适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《8三角函数（二）》VIP

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题三角函数（二）教学目的教学内容第三节 三角函数的图像与性质（一）高考目标考纲解读1能画出ysinx，ycosx，ytanx的图像，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性考向预测1三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考考查的重点2三角函数图像的对称性也是高考的一个热点3主要以选择题、填空题的形式考查（二）课前自主预习知识梳理1“五点法”作图原理在确定正弦函数y=sinx在上的图像形状时，起关键的五点是： 、 、 、 、 。余弦函数呢？2三角函数的图像和性质3周期函数及最小正周期一般地对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)函数yAsin(x)或yAcos(x)(0且为常数)的周期T，函数yAtan(x)(0)的周期T.（三）基础自测1(2010湖北文)函数f(x)sin，xR的最小正周期为()A.B C2 D4答案D解析本题主要考查三角函数中的周期性，T4.2(理)(2010陕西理)对于函数f(x)2sinxcosx，下列选项中正确的是()Af(x)在(，)上是递增的 Bf(x)的图像关于原点对称Cf(x)的最小正周期为2 Df(x)的最大值为2答案B解析本题考查三角函数的性质f(x)2sinxcosxsin2x，周期为，最大值为1，故C、D错；f(x)sin(2x)2sinx，为奇函数，其图像关于原点对称，B正确；函数的递增区间为，(kZ)排除A.(文)(2010陕西文)函数f(x)2sinxcosx是()A最小正周期为2的奇函数 B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数答案C解析本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性f(x)2sinxcosxsin2x，最小正周期T，且f(x)是奇函数3已知x，cosx，则m的取值范围是()Am1 B33 D3m74或m1答案C解析由x，cosx1，3.4已知函数ytanx在内是减函数，则()A01 B10 C1 D1答案B解析根据已知条件：0，且|1，因此105(2011湖洲中学月考)已知函数f(x)Acos(x)的图像如图所示，f，则f(0)_. 答案解析由图可知，T，3，故f(x)Acos(3x)f，Acos，Asin.又f0，Acos0，sincos，f(0)AcosAsin.6sin1，sin2，sin3的大小关系为_答案sin3sin1sin2解析sin2sin(2)，sin3sin(3)因为0312且ysinx在上单调递增，所以sin(3)sin1sin(2)，即sin3sin1sin2.7求ysin2xcosx2的最值分析解析式中只有sin2x，cosx，可以考虑转化为关于cosx的二次函数形式解析ysin2xcosx21cos2xcosx2cos2xcosx32，又1cosx1，10，1y.故函数的最大值与最小值分别为与1.（四）、典型例题1.命题方向：三角函数的定义域例1求下列函数的定义域：（1）（2）分析先转化为三角不等式，再利用单位圆或三角函数图像求解解析(1)由题意得，即，也即.解得(*)取k1,0,1，可分别得到x或x或x.即所求的定义域为.(2)要使函数有意义，只要即0x0，0时，由于Ux是增函数，故yAsinU单增(减)时，复合函数yAsin(x)单增(减)从而解不等式2kx2k(kZ)求出x取值范围，即该函数的增区间，解不等式2kx2k(kZ)可得该函数的单调减区间(2)当A0，0时，Ux为减函数，故再如(1)的解法，求出单调区间则会导致错误，同样A0，0时也有类似情况，这时要紧扣复合函数单调性的判定方法进行余弦、正切函数都有类似情形一般地，求yAsin(x)的单调区间时，若，则2R23，只有2R4这一种可能，故选D.5函数y的图像关于()A点对称 B点对称 C直线x对称 D直线x对称答案B解析ytan2x.函数图像大致如下图，显见它不是轴对称图形，而是关于点对称的中心对称图形，故选B.6已知函数y2sin(x)为偶函数(0)，其图像与直线y2的交点的横坐标为x1、x2，若|x1x2|的最小值为，则()A2， B， C， D2，答案A解析y2sin(x)为偶函数且0(2)解析(1)，ysinx在上是增函数，sinsin.