高考数学复习专题2.7：函数中一类保值（ 倍值）问题的研究与拓展

专题2.7：函数中一类保值（倍值）问题的研究与拓展【问题提出】 若函数的定义域与值域均为区间（），求实数的取值范围.【探究拓展】探究1：已知关于的函数的定义域为，若存在区间使得的值域也是，则当变化时，的最大值为 .【分析】首先观察到函数为定义域内的增函数；则有：,得到，则.那么：.变式1：若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是_.解析 观察得到函数在区间为减函数，则有： 由得到： ； ； ；令，即有；代入得到，即，其中.那么代入得到；由可知，利用二次函数图象可知，即.变式2：已知函数函数的最小值为.（1）求；（2）是否存在实数m，n同时满足下列条件：mn3；当的定义域为n，m时，值域为n2，m2？ 若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由解：（1） 设当时；当时，；当 （2）mn3， 上是减函数. 的定义域为n，m；值域为n2，m2， 可得mn3， m+n=6，但这与“mn3”矛盾. 满足题意的m，n不存在变式3：设f(x)奇函数，当时， f(x)2xx 2，若函数f(x)(xa，b)的值域为，则b的最小值为_，实数的取值集合为_ 变式4：对于区间，若函数同时满足下列两个条件：函数在上是单调函数；函数当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值区间”（1）写出函数的保值区间；（2）函数是否存在保值区间？若存在，求出相应的实数的取值范围；若不存在，试说明理由解：（1）（2）由题易得：或者（i）当时，此时，则可将视为方程的两个非负实数根，则；（ii）当时，可将问题转化为方程有两个非负实数解数形结合可得，综上：变式5：若函数在区间上的最小值为，最大值为，求. （2000年全国高中数学联赛试题）【解答】分如下三种情形来讨论区间.（1）当时，在区间上单调递增，所以，即 所以、是方程的两个不同实根，而方程的两根异号，不可能.（2）当时，在上递增，在上递减，故，且.由，得. 于是.而，故，所以，即.解方程，得. 此时.（3）当时，在上递减，于是，即 解方程组，得，此时.综上所述，所求的区间为或.拓展1：若函数是否存在形如的保值区间？若存在，求出该区间，若不存在，请说明理由. 先进行局部缩小 不存在；不成立 不存在拓展2：函数，区间，则使成立的实数对有 个. 3个；探究2：若函数同时满足下列条件： 为上单调函数； 存在区间，使在上的值域为；则叫做闭函数. 若函数是闭函数，求实数的取值范围是 【分析】首先，观察到函数为定义域内单调增函数；则有：在内有两个互异实根.亦即：方程在内有两个互异实根与的图像有两个不同的交点； 下画出图像：得到当直线的纵截距时，满足题意，从而得到.变式1：函数的定义域为，若满足： 为上单调函数； 存在区间，使在上的值域为；则叫做对称函数. 现有是对称函数，那么实数的取值范围是 【分析】首先，观察到函数为定义域内单调减函数；则有：在内有两个互异实根.亦即：方程在内有两个互异实根与的图像有两个不同的交点； 下画出图像： 得到当直线的纵截距时，满足题意. 变式2：若函数在区间上的值域为,则实数的取值范围为_.【分析】首先，观察到函数为定义域内单调增函数；则有：在上有两个不同的根；再转化为函数和有两个交点，利用图像：首先，时，过点与曲线有两个交点；其次，考虑相切的临界情况，可利用平方后二次函数的得到；(避免求导). 则得到. 拓展：已知函数的图像关于坐标原点对称，且与轴相切.（1）求实数的值；（2）是否存在实数，使函数在区间上的值域仍为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.探究3：已知函数，若存在实数使得的定义域是，值域是，则实数的取值范围为_ 变式：对于函数，若存在区间，当时，的值域为(0），则称为倍值函数。若是倍值函数，则实数的取值范围是_. 【分析】观察到函数为