高考数学复习专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展_第1页
高考数学复习专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展_第2页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展【课本溯源】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式. 再如：，可见可以表示为的三次多项式. 一般地，存在一个次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫（P. L. Tschebyscheff）多项式.（1）请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示（2）利用结论：，求出的值（）本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个都可以表示为的次多项式.第（1）问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决：.第（2）问根据所给提示，自然想到对进行赋值，令化简后可得：，解得：【探究拓展】探究1：观察下列等式：观察下列等式：; ; ; ; .可以推测，.探究2：对于总有成立，则= 拓展1：已知ABC的三边长为有理数（1）求证cosA是有理数；（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数.解：因为是有理数，由可知是有理数，（这个式子中出现了倍角的正弦的关系，能否转化为余弦的关系？）由，故，可知的有理性由和的有理性决定，因为，是有理数，从而是有理数，同理可得，为有理数，命题得证.拓展2：已知三次函数f(x) = 4x3ax2bxc(a，b，c)（1）若是奇函数，过点作图象的切线，求切线的方程；（2）若函数在处取极大值，求的取值范围；（3）如果f(x)是奇函数，过点（2，10）作三条y = f(x)图象的切线l，求实数b的取值范围；（4）当1x1时 f(x)满足1f(x)1，求a，b，c的所有可能的取值解：（1）因为是奇函数，所以由，得，所以 设切点为，则切线的方程为：，因为切线过点，所以，解得或所以切线有两条，它们分别为或 （2），所以， 所以=所以由得到 （3）因为f(x)是奇函数，所以由f(x) = f(x)得a = c = 0，设切点为P(t，4t3bt)，则切线l的方程为y(4t3bt) = (12t2b)(xt)，由于切线l过点（2，10），所以10(4t3bt) = (12t2b)(2t)，整理得b = 4t312t25，令g(t) = 4t312t25b，则g(t) = 12t 224t = 12t(t2)，所以g(t)在(，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，要使切线l有三条，当且仅当g(t) = 0有三个实数根，g(t) = 0有三个实数根当且仅当g(0)0，且g(2)0，解得11t5（4）由题意，当x = 1，时，均有1f(x)1，故14abc1， 14abc1，即14abc1， 1c1， 1c1，即1c1， 得282b2，从而b3；得212b2，从而b3代入得ac = 0，c = 0，从而a = c = 0下面证明：f(x) = 4x33x满足条件事实上，f (x) = 12x23 = 3(2x1)(2x1)，所以f(x)在1， 上单调递增，在， 上单调递减，在，1上单调递增，而f(1) = 1，f()
人人文库> 全部分类> 教育资料 > 中学教育

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论