第十一章曲线积分与曲面积分电子教案第二节_第1页
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一、概念与性质,二、计算方法,三、两类曲线积分之间的联系,一、概念与性质,1.引例变力沿曲线所作的功,设一个质点在xOy面内受到力,的作用，从点A沿光滑曲线弧L,移动到点B，,其中P(x,y),Q(x,y),在L上连续，,求变力F所作的功.,求解方法还是“分割、近似、求和、取极限”.,常力F使物体作直线运动时所作的功,现在力F是变力，运动路径不是直线，而是曲线.,解决方法还是“分割、近似、求和、取极限”.,2.定义,定义设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光,滑曲线弧，,P(x,y),Q(x,y)在L上有界.,在L上沿L的,方向任意插入一点列M1,M2,Mn-1,把L分成n个,有向小弧段,设xi=xixi-1,yi=yiyi-1,(i,i)为,上任意,取定的点.,如果当各小弧段长度的最大值0时，,的极限存在，,则称此极限为函数P(x,y)在,有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，,记作,即,类似地可定义,称之为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线,积分.,其中P(x,y),Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段.,上述定义可推广到空间曲线弧的情形：,3.性质,性质1设、为常数，则,性质2若L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2,则,性质3若L-是L的反向曲线弧,则,二、对坐标的曲线积分的计算方法,定理设P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且,连续，,L的参数方程为,当参数t单调地由变,到时，点M从L的起点A沿L运动到终点B，,(t),(t)在以,为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且,2(t)+2(t)0，,则曲线积分,存在,且,特别地,如果L的方程为,则,对空间光滑曲线弧,类似有,例1计算,其中L为沿抛物线,从点,A(1,-1)到B(1,1)的一段.,例2计算,其中L为,(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针,方向;,(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0).,例3计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,例4设在力场,作用下,质点由,沿移动到,试求力场对质点所作的功.,其中为,例5求,其中,从z轴正向看为顺时针方向.,三、两类曲线积分之间的联系,设光滑曲线弧L的参数方程为,其起点和终,点对应的参数值分别为和，且设.,曲线弧L在点,的切向量为,它的指向与参数,t的增长方向一致，,当时，这个指向就是有向曲,线弧L的方向，,称之为有向曲线弧,的切向量,它的方向余弦为,于是,即两类曲线积分之间的联系是,其中,为有向曲线弧L在点(x,y)处的切向量,的方向角
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