高考数学复习专题7.7：椭圆定义问题的研究与拓展

专题7.7：椭圆定义问题的研究与拓展【问题提出】问题1：一动圆与已知圆O1：(x+3）2+y2=1外切，与圆O2：(x-3）2+y2=81内切，则动圆圆心的轨迹方程为_问题2：已知圆柱的底面半径为与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程与离心率_.拓展：能否对结论做一般推广？问题3:已知是椭圆左焦点，定点，为椭圆上的一个动点，则的最小值为 . 7问题4：椭圆第三定义：与两个定点,连线的斜率乘积等于定值的动点的轨迹方程是_，其轨迹是_.y思考：考虑其逆命题，成立吗？【探究拓展】探究1：椭圆长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为 拓展1：能否对结论作一般性推广？结论如何？拓展2：在双曲线中能否给出类似的结论？变式：已知AB是过双曲线的中心的一条弦，是双曲线上异于顶点的一点，设直线的斜率分别为，则=_y探究2：椭圆上任意经过原点的弦的两个端点与椭圆上的任一点（除这两点外）连线斜率之积为 y变式：如图，若为椭圆的右顶点，直线AD、PD交直线于两点，则的最小值为 你能利用我们所探究的结论来解决吗？变式2：已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为、，则=_.变式3：如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆()的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为. 若，则直线的斜率为 OBCF1F2Dxy拓展1：在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.y（1）若直线PA平分线段NM时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离；（3）对任意的k0，求证：PAPB你能利用我们所探究的结论来解决（3）吗？拓展2：请将圆中的其它性质类比到椭圆中，进行探究（1）圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦类比：椭圆中，过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）；（2）圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线类比：椭圆中，椭圆上一点与原点连线的斜率与该点处切线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）拓展3：椭圆与轴交与两点，是椭圆上任一点，直线分别与直线交与两点，问以为直径的圆是否过定点？定点为，拓展4：已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的弦，交椭圆于两点（1）当直线斜率为1时，求点的坐标（2）当直线斜率为时，直线是否过轴上的一定点（1）（2）由（1）知过定点由，同理拓展5：已知是椭圆上关于轴对称的两点，是椭圆上任一点，直线分别与轴交于点两点，求证：为定值解：设=为定值拓展6：如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C （1）若时，恰好为线段AC的中点，试求椭圆的离心率；（2）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求值；（3）设D为圆上不同于A的一点，直线AD的斜率为，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解：（1）当时，点C在轴上，且，则 ，由点B在椭圆上，得， （2）设椭圆的左焦点为，由椭圆定义知，则点B在线段的中垂线上，又，代入椭圆方程得=，=（3）法一：由得，或，则由得，得，或，同理，得，当时， BDAD，为圆， ADB所对圆的弦为直径，从而直线BD过定点（a,0）.法二：直线过定点， 证明如下：设，则：，所以，又所以三点共线，即直线过定点. 拓展7：已知椭圆C：+=1(ab0)的离心率为，且过点(，)设M是椭圆C上的一点，P、Q、T分别为点M关于y轴、原点、x轴的对称点， N为椭圆C上异于点M的另一点，且MNMQ，QN与PT的交点为E（1）求椭圆C的方程；（2）当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程（1）由题意得： 解之得：a2=12，b2=4，所以椭圆C的方程为： （2）设M(x1，y1)为椭圆C上的任意一点（x1y10），N(x2，y2)，动点E的坐标为（x，y），则P (x1，y1)，Q (x1，y1)，T(x1，y1) 所以，(1