适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《2函数与基本初等函数》VIP

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题函数与基本初等函数（一）教学目的教学内容一、 知识网络 二、命题分析1知识点的考查情况(1)函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；(2)定义域、值域、解析式是考查的重点，而且较稳定，有时结合其他知识点(以本单元内容为背景)，分段函数较多、花样翻新；(3)函数单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导数联系较多；(4)函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与对称性、抽象函数等问题联系较多；(5)由于分段函数自身所具有的特殊性，比其他函数形式具有更重要的功能，更能全面地考查学生的素质和能力，所以在2012年高考试题中，分段函数应该是函数命题的热点内容，一般会以选择题和填空题的形式进行考查，如果出现在解答题中，会和方程、不等式的知识联系起来，综合考查各种能力2常考题型及分值情况函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题，所占分值在30分以上，占全卷的20%以上，在高考中占有重要地位三、复习建议1函数的基本概念在应用时要把重点放在它的三要素上，复习函数的定义域除了要注意使解析式有意义的自变量的取值范围外，还要根据题中的实际意义来确定它的取值范围2求值域时要熟悉几种基本的解题方法，通常化归为求函数的最值问题，要注意利用均值不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的作用，还要注意对应法则，特别是定义域的制约作用3求函数解析式根据实际问题建立函数关系，或根据题中所给条件利用待定系数法解题，或对于fg(x)h(x)求f(x)的问题可以用换元法解题，或若式中含有f(x)，f等，常根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求解4利用函数的基本性质解题时要充分挖掘函数的单调性、奇偶性、对称性等，但要注意函数的基本性质只能在函数的定义域内讨论5在研究函数的性质时要注意结合图像，在解方程和不等式时，有时利用数形结合能得到十分快捷的效果研究函数与方程的问题时，尤其要用好图像恒成立问题，区间解问题都可得到较好的解决四、知识讲解第一节 函数及其表示（一）高考目标考纲解读1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用考向预测1函数概念及其定义域、解析式、函数值、分段函数的考查是热点2多以小题的形式出现，属低、中档题，常与几个基本初等函数的图像、性质综合命题（二）课前自主预习知识梳理1函数的基本概念(1)函数定义设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 显然，值域是集合B的子集(3)函数的三要素：、 和(4)相等函数：如果两个函数的 和完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据2函数的表示法表示函数的常用方法有： 3映射的概念两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有 的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的 ，记作f：AB.4映射与函数的关系由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是5分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是函数。（三）基础自测1(教材改编题)下列是映射的是()A(1)(2)(3) B(1)(2)(5) C(1)(3)(5) D(1)(2)(3)(5)答案A解析(4)中元素c没有象与之对应；(5)中元素a有两个象与之对应；(1)(2)(3)都是映射2下列函数中与函数yx(x0)是同一个函数的是()Ay()2 By Cy Dy答案A解析当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数同时满足这两个条件的只有A，B中x0，C中xR，D中xR.3.已知f(x)的图像恒过点(1,1)，则f(x4)的图像恒过()A(3,1) B(5,1) C(1，3) D(1,5)答案B解析方法一：由f(x)的图像恒过点(1,1)知f(1)1，即f(54)1，故f(x4)的图像恒过点(5,1)方法二：f(x4)的图像可由f(x)的图像向右平移4个单位而得到，(1,1)向右平移4个单位后变为(5,1)4.若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_答案1,0解析由题意知2x22axa10恒成立，即x22axa0恒成立，4a24a0，1a0.5在下列图像中，表示y是x的函数图像的是_答案解析由函数定义可知，自变量x对应唯一的y值，所以、错误，、正确（四）典型例题1.命题方向：对映射的理解例1(文)设集合A和B都是自然数集合N，映射f：AB把A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，则在映射f下，象3的原象是()A1 B3 C9 D11解析在这个映射中，B中的元素2nn是A中的元素n的象2nn3.nN，f(n)2nn单调递增，2nn3只有惟一解n1.故答案为A.答案A(理)设集合M1,0,1，N2，1,0,1,2，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是()A8个 B12个 C16个 D18个解析xf(x)为奇数，当x为奇数1,1时，它们在N的象只能为偶数2、0或2，由分步计数原理和对应方法有329种；而当x0时，它在N中的象为奇数1或1，共2种对应方法，故答案为D.