,.,24,定理A2.7欧拉定理,欧拉定理证明:定义t的函数是十分有用的,g(t)f(tx),固定x,对t微分,有,(p.2),在t=1时:,(p.3),2020/5/24,.,25,证明必要性,设f(x)是k次齐次,使得对一切t0与任何x,f(tx)=tkf(x),由于(P.1),我们有g(t)=tkf(x),求微分,g(t)=ktk-1f(x),并且在t=1处取值.我们得到g(1)=kf(x).利用(P.3),得到,(P.4),证明充分性,为证明充分性,设(P.4)成立,在tx处取值得到:,(P.5),给(P.2)式两边同乘t,同(P.5)相比较,发现tg(t)=kg(t),(P.6),2020/5/24,.,26,考虑函数t-kg(t).如果对此求关于t的微分,得到:,从(p.6)来看,它的导数必为零,因此,我们可以得出这样结论,即对于一些常数c,t-kg(t)=c.为找到c,在t=1处求值并注意到g(1)=c.利用定义(P.1),得到c=f(x).我们知道,g(t)=tkf(x).再次把(P.1)代入,我们得到,对于所有x,则有,f(tx)=tkf(x).,A2.2,最优化,2020/5/24,.,28,设f(x)是一个二次可微的单变量函数,那么f(x)将会获得一个局部内点最优值.1.在x*处有最大值f(x)=0(FONC)f(x)0(SONC)2.在x*处有最小值f(x)=0(FONC)f(x)0(SONC),定理A2.8单变量情形中局部内点最优化的必要条件,2020/5/24,.,29,定理2.9实值函数局部内点最优化的一阶必要条件,如果可微函数f(x)在点x*处达到了一个局部内点极大值或极小值,那么,x*为如下联立方程组的解:,2020/5/24,.,30,证明:,证明思路:我们设f(x)在x*处获得了一个局部内部极值,并设法证明f(x*)=0.,证明:选择任意向量zRn,那么,对于任意标量t,我们有:g(t)=f(x*+tz)(P.1),从(P.1)我们知道,g(t)不过是f(x)的另一种表现形式.t0时,x*+tz正好是不同于x*的向量,故g(t)正好同f的一些值相同.t=0,x*+tz等于x*,因此,g(0)正好是f在x*处的值.已经假设f在x*处取得极值,那么g(t)必定在t=0处获得一个局部极值.那么,g(0)=0,2020/5/24,.,31,2020/5/24,.,32,A2.2.2二阶条件,实值函数局部内点最优化的二阶必要条件设f(x)是二次连续可微的.1.如果在点x*处f(x)达到了一个局部内点极大值,那么,H(X*)是负半定的.2.如果f(x)在点x处达到了一个局部内点极小值,那么,H(X)是负正定的.,定理A2.10,2020/5/24,.,33,或者H(X*)0,由于z是任意取的,这以为着H(X*)是负半定的.同理,如果在点x=x处f被最小化,那么,g(0)0,使得,H(X)是半正定的.,设f(x)在x=x*处取得最大值,根据定理A2.8必定有g(0)0.在点x*处或者在t=0处给(p.1)取值,2020/5/24,.,34,定理A2.11海赛矩阵负定与正定的充分条件,设f(x)是二次连续可微的,并设Di(x)是海赛矩阵H(x)的第i阶的主子式.1.如果(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么,H(x)是负定的.2.如果Di(x)0,i=1,n,那么,H(x)是正定的.如果在定义域内,对所有x,条件1成立,那么f是严格凹的.如果在定义域内,对所有x,条件2成立,那么f是严格凸的.,2020/5/24,.,35,定理A2.11海赛矩阵负定与正定的充分条件证明,证明思路:借助定理A2.4的第四条(如果对于D中所有x,H(x)是负定的,那么,f是严格凹的.)将定理A2.12转化为矩阵的主子式改变符号是负定的,全为正为正定的.,(P.2),2020/5/24,.,36,2020/5/24,.,37,定理A2.12实值函数局部内点最优化的充分条件,设f(x)是二次连续可微的,则:1.如果fi(x*)=0,(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么,f(x)在x*处将会获得一个局部极大值2.如果fi(x)=0并且Di(x)0,i=1,n,那么,f(x)在x处将会获得一个局部极小值,2020/5/24,.,38,2020/5/24,.,39,定理A2.13(无约束的)局部与全局最优化,设f(x)是D上一个二次连续可微的实值凹函数.这里,点x*是D的一个内部点,那么如下三个命题等价:1.f(x*)=02.在x*处f获得一个局部极大值.3.在x*处f获得一个全局极大值.,证明:显然,32,并依A2.9,21,因此,只需证明13由1.假设,f(x*)=0,由于f是凹的,定理A2.4蕴涵对于定义域的所有x,f(x)f(x*)+f(x*)(x-x*)结合假设:f(x)f(x*)所以,f在x*处达到全局最大值.,2020/5/24,.,40,定理A2.14严格凹性/凸性与全局最优化的唯一性,1.如果x*最大化了严格凹函数f,那么,x*是唯一全局最大化值点.例如,设f(x*)f(x),xD,xx*.2.如果x最小化了严格凹函数f,那么,x是唯一全局最小化值点.例如,设f(x)tf(x)+(1-t)f(x*),t(0,1)由于,f(x)=f(x*),f(xt)tf(x)+(1-t)f(x),即f(xt)f(x),这与假设x是f的一个全局最大值的假设矛盾,因此,严格凹函数的任何全局最大值必是唯一的.,2020/5/24,.,41,定理A2.15唯一全局最优化的充分条件,设f(x)是D上一个二次连续可微的.1.如果f(x)是严格凹的,并且fi(x*)=0,i=1,n;那么,x*是f(x)的唯一全局最大化值点.2.如果f(x)是严格凸的,并且fi(x)=0,i=1,n;那么,x是f(x)的唯一全局最小化值点.,2020/5/24,.,42,A2.3约束最优化,Maxf(x1,x2),受约束于g(x1,x2)=0,x1,x2,目标函数,选择变量,约束集或者可行集,求解方法:代入法,2020/5/24,.,43,A2.4拉格朗日方法,L(x1,x2,)f(x1,x2)+g(x1,x2),定理A2.16拉格朗日定理,2020/5/24,.,44,A2.3.6库恩塔克条件,L(x1,x2,)f(x1,x2)+g(x1,x2),非线性规划问题,2020/5/24,.,45,A2.20受不等式条件约束的实值函数最优化的(库恩塔克)必要条件,2020/5/24,.,46,A2.4值函数,x,Maxf(x1,x2),受约束于g(x,a)=0,且x0,M(a)=maxf(x,a),受约束于g(x,a)=0,x0,图A2.10:在约束条件g(x,a)=0限定下的f(x,a)的最大值,2020/5/24,.,47,A2.21包络定理,2020/5/24,.,48,集合论的基本概念和基本结论,定义域：凸集,连续函数f,关系,二元关系,完备性,传递性,D是开集，f-1(B)是开集,偏好关系,拓扑空间,度量空间,欧氏