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,第五节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,机动目录上页下页返回结束,平面及其方程,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动目录上页下页返回结束,*,例1求过三点,即,解:取该平面的法向量为,的平面的方程.,利用点法式得平面的方程,机动目录上页下页返回结束,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,机动目录上页下页返回结束,*,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.*,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,机动目录上页下页返回结束,用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,设平面为,将三点坐标代入得,解,机动目录上页下页返回结束,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,机动目录上页下页返回结束,化简得,令,所求平面方程为,机动目录上页下页返回结束,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,*,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,机动目录上页下页返回结束,特殊情形*,当D=0时,Ax+By+Cz=0表示,通过原点的平面;,当A=0时,By+Cz+D=0的法向量,平面平行于x轴;,Ax+Cz+D=0表示,Ax+By+D=0表示,Cz+D=0表示,Ax+D=0表示,By+D=0表示,平行于y轴的平面;,平行于z轴的平面;,平行于xoy面的平面;,平行于yoz面的平面；,平行于zox面的平面.,机动目录上页下页返回结束,例4求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:,因平面通过x轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,机动目录上页下页返回结束,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,机动目录上页下页返回结束,*,平面的位置关系：*,机动目录上页下页返回结束,例5研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,因此有,例6一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动目录上页下页返回结束,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,机动目录上页下页返回结束,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,机动目录上页下页返回结束,外一点,求,例9设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0到平面的距离为,(点到平面的距离公式),机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式
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