答案D点评关于“映射”的内容，只需要准确理解映射的概念，一个映射f：AB是由集合A、B及对应法则f共同确定的，且A中的每个元素(通过f)在B中都有唯一的象跟踪练习1：(文)在给定的映射f：(x，y)(2xy，xy)(x，yR)作用下，点(，)的原象是()A(，) B(，)或(，)C(，) D(，)或(，)答案B解析由已知得：解方程组得或故选B.(理)(2006浙江)函数f：1,2,31,2,3满足f(f(x)f(x)，则这样的函数个数共有 ()A1个 B2个 C3个 D10个答案D解析当f(x)1，f(x)2，f(x)3，f(x)x时，满足条件f(f(x)f(x)，这样的函数有4个当f(1)1，f(2)1时，必有f(3)3，假若f(3)2，则f(f(3)f(2)13，这样的情况共有6种共有10种，故选D.2.命题方向：判断两个函数是否相同例2试判断以下各组函数是否表示同一函数？(1)f(x)，g(x)；(2)f(x)，g(x)(3)f(x)，g(x)()2n1(nN*)；(4)f(x)，g(x).分析根据定义域、值域和对应关系是否相同来判断解析(1)由于f(x)|x|，g(x)x，故它们的对应关系不相同，所以它们不是同一函数；(2)由于函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，而g(x)的定义域为R，所以它们不是同一函数；(3)由于当nN*时，2n1为奇数，f(x)x，g(x)()2n1x，它们的定义域、值域及对应关系都相同，所以它们是同一函数；(4)由于函数f(x)的定义域为x|x0，而g(x)的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数跟踪练习2：下列四组函数，表示同一函数的是 ()Af(x)logaax，g(x)alogax(a0，a1)Bf(x)()2，g(x)Cf(x)2x1(xR)，g(x)2x1(xZ)Df(x)，g(t)答案D解析选项A、B、C中函数的定义域不同3.命题方向：求函数的定义域例3(1)求函数f(x)的定义域(2)已知函数f(x)的定义域为0,1，求下列函数的定义域：f(x2)；f(1)(3)已知函数f lg(x1)的定义域是0,9，求函数f(2x)的定义域解析(1)要使函数有意义，则只需即解得3x0或2x0知1x1，由(1)得2x1或x1，因此2x1或1x2.所以函数g(x)的定义域为(2，1)(1,2).4.命题方向：求函数的解析式例4(1)已知fx3，求f(x)；(2)已知flgx，求f(x)；(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)；(4)已知f(x)满足2f(x)f3x，求f(x)解析(1)f33，f(x)x33x，x(，22，)(2)令1t，则x，f(t)lg，f(x)lg，x(1，)(3)设f(x)axb，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17，a2，b7，故f(x)2x7.(4)2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x)，2得3f(x)6x，f(x)2x.点评求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x，即得到fg(x)的解析式；(2)拼凑法，对fg(x)的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设tg(x)，解出x，代入fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式跟踪练习4：给出下列两个条件：(1)f(1)x2；(2)f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2.试分别求出f(x)的解析式分析(1)对1换元(2)设f(x)ax2bxc.解析(1)令t1，t1，x(t1)2.则f(t)(t1)22(t1)t21，即f(x)x21，x1，)(2)设f(x)ax2bxc(a0)，f(x2)a(x2)2b(x2)c，则f(x2)f(x)4ax4a2b4x2.，又f(0)3c3，f(x)x2x3.5.命题方向：分段函数例5甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系试写出yf(x)的函数解析式解析根据图像，判断每段上函数的解析式的结构，然后用待定系数法分段求出，最后整合当x0,30时，设yk1xb1，由已知得，解得，yx.当x(30,40)时，y2；当x40,60时，设yk2xb2，由已知得，解得，yx2.综上，f(x)点评1.解决分段函数的基本原则是分段进行2对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分别求出其解析式3对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值跟踪练习5：设函数f(x)，则使得f(x)1的自变量x的取值范围为 ()A(，20,10 B(，20,1C(，21,10 D2,01,10答案A解析当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，x2或0x0log0.51，04x31，x1.2(2011广东茂名一模)设f(x)则ff(2)的值为()A0 B1 C2 D3答案C解析f(2)log3(221)1，又f(1)2e02，ff(2)2.3函数y的定义域为()Ax|x0 Bx|x1 Cx|x10 Dx|0x1答案C解析由y得，x1或x0，x|x104若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1 B0,1) C0,1)(1,4 D(0,1)答案B解析要使g(x)有意义，则，解得0xgf(x)的x的值是_答案2；2 解析f g(1)f(3)2.x123fg(x)231gf(x)312故fg(x)gf(x)的解为x2.10已知f(x)，定义fn(x)f(fn1(x)，其中f1(x)f(x)，则f2012_.