高考数学复习专题7.17：圆锥曲线离心率问题的研究与拓展

专题7.17：圆锥曲线离心率问题的研究与拓展【课本溯源】（1）人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，求卫星轨道的离心率.（2）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，求双曲线的离心率.【探究拓展】探究1：离心率的值（1）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率是_.变式：在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为 （2）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线与该椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率是_.变式1：已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于、两点，若,则的离心率为_.变式2：已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于两点，若，则.（3）如右图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为_.变式1：椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率为 .变式2：设是椭圆:的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为_.变式3：如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于 （4）,分别是双曲线:的左右焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于,两点，线段的垂直平分线与轴交于点若，则的离心率是_. 变式：已知,分别是双曲线:的左右焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点，线段的垂直平分线与轴交于点若，求双曲线的离心率（5）设椭圆的左、右顶点分别为,，点在椭圆上且异于,两点，为坐标原点若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为_.变式：已知,分别为椭:的左右顶点，椭圆上异于,的点恒满足，则椭圆的离心率为_.探究2：离心率的取值范围（1）已知双曲线的焦距为，离心率为，若点与到直线的距离之和，则的取值范围是 .（2）已知双曲线的左、右焦点分别为,，若双曲线上存在点，使，则该双曲线离心率的取值范围是 .变式1：已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上存在一点（异于长轴的端点）使，则该椭圆离心率的取值范围为 .（答案：）（3）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是_. （4）如图椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是,，焦点分别是,，延长交于点.若是钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是_. 变式1：设双曲线的左准线与两条渐近线交于、两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 .变式2：设,是椭圆的左、右焦点，若在右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 . 变式3：点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_（5）设，则双曲线的离心率的取值范围是_.（6） ,是椭圆：与双曲线的公共焦点，,分别是,在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_.变式1：共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为,，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的最大值为 .变式2：已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_.拓展1：在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为,右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为.若，则椭圆的离心率为 .解：由题意知，所以有 两边平方得到，即两边同除以得到，解得，即拓展1：F1F2OxyBCA如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.（1）若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；（2）若求椭圆离心率e的值.解：（1）由题意知，则；则椭圆方程为. 点C在椭圆上，故，解得；所求椭圆方程为.（2）解法1：（垂直关系的先行表征）设，由得，由在上，则；联立解得：，在椭圆上，代入椭圆方程整理得，即，所以椭圆的离心率为解法2：（垂直关系的最后表征）由题意知直线方程：，与椭圆联立方程组得: 得到，解得，；则；又由可知：，代入化简有，将代入化简得，即，.拓展2：如图,是椭圆C：的左、右顶点,是椭圆上异于的任意一点,已知椭圆的离心率为,右准线的方程为.（1）若，求椭圆C的方程；（