高考数学复习专题6.10：数列中存在性问题的研究与拓展

专题6.10：数列中存在性问题的研究与拓展【课本溯源】证明：1，3不可能是一个等差数列中的三项【探究拓展】探究一：探究1：设等差数列的前项和为且（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由【解】（1）（2），要使得成等差数列，则即： 即：，只能取2，3，5 当时，；当时，；当时，【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决探究2：设是公差不为零的等差数列，为其前项和，且（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,所以的通项公式为，前n项和(2) =，若其是中的项，则， 令，则=, 即： 所以为8的约数 因为是奇数，所以可取的值为，当，即时，；当，即时，（舍去）所以满足条件的正整数【注】不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析探究3：已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1； （2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由【解】（1）令n=1，则a1=S1=0 （2）由，即， 得 ，得 于是， +，得，即又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 （3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 时，0，故数列( )为递减数列，时，0，故数列()为递减数列，即时，又当时，故无正整数q使得成立解法2：同上有，且数列( )为递减数列，当时，成立；当时，因此，由得，此时【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性本例蕴含分类讨论思想探究二：探究1：等差数列的前项和为（1）求数列的通项与前项和；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解】（1）由已知得，故（2）由（1）得假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即，与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾探究2：已知数列满足：，数列满足：（1）求数列，的通项公式；（2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列【解】（1）由题意可知， 令，则又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，故，（2）假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有 成立 ，即 即：由于，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾因此数列中任意三项不可能成等差数列【注】此题为上例的补充，方法上有区别，在不便利用范围寻找矛盾时，如何考虑式子的变形呢？首先考虑将分数整数化，然后利用奇偶性寻找矛盾变式：设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由解：假设数列中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第项，由得， 又为偶数，为奇数故不存在这样的三项，满足条件 探究3：已知各项均为正数的等比数列的公比为，且.（1）在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若，且对任意正整数，仍是该数列中的某一项 求公比；若，试用 表示【解】由知，数列是递减数列，假设存在成等差数列，不妨设，则，即 即而，故矛盾因此在数列中不存在三项成等差数列【注】常用反证法说明不定方程正整数解不存在数列中的一类存在性问题不定方程的正整数解问题存在有（正整数）解不存在无（正整数）解（1）整除性（2）奇偶性（3）范围（1）范围（2）奇偶性（3）有理数性质变式1：公差d0的等差数列an的前n项和为Sn，已知a12，S312（1）求数列an的通项公式an及其前n项和Sn；（2）记cn，试问：在数列cn中是否存在三项cr，cs，ct(rst，r,s,tN*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由.【解】（1），所以，（2）易知，假设存在三项成等比数列，则，即,整理得12分且， ,解得,这与矛盾.综上所述，不存在满足题意的三项【反思】在反证法中利用有理数的性质，产生矛盾，也是数列问题中常见的方法变式2：数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）当时，是否存在互不相同的正整数，使得成等比数列？若存在，给出满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设为数列的前n项和若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围【解】（1）当时，由 得 - 得，所以（）因为，所以（）（2）当时，若存在成等比数列，则由奇偶性知所以，即，这与矛盾故不存在互不相同的正整数，使得成等比数列（3）变式3：已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，数列an2的前n项和为Tn，满足a1 =1，（1）求p的值及数列an的通项公式；（2） 问是否存在正整数n，m，k（n m k），使得an，am，ak成等差数列？若存在，指出n，m，k的关系，若不存在，请说明理由 若an，2xan+1，2yan+2成等差数列，求正整数x，y的值变式4：已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为