高考数学复习专题2.21：含二次函数的复合函数问题的研究与拓展_第1页
高考数学复习专题2.21：含二次函数的复合函数问题的研究与拓展_第2页
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专题2.21：含二次函数的复合函数问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知函数，且在处取得极值（1）试找出a，b的关系式；（2）若函数在上不是单调函数，求的取值范围；（3）求函数在的图像上任意一点处的切线斜率的最大值解：（1）= a x 2 + 2 b x2lnx，得因为在x=1处取得极值，所以，故2a+2b 2 =0，即b=1a；（2）因为函数在x(0，上不是单调函数，所以=0在(0，内有解，即，亦即在(0，内有解，由得：x=1，或， 所以，解得：a2；（3）因为k=，当或时，因为，所以恒成立，所以k在上单调递增，所以时，；当时，有，所以，所以，此时“=”成立的条件是：x=，所以k=，综合得：变式：已知二次函数和“伪二次函数” （），（1）证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；（2）在同一函数图像上任意取不同两点，线段中点为，记直线的斜率为， 对于二次函数，求证：； 对于“伪二次函数”，是否有同样的性质?证明你的结论. 解：（1）如果为增函数,则()恒成立, 当时恒成立, ()由二次函数的性质, ()不可能恒成立. 则函数不可能总为增函数.(2)对于二次函数: =.由,则不妨设,对于“伪二次函数”:法一:. () 又, ()法二: =, () 由(1)中(), ()如果有的性质，则 , 比较()( )两式得，即：，()令， ()设，则，在上递增， . ()式不可能成立, （）式不可能成立,.“伪二次函数”不具有的性质.探究2：已知函数（1） 求函数在点处的切线方程；（2） 求函数单调区间；（3） 若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围. 因为函数，所以，又因为，所以函数在点处的切线方程为 由，因为当时，总有在上是增函数，又，所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为 因为存在，使得成立，而当时，所以只要即可又因为，的变化情况如下表所示：减函数极小值增函数所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值因为，令，因为，所以在上是增函数而，故当时，即；当时，即所以，当时，即，函数在上是增函数，解得；当时，即，函数在上是减函数，解得综上可知，所求的取值范围为探究3：已知函数（）在区间上有最大值和最小值设（1）求、的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围解：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得 （2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故， 所以的取值范围是 （3）原
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