答案解析依次计算：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，可知fn的最小正周期为6，即得fn6fn，所以f2012f2.点评该题考查分段函数的知识，解题的关键是发现函数具有周期性，再将f2012转化为f2即可11已知f(0)1，f(ab)f(a)b(2ab1)，则f(x)_.答案x2x1解析令a0，则f(b)f(0)b(b1)1b(b1)b2b1再令bx，即得：f(x)x2x1.点评赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点如本题另解：令ba，则1f(0)f(a)a(2aa1)f(a)a(a1)f(a)a2a，f(a)a2a1，f(x)x2x1.第二节 函数的单调性与最值（一）高考目标考纲解读1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值考向预测1函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质，在每年高考中均有重要体现2求单调区间、判断单调性、求最值及利用它们求参数的取值范围是热点（二）课前自主预习知识梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x10)；为增函数(f(x)0)；f(x)g(x)为增函数(f(x)0，g(x)0)；f(x)为减函数(3)利用复合函数关系判断单调性法则是“”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为 ，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为(4)图像法(5)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有的单调性(6)导数法若f(x)在某个区间内可导，当f(x)0时，f(x)为 函数；当f(x)0时，值域为；当a0时，值域为.（三）基础自测1(教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是 ()Ayx1By Cyx24x5 Dy答案B解析结合函数的图像可知只有选项B对应的函数满足题意2(2011辽宁朝阳模拟)f(x)4x2mx5在2，)为增函数，f(1)的取值范围是()A(，25 B(25，) C25，) D(，25)答案C解析由题意知对称轴2，即m16，所以f(1)9m25.3已知f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()A(0,1) B. C. D.答案C解析根据题意要使原函数在定义域R上为减函数，只需满足：a03x11log2(3x1)log210，选A.5函数y的值域为_答案(1,1解析由y，得x20，解得1y1.6设a，bR，定义maxa，b，函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)，则f(x)的最小值是_答案解析令y1|x1|，y2|x2|，在同一坐标系中分别作出其图像，如图所示，根据条件知函数f(x)的图像为图中的射线PA，PB构成，由，解得y.即为函数f(x)的最小值7证明：f(x)x在(，1)上是增函数证明设x1，x2是(，1)内的任意两个不相等的负实数，且x10，yf(x2)f(x1)，x1x210.x1x210，yf(x2)f(x1)0.所以f(x)x在(，1)上是增函数（四）典型例题1.命题方向：求函数的值域例1求下列函数的值域(1)y2x2x (2)y|x1|x4|(3)y (4)y2x4(5)yx (6)yx55x45x32，x1,2分析上述各题在求解之前，先应观察其结构特点选择最优的方法，然后再解解析(1)采用配方法y2x2x22函数y2x2x的值域是(2)解法1：(图像法)y画图像如下从图像可知：y5，即值域为5，)解法2：(单调性法)当x4时，y2x3为减函数，y2(4)35，当4x1时，y5，当x1时，y2x3为增函数，y2135.综上可知，函数值域为y|y5(3)解法1：(反函数法)y的反函数为y，其定义域为x|x2，原函数的值域是y|yR且y2解法2：(分离常数法)y2，其中0，y的值域是(，2)(2，)(4)采用换元法设t0，则x1t2，于是y2t24t22(t1)24(t0)，故可知y(，4(5)利用三角代换法因为|x|1，所以设xcos，0，则ycossincos.0，于是1cos，即得知y1.函数的值域为，1(6)导数法y5x420x315x2，令y0，得5x420x315x20，即5x2(x3)(x1)0，x10，x21，x33.由于x31,2，所以只要比较f(0)，f(1)，f(1)，f(2)由解析式可知：f(x)最大值为3，最小值为9.故值域为9,3点评(1)对于二次函数型的一类问题常采用配方法求值域(2)换元法是解决无理函数值域的最有效手段跟踪练习1：求下列函数的值域(1)y4； (2)y2x；(3)yx； (4)y；(5)y； (6)y.解析(1)(配方法)：由32xx20，得1x3.y4，当x1时，ymin2.当x1或3时，ymax4.函数值域为2,4(2)(换元法)：令t(t0)，则xyt2t1(t)2，当t即x时，ymax，无最小值函数值域为(，(3)(三角代换法)函数的定义域是x|1x1设xsint，t，则yx化为ysintcostsin(t)tt，sin(t)1，1y函数的值域是1，(4)分离常数法f(x)1，因为12x1,02，所以111，故所求值域为(1,1) (5)(判别式法)由y变形得(y1)x2(y1)xy30当y1时，此方程无解；当y1时，xR(y1)24(y1)(y3)0解得1y，又y11y.故函数的值域为y|1y(6)(利用三角函数有界性)由y，解得sinx，1sinx1，11.