(2)coscoscoscos，coscoscoscos.0cos，即coscos，即coscos.10函数f(x)sinx2|sinx|，x0,2的图像与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_答案(1,3)解析f(x)sinx2|sinx|在同一坐标系中，作出函数f(x)与yk的图像可知1k0，即sin0，从而得2kx2k(kZ)函数f(x)的定义域为.0sin1，00，0)的图像可以看作由下面的方法得到的：先把正弦曲线上所有的点 (当0时)或 (当1时)或 (当01时)或 (当0A0，0，x(0，)表示一个振动时，A叫做，T叫做，f叫做频率，x叫做，叫做4三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型（三）、基础自测1(2010重庆理)已知函数ysin(x)(0，|0，0，|)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式为_答案f(x)2sinx解析由图知：T8，8，A2.f(x)2sin，令x2，22sin.sin1.|，0，f(x)2sinx.6设函数f(x)ab，其中向量a(2cosx,1)，b(cosx，sin2x)，xR.(1)若f(x)1且x，求x；(2)若函数y2sin2x的图像按向量c(m，n)平移后得到函数yf(x)的图像，求实数m、n的值解析f(x)ab2cos2xsin2xcos2xsin2x12sin1.(1)由2sin11，得sin，kZ2x2k或2x2k，kZ.即xk或xk.x，x.(2)y2sin2x图像按(m，n)平移得到y2sin1的图像，m，n1.（四）、典型例题1.命题方向：函数yAsin(x)的图像例1作出函数y3sin，xR的简图，说明它与ysinx图像之间的关系分析利用五点作图法作出函数图像，然后判断图像间的关系解析按“五点法”，令2x分别取0，2时，x相应取，所对应的五点是函数y3sin，x的图像上起关键作用的点列表：描点画图利用函数的周期性，可以把简图向左、右扩展，就得到y3sin，xR的简图 从图可以看出，y3sin的图像，是用下面方法得到的方法一： 方法二： 点评方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移表面上看，两种变换方法中的平移分别是和，是不同的，但由于平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的跟踪练习1已知函数ysincos(xR)(1)用“五点法”画出它的图像；(2)求它的振幅、周期及初相；(3)说明该函数的图像可由ysinx的图像经过怎样的变换而得到？解析(1)y2sin()，令X，列表如下：X02xy02020描点连线得图像如图(2)振幅A2，周期T4，初相为.(3)将ysinx图像上各点向左平移个单位，得到ysin(x)的图像，再把ysin(x)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到ysin()的图像最后把ysin()的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，即得函数y2sin()的图像点评用“五点法”作图应抓住四条：化为yAsin(x)(A0，0)或yAcos(wx)(A0，0)的形式；求出周期T；求出振幅A；列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点.2.命题方向：求三角函数 yAsin(x) 的解析式例2下图为yAsin(x)的图像的一段，求其解析式分析首先确定A.若以N为五点法作图中的第一零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于ysinx的图像)，所以A0.而，可由相位来确解析解法1：以N为第一个零点，则A，T2，2，此时解析式为ysin(2x)，点N在图像上，20，所求解析式为ysin.解法2：以点M为第一个零点，则A，2，解析式为ysin(2x)，将点M代入得：20，所求解析式为ysin.跟踪练习2函数yAsin(x)(0，|，xR)的部分图像如图所示，则函数表达式为_答案y4sin解析由图像可以看出，A4，62，T16.则.将点(2,0)代入y4sin中得sin0.，y4sin.又|.函数表达式y4sin4sin.点评三角函数图像中，图像上与x轴相邻两个交点之间的距离为半个周期，相邻两对称轴之间的距离为半个周期.3.命题方向：三角函数yAsin(x)的综合应用例4(2010山东理)已知函数f(x)sin2xsincos2xcossin(0)，其图像过点.(1)求的值；(2)将函数yf(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图像，求函数g(x)在0，上的最大值和最小值分析本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图像变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力可直接利用公式化简求值解析(1)因为已知函数图像过点，所以有sinsincos2cossin(0)，即有1sincoscos(0)，所以sin1，所以，解得.(2)由(1)知，所以f(x)sin2xsincos2xcossin(0)sin2xcos2xsin2xsin，所以g(x)sin，因为x，所以4x，所以当4x时，g(x)取最大值；当4x时，g(x)取最小值.