高考数学复习专题7.32：圆锥曲线中弦张直角问题的研究与拓展_第1页
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专题7.32：圆锥曲线中弦张直角问题的研究与拓展【课本溯源】（1）直线与抛物线相交于，两点，求证：.（2）已知直线与抛物线交于，两点，且（为坐标原点），求的值.【问题提出】问题1：直角顶点为坐标原点的圆锥曲线中弦张直角问题问题2：直角顶点为曲线顶点的圆锥曲线中弦张直角问题问题3：直角顶点为曲线上不同于顶点的任一点的圆锥曲线中弦张直角问题【探究拓展】探究1 假设过点的直线与抛物线相交于，两点，则.证明：设直线的方程为：，由题意显然.联立直线与抛物线得：.由韦达定理有：，.又点在直线上，故，从而. 所以，探究2 直线与抛物线相交于，两点，则的充要条件为直线过点.变式2.1 直线与椭圆相交于，两点，则的充要条件是椭圆中心到直线的距离.变式2.2 直线与双曲线相交于，两点，则（1）当时，的充要条件是双曲线中心到直线的距离；（2）当时，不可能有.探究3 直线与抛物线交于，两点，当（为坐标原点）时，作，则点的轨迹是一个圆（去掉原点），轨迹方程为. 变式3.1直线: 与椭圆交于，两点，则（为坐标原点），作，则点的轨迹是一个以为圆心，以为半径的一个圆，轨迹方程为.变式3.2 直线: 与双曲线交于，两点，则（为坐标原点），作，则点的轨迹是一个以为圆心，以为半径的一个圆，轨迹方程为.探究4 直线与椭圆相交于，两点，是其右顶点，当时，直线过定点.变式4.1 直线与椭圆相交于，两点，是其右顶点，当时，直线过定点.注：对于是左顶点时，同样有相似结论.该问题留给有兴趣的读者自己去研究.探究5 设直线交椭圆于，两点，点是椭圆上不同于，两点的一个定点，则 的充要条件是直线过定点.变式5.1设直线交双曲线于，两点，点是双曲线上不同于，两点的一个定点，则 的充要条件是直线过定点.变式5.2 设直线交抛物线于，两点，点是抛物线上不同于，两点的一个定点，则 的充要条件是直线过定点. 试题解答方法一：设，联立直线与抛物线得：.由韦达定理有：，.又所以，从而.方法二：设，假设线段的中点为，联立直线与抛物线得：. 由韦达定理有：，.所以， ，故.又，所以，所以，即.观察上题直
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