高考数学复习专题1.3：五类证明题的方法和结构问题的研究与拓展VIP

专题1.3：五类证明题的方法和结构问题的研究与拓展【问题提出】问题1：（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列解：（1）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0 若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)，综上所述，（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数. 于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列. 例如n项数列1，满足要求。变式1：设等差数列的首项为，公差为数列中的项（1）若，试判断的展开式中是否含有常数项，并说明理由；（2）求证：存在无穷多个，使得对每一个,的展开式中均不含有常数项.:解：（1），的展开式的通项为若存在，则可设，则考察， 则的展开式中不含有常数项（2）假设存在，可设，考察，则当时，所以命题成立。变式2：设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项公式为（），若，（）成等差数列，求和的值；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列中的三项，解：（1）由题意， ，当时，有 ，-， 得，各项为正，从而，故成公差2的等差数列又时，解得故 （2），要使，成等差数列，须，即，整理得，因为，为正整数，只能取2，3，5故， （3）作如下构造：，其中，它们依次为数列中第项，第项，第，显然它们成等比数列，且，所以它们能组成三角形由的任意性，知这样的三角形有无穷多个下面用反证法证明其中任意两个和不相似：若，且，则，整理得，所以，这与矛盾，因此，任意两个三角形不相似故原命题正确 问题2：讨论下列函数的奇偶性：（1）（）（2）（）（3）（）（4）.变式1：设函数在处取得极值（1）设点，求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；（3）设曲线在点，()处的切线都过点， 证明：（证明否定性命题常用方法是反证法）解：（1），由题意可得，解得经检验，在处取得极大值。设切点为，则切线方程为即为把代入可得，即为，即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条.切线方程为（2）因为切线方程为把代入可得，因为有三条切线，故方程有三个不同的实根设，令=0，可得和+0一0+增极大值减极小值增因为方程有三个根，故极小值小于零，所以 （3）假设，则，所以由题意可得 两式相减可得因为，故把代入可得，所以所以又由，矛盾. 所以假设不成立，即证方法：反证法变式2：已知集合，求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.问题3：叙述并证明向量共线定理.问题4：设数列满足，（1）当时，求证：；（2）当时，求证：满足条件的最大值是.证明：（1）如果，则，（2） 当 时，（）事实上，1当时， 设时成立（为某整数），则2对，由归纳假设，对任意nN*，|an|2，所以aM（3） 当时，证明如下：对于任意，且对于任意， 则所以，当时，即，因此变式1：设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立. 求证：的最大值为解：（1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为变式2：如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”. （1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论： f(x) ； g(x)sinx (x(0，). （2）若函数h(x)lnx (xM，)是保三角形函数，求证：M的最小值为2.解：（1）f(x) 是保三角形函数，g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数.【证明】 f(x) 是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a，b，c，则abc，bca，cab，f(a) ，f(b) ，f(c) . 因为()2a2bc2()2，所以.同理可以证明：，. 所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x) 是保三角形函数. 4分g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长. 而sin1，sin，不能作为一个三角形的三边长. 所以g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数. (2)【解】M的最小值为2. (i)首先证明当M2时，函数h(x)lnx (xM，)是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a，b，cM，)，且abc，bca，cab，则h(a)lna，h(b)lnb，h(c)lnc.因为a2，b2，abc，所以(a1)(b1)1，所以ababc，所以lnablnc，即lnalnblnc.同理可证明lnblnclna，lnclnalnb.所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长. 故函数h(x)lnx (xM，)，M2)，是保三角形函数. 13分(ii)其次证明当0M2时，h(x)lnx (xM，)不是保三角形函数. 当0M2时，取三个数M，M，M2M，)，因为0M2，所以MM2MM2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，而lnMlnM2lnMlnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，所以h(x)lnx 不是保三角形函数. 所以，当M2时，h(x)lnx (xM，)不是保三角形函数. 综上所述：M的最小值为2. 思考1：如果是定义在上的周期函数，且值域为，则是不是“保三角形函数”？设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长故不是“保三角形函数” 思考2：由解法可知不是保三角形函数，但是在定义域的某个区间上能不能成为保三角形函数？比如是保三角形函数，求的最大值.（可以利用公式） 分析：的最大值为 一方面，若，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（1），此时，同理，故，同理可证其余两式.可作为某个三角形的三边长（2）此时，可得如下两种情况：时，由于，所以，.由在上的单调性可得；时，同样，由在上的单调性可得；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长故时，是“保三角形函数”综上，的最大值为问题5：已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，的最小值记为Bn，dn=AnBn（1）若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；（2）设d为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列；（3）证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3)，则an的项只能是1或2，且有无穷多项为1变式：设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）证明：必要性，设是an公差为d1的等差数列，则bn+1bn=(an+1an+3) (anan+2)= (an+1an) (an+3an+2)= d1 d1=0所以bnbn+1 ( n=1,2,3,)成立 又cn+1cn=(an+1an)+2 (an+2an+1)+3 (an+3an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,)所以数列cn为等差数列 充分性： 设数列cn是公差为d2的等差数列，且bnbn+1 ( n=1,2,3,)cn=an+2an+1+3an+2 cn+2=an+2+2an+3+3an+4 -得cncn+2=（anan+2）+2 (an+1an+3)+3 (an+2an+4)=bn+2bn+1+3bn+2cncn+2=( cncn+1)+( cn+1cn+2)= 2 d2 bn+2bn+1+3bn+2=2 d2 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=2 d2 -得（bn+1bn）+2 (bn+2bn+1)+3 (bn+3bn+2)=0 bn+1bn0, bn+2bn+10 , bn+3bn+20,由得bn+1bn=0 ( n=1,2,3,)，由此不妨设bn=d3 ( n=1,2,3,)则anan+2= d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+13d3从而cn+1=4an+1+2an+25d3 ，两式相减得cn+1cn=2( an+1a