由1得y1或y，由1得，10，且a1)；(2)ylog(4xx2)分析利用复合函数的判别方法判断该类题目(1)的复合关系为yat，t1x2；(2)的复合关系为ylogt，t4xx2.解析(1)令t1x2，则t1x2的递减区间是0，)，递增区间是(，0又当a1时，yat在(，)上是增函数；当0a1时，函数的单调减区间是0，)，单调增区间是(，0；当0a0，得函数的定义域是(0,4)令t4xx2，t4xx2(x2)24，t4xx2的递减区间是2,4)，递增区间是(0,2又ylogt在(0，)上是减函数，函数的单调减区间是(0,2，单调增区间是2,4)点评(1)复合函数yfg(x)的单调规律是“同则增，异则减”，即f(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则fg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则fg(x)必为减函数讨论复合函数单调性的步骤是：求出复合函数的定义域；把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性(2)求函数的单调区间(即判断函数的单调性)，一般有以下几种方法：图像法定义法利用已知函数的单调性，如函数yx与y的单调性(一增一减)等利用导数：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，得函数f(x)的定义域为.令u6x2x2，则函数u在上为增函数，在上为减函数又ylog2u在(0，)上为增函数，函数f(x)的增区间是，减区间是.(3)函数f(x)的定义域为x|x0f(x)1.令f(x)0，得x3；令f(x)0，得3x0或0x0)的单调性分析先将函数解析式的结构特征分析、转化，然后根据解析式特征选择合理的方法求解解析f(x)a，函数的定义域为x|x1方法一：(定义法)任取x1，x2R，且x1，x2均不为1，x1x2，则f(x1)f(x2).当x1x21时，x110，x210，a0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)当1x10，x110，x2x10，a0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，1)和(1，)上均为减函数方法二：(导数法)f(x)，又a0，f(x)0，且a1)在(0，)上是增函数分析由单调性定义直接证明证明任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)(ax2ax2)(ax1ax1)(ax2ax1)(ax2ax1)ax2ax1，0x10，ax1x20，(1)当a1时，ax2ax1，ax2ax10，ax1x2a01，ax1x210，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(2)当0a1时，ax2ax1，ax2ax10，0ax1x2a01，ax1x210，f(x2)f(x1)综上所述，对于任何a0且a1，均有f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数点评证明函数的单调性，基本上都是利用定义，以同一种格式来进行，应避免过程中的似是而非，含糊不清在判断f(x2)f(x1)与0的大小时，尽可能将其化为积或商或完全平方的形式，从而明确f(x2)f(x1)与0的大小关系，研究三次函数或其他较复杂的函数的单调性与最值问题时，一般是利用导数这一工具来解决问题.4.命题方向：抽象函数的单调性例4定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a，bR，有f(ab)f(a)f(b)(1)证明：f(0)1；(2)证明：对任意的xR，恒有f(x)0；(3)证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范围解析(1)证明：令ab0，则f(0)f2(0)又f(0)0，f(0)1.(2)证明：当x0，f(0)f(xx)f(x)f(x)1.f(x)0.又x0时f(x)10，xR时，恒有f(x)0.(3)证明：设x10.f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)x2x10，f(x2x1)1.又f(x1)0，f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2)f(x1)f(x)是R上的增函数(4)解：由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0)又f(x)是R上的增函数，3xx20.0x0)，f(x2)f(x1t)f(x1)f(t)f(x1)；或者设x11，又f(x1)、f(x2)0.故f(x2)f(x1)跟踪练习4：已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)1时，f(x)1时，f0；欲解不等式f(|x|)0，代入得f(1)ff(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，由f(|x|)2得f(x)9；当x0时，由f(|x|)2得f(x)9，故x9或x9.5.命题方向：单调性与最值例5函数f(x)2x的定义域为(0,1(a为实数)(1)当a1时，求函数yf(x)的值域；(2)若函数yf(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；(3)函数yf(x)在x(0,1上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值解析(1)显然函数yf(x)的值域为2，)；(2)若函数yf(x)在定义域上是减函数，则任取x1，x2(0,1且x1f(x2)成立，即(x1x2)0，只要a2x1x2即可，由x1，x2(0,1，故2x1x2(2,0)，所以a2，故a的取值范围是(，2；或用导数来判断(3)当a0时，函数yf(x)在(0,1上单调递增，无最小值，当x