点评高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中，需要利用这些公式，先把函数解析式化为yAsin(x)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质跟踪练习3(2011营口一模)已知函数f(x)Asin(x)，xR，的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x，求f(x)的值域解析本小题主要考查三角函数的图像和性质等基础知识及基本运算能力(1)由最低点为M得A2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为得，即T，2.由点M在图像上得2sin2，即sin1，故2k，kZ，2k.又，故f(x)2sin.(2)x，2x，当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x时，f(x)取得最小值1，故f(x)的值域为1,2（五）、思想方法点拨1函数yAsin(x)的图像(1)用“五点法”作函数yAsin(x)的图像应注意的问题用“五点法”作yAsin(x)的图像关键是点的选取，一般令x0，2，即可得到所画图像的关键点坐标其中的横坐标成等差数列，公差为.(2)图像变换平移变换()沿x轴平移，按“左加右减”法则；()沿y轴平移，按“上加下减”法则注：平移变换时，系数不为1，应先提取，再判断伸缩变换()沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(01)为原来的倍(纵坐标y不变)；()沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A0)的图像向右平移个单位长度后，与函数ytan的图像重合，则的最小值为()A. B. C. D.答案D解析本题考查正切函数的图像的平移变换将函数ytan(0)的图像向右平移个单位长度，得到的函数为ytantan，由题意，得，.6已知函数f(x)sinx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的解析式可以为()Ayf Byf(2x1) Cyf Dyf答案B解析由图得，图(2)是将图(1)中的图像先向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，即yf(x)yf(x1)yf(2x1)7(2008四川)设f(x)sin(x)，其中0，则f(x)是偶函数的充要条件是()Af(0)1 Bf(0)0 Cf (0)1 Df (0)0答案D解析函数f(x)是偶函数，则kkZ，f(0)1，故排除A、B.又f (x)cos(x)，k，kZ，f (0)0，选D.也可走特殊化思路，取1，验证8四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数ysin2x，ysin(x)，ysin(x)的图像如下结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是() 答案C解析本题考查了三角函数的图像及性质，可采用排除法或取一个特殊点来观察，如当ysin2x的图象取最高点时，ysin(x)或ysin(x)对应的点一定不是最值点或零点，而C不适合，故选C.二、填空题9如图所示为函数yAsin(x)的图像上的一段，则这个函数的解析式为_答案y2sin解析A2，T，y2sin.当x时，y2，22sin，即sin1，y2sin.10函数y3sin的对称中心是_答案，kZ解析由k，kZ得k.x2k，kZ.对称中心是.11已知f(x)Asin(x)(A0，0，|)是定义域为R的奇函数，且当x2时，f(x)取得最大值2，则f(1)f(2)f(3)f(100)_.答案22解析由题意知：0，A2，f(x)2sinx又当x2时，f(x)取得最大值2，22k，k，kZ.当k为偶数时，令k2n，则f(x)2sinx，nZ，xZ，f(x)2sinx.由函数周期性可得：f(1)f(2)f(100)f(1)f(2)f(3)f(4)22同理，当k为奇数时可得：f(1)f(2)f(100)f(1)f(2)f(3)f(4)22.三、解答题12求函数y2sin的单调区间分析思路1：由ysinx的单调区间来求本题的单调区间思路2：将y2sin看作复合函数来求其单调性解析解法1：y2sin化成y2sin.ysinu(uR)的递增、递减区间分别为(kZ)，(kZ)，函数y2sin的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2kx2k(kZ)，2kx2k(kZ)，解上两式得2kx2k(kZ)，2kx2k(kZ)函数y2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为(kZ)，(kZ)解法2：y2sin可看作是由y2sinu与ux复合而成的又ux为减函数，由2